AR BR R

Ces valeurs portées dans l’équation du plan conduiront à ‘D = ± R ( A* 4- B* -f 1 ) -f Ap.

L’équation générale des plans tangens qui répondent aux conditions du problème est donc

Ax + Bjr -f- 4 = ±: R (A a 4- B‘ 4 . 1 ) -f Ap

À et B devant être remplacés par leurs valeurs c Wessus calculées.

Si l’on combine le double signe des deux radicaux carres qui entrent dans les formules, on voit que A et B sont susceptibles de quatre valeurs, et que chacun de ces couples donne deux plans tangens parallèles; ainsi le problème. a huit solutions.

On aura l’angle formé avec les trois droites par les plans non parallèles, en portant les valeurs conjuguées de A et B dans l’expression du sinus de cet angle qui est

• , v / A’*4ii*4 1

Le calcul de la substitution ne présentant aucune simplification importante, nous nous dispenserons de le rapporter, ainsi que d’examiner ce qui arrive quand les droites données sont parallèles toutes trois ou perpendiculaires entre elles, et géné-

râlement quand leurs positions respectives modifient les formules qui font connaître A et B. Les élèves pourront entreprendre cette discussion. , ,

5 e ProbiA Un cercle étant donné dans un plan horizontal, on demàtide, i°. de faire voir que si l’on coupe un cône droit dont le cercle soit la base , par une suite de plans verticaux et parallèles entre eux, les sections résultantes seront des hyperboles qui auront leurs asymptotes parallèles ; a®, de trouver sut la verticale élevée par le centre du cercle, le point où il faut placer le sommet du cône pour que les hyperboles soient équilatères.

Je place l’origine des coordonnées au sommet du cône, je prends sou axe pour axe des z , et le plan des sy parallèle à celui du cercle donné. Dans cette position , l’équation du cône

rapporté à des axes rectangulaires est *

* * a représentant le rayon du cercle, et c la hauteur du cône-

Observons maintenant que la surface étant symétrique par rapport à l’axe déjà, tout plan vertical, quelle que soit sa position, donnera meme intersection à distance égale de-l'origine. 11 suilit donc de considérer les plans coupans dans une direction particulière. Nous les prendrons parallèles au plan dos yz ; alors Ils ont pour, équation x — m, et toutes les intersections se projetteront dans leur véritable grandeur sur ce plan. L’élimination de X donne l’équation

qui représente une hyperbole, pour toutes valeurs de m. Les asymptotes communes à cette suite d’hyperboles ont pour équation

Résultat indépendant de ni , et qui caractérise les deux généra*’ trices du cône situées dans le plan yz. Il suit de là,

i°. Que tous les plans verticaux parallèles au planyz coupent le cône suivant «les hyperboles qui ont leurs asymptotes parallèles aux deux génératrices opposées du cône placées dans le plan des y-s. ' • '* --gÉB

2 °. Que chacune de ces hyperboles a son centresur l’axe des x. D’après ce qui précède , on serait conduit à des résultats semblables pour toute autre direction des plans verticaux parallèles. Cherchons enfin quel est le sommet qui rendra les hyperboles équilatères. On sait que le caractère de cette classe de courbes du second degré est d’avoir ses asymptotes rectangulaires. Cette condition donne ax=c, c’est-à-dire que la hauteur du cône doit être égale au rayon de sa base.

6 e Problème. Trouver l'équation de la surface engendrée par une parabole tournant autour de son axe, et déterminer la position que doit avoir cet axe pour que l'intersection de la sur* face par un plan quelconque donne un cercle pour projection sur un plan donné.

Prenons le plan des x et y parallèle au plan donné , et l’origine au sommet de la parabole. *

Cela posé, les équations de l’axe de la parabole seront

x — mz ,

’ — nz.

Celle d’un plan quelconque perpendiculaire à cette droite sera z -(- mx -j- ny = es.

Le point d’intersection de ce plan avec Faxe aura pour coordonnées

* nu ma

et si l’on nomme d la distance de ce point à l’origine, on aura

Nommant p la perpendiculaire abaissce du point où le plan

Digitizet

• ( 3gi )

coupe la parabole- sur» l’axe de la parabole, on devra avoir (i) ... p % — oad ,

a a étant le paramètre donné de la parabole.

Calculant p qui est la distance de deux points dont on a l’expression des coordonnées, et substituant dans l’équation (i) les valeurs de p et d en fonction de «, puis remettant, au lieu de a, sa valeur z-f- mx + ny, on aura l’équation du lieu qui sera

+m 3 ) +X’(i+n a ) — s HZ} 1 — 2mz.r — amnxy = a o(z -f- mx -f- ny) {/ i -J- m a -f* *“•

Soit maintenant l’équation d’un plan quelconque • s = Ax ■+- By -f- C ;

pour avoir la projection de son intersection avec la surface, sur le plan xy ou sur tout autre plan parallèle, il suflira d’éliminer z entre son équation et celle de la surface. On pourra même pour plus de simplicité supposer C=o, parce que toutes les sections parallèles dans les surfaces du second degré sont semblables. Substituant donc Ax-f-By à z dans l’équation de la surface , il faudra, pour que l’équation résultante soit celle d’un cercle , que le coefficient de xy soit nul , et que les coefficiens de x* et y* soient égaux ; ce qui donne les deux conditions

AB(m a -f- n“) — An — Bm — mn = o , i —|— n*-f- A a (m a + b 5 ) — qbjA = 1 + m a »+- n “) — 2nB.

Or, la première ne peut être satisfaite, quels que soient A et B, que si l’on a m = o, n = o, et dans ce cas, la seconde le sera aussi identiquement.

Il résulte de là que l’axe de la parabole doit être perpendiculaire au plan sur lequel on projette les sections planes de la surface, et de plus que cette condition est suffisante. L’équation de la surface se réduit alors à

• x a +y a =aaz.

On pourrait facilement démontrer à prjpri par la Géométrie

simple, que la projection d’une section.plane quelconque d’un paraboluïde de révol utiou sur le plan tangent au sommet est un cercle. «

7“ Problème. On donne déposition le rayon dune sphère, et l'on propose de démontrer qu'un plan quelconque perpendiculaire à ce rayon , coupe suivant un cercle tout cône qui a son sommet à l'extrémité du rayon et pour base un cercle de la sphère. (

Nous placerons l’origine des coordonnées rectangulaires an sommet A (j%. îfia) du cône, le plan des xy sera parallèle au petit cercle de la sphère qui sert de base au cône, et celui des ZfX passera par le centre de la sphère.

L’équation du petit cercle DKE est #

a représentant l’abscisse du centre de la sphère, d le rayon BD et c la distance BO.

Une droite, tournant autour du point fixe A en s’appuyant constamment sur la circonférence DKE, engendrera une surlbce conique dont l’équation sera (*)

(i)... (ex — azy -f c'y 2 = d‘z 2 .

Pour exprimer que ce cône est inscrit dans la sphère, il faut remplacer d par une fonction du rayon B. de la sphère.

Le triangle BCE donne BE = CE*— BÇ*

D’ailleurs BC = BO — OC.

Désignant OC par b, il vient .

d 2 =R 2 — (c — by.

Substituant dans (1) , on aura pour l’équation du cône inscrit,

(a) . . . (ex — az y d'y 2 ~ z 2 [R“ — (c — ô)*].

{ ) Voyet 1 Application de l’AIgcbrc h la Géométrie, ikRrynaud,

( 3ÿï )

Il reste à couper ce cône par un plan perpendiculaire au rayon CA , et à reconnaître la nature de l’intersection.

L’équation du rayon CA , qui est dirigé dans le plan des zx en passant par l’origine est

Celle du plan qui lui sera perpendiculaire en un point quelconque I sera

y restant arbitraire. Maintenant soit M un point de l’intersection du cône par le plan perpendiculaire z K'y , et proposonsnous de rapporter tous ces points aux deux coordonnées rectangulaires AV, A' y' prises dans le plan coupant. A cet effet, nous observerons que le point M satisfait à l’équation du cône inscrit; par conséquent , si l’on exprime ses coordonnées

AQ = x, PQ = y , PM = z, „ .

au moyen de A'R = y' et RM = z',

Ou aura, par la substitution des valeurs de x,y , z en fonction dey et de z! dans (a) , l’équation de l’intersection. Or> bn a éviv demment PQ = A'R ou • y -y'- < %

Le triangle MRP donne PR ou A'Q = MR cos MRP ;

mais A'Q = AA' — AQ = P — x,

et l’angle MRP est égal à l’angle z'A'A dont la tangente trigo-

iiometrique est -. Donc

cos MRP =

Ainsi

n hz ' ' ** T , n

P— x = -jr ou X = — + P,

Enfin , le même triangle MRP donne

• MP = MR sin MRP ; donc z =

Portant ce» valeurs de x, y, a dans l’équation ( 2 ), elle donnera pour l’équation de l’intersection du cône par le plan a' A'y'

• Il reste à reconnaître que le lieu de cette équation est un cercle , ce qui sera vérifié si les cocfliciens de y' J et de a' 1 , lorsque ■ces termes auront été transportés dans le premier membre de l’équation , sont égaux et de même signe. A cet effet, nous ordonnerons par rapport aux variables. Ce calcul conduit à

c’Ry-f- { (6c-f-a a ) a — o a [R a — (c — £)’] }s'“ — acPR(èc -f- a')z 4-c a P a R*=o. *

Développant lecoefficienl de s'*, on peut l’écrire ainsi

Observant que a 5 -f- b a = R% il se réduit à # c'R’, qui est aussi le coefficient de y'*. Donc l’intersection est un cercle; et comme ce résultat est le même pour toute valeur de P, il s’ensuit que la section faite dans un cône inscrit à une sphère par un plan quelconque perpendiculaire au rayon qui passe par le sommet, est constamment un cercle.

8 e Problème. Etant donné un cône droit dans lequel le rayon de la base est le tiers de l'apothème , si l’on prend sur la surface du cône un point situé à la distance a du sommet , et que de ce point , compte centre , avec une ouverture de compas égale à r y on trace sur la surface du cône une courbe , laquelle pourrait être considérée comme l’intersection de cette surface aveccelle de la sphère qui a son centre au point donné, et don t le rayon est r. Si ensuite on développe la surface con vexe du cône en une surfaceplanc, laquelle sera un secteur circulaire, dont r angle

est j d'angle droit , on demande F équation de la courbe tracée sur la surface du cône , et devenue plane par le développement de cette même surface en un secteur plan. L'équation de la courbeétant trouvée en général pour toutes les valeurs de r et de a , on fera a = 3 , r = 2 , et on déterminera pour ce cas particulier la figure exacte de la courbe , en la traçant dans toute son étendue.

On examinera de plus si la courbe est décrite tout entière par le compas qui tourne autour du point donné, ou s il n y a qu'une partie de la courbe décrite pür ce procédé , et quelle est cette partie. m . .

* Concevons le cône et la splière décr^^ du point donné A (fi g. ! 63) et supposons un plan horizontal IIB qui coupe ces deuS surfaces , respectivement suivant un cercle que nous projeterons sur la hase du cône. Joignons enlin leurs centres et un de leurs points d’intersection , nous formerons ainsi un triangle El G.

Cela posé, il est claiiupac le plan méndien passant par le point F contiendra les points de la courbe situés à la hauteur Il B , ou , ce qu^ est la même chose , à la distance SB du sommet et que , par conséquent , l’un de ces points se trouverait sur la génératrice passant par le point I», qui, dans le développement, fera avec la génératrice SK un angle qui aura pour mesure un arc égal en longueur à LK , décrit du rayon SK ; mais l’angle EGF a pour mesure le même arc décrit d’un rayon trois fois moindre , il est donc triple du précédent; en sorte que l’équation polaire de la courbe que l’on cherche ne dépend que d’une relation entre SB = o et EGF ~ôu. O. - ,' le triangle EGF donne

EG-fGF — EF

cos EGF =