LIVRE PREMIER

CONSIDERATIONS GÉNÉRALES SUR l’aRIT^MÉTIQUE ... . ! . . SUR l’alGÈBAE. , . I

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/)<?$ Nombres en général.

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-M® nombre .est le rapport de deux grandeurs do môme .. espèce; il donne la mesure de l’une par rapport àl’anlre considérée comme terme de comparaison et à laquelle on donne alqrMq RPnxdinw#. , ...J.,..

nombres peuvent varier à l’infini en mémq.t^nps que , les grandeurs .comparées, qt si l’on imagine que l’unité restant coustante, la grandeur à mesurer croisse d’une ma mère, con- : i; tmne depuis. ;cpro. jusqu’à l’infini „son rapport à l’unité croîtra semblablement d’une manière continue , et tous 1rs, nombres /j a . uro i nt é l é^g^drçs », Ï !.* : • m iS.;

- ... ?^f n I 1 cqsrapppr^f, les plusteœprquaHes sont ceu^, qui ont I ÜÇU lorsque la, grandeur variable, se compose exactement de parties égales à l’unité.;: dans, ce cas y 1 rs nombres s’appellent

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tnturs; le plus pelit est relatif à l’égalité de la grandeur à 1 J unité. Lorsque la grandeur est moindre tfti'e l’unité , les nombres prennent le nom de fractions. •

L’idée des nombres entiers se ramène donc immédiatement à celle de l’égalité, qui est Je {dus simple de tous les rapports; Pour ramener les fractions aux nombres entiers, on conçoit l’unité et la grandeur à mesurer décomposées en parties de même grandeur; les deux nombres entiers qui en résultent? sont composés l’un par rapport à l’autre de la même manière que les deux grandeurs correspondantes, et leur rapport est par conséquent le même. On exprime donc les fractions au moyen . de deux nombres, dont l’un indique en combien de parties égales l’unité est divisée, et l’autre combien il y a de ces parties dans la grandeur à mesurer.

Mais il pourrait se faire que cette dernière n’eût pas de commune mesure avec l’unité; c’est-à-dire qu’il n’existât pas de grandeur, si petite qu’elle fût, qui fût contenue exactement dans elle et dans l’unité ; c’est ce qui arrive quand on veut évaluer le rapport du côté d’un carré à sa diagonale. Dans ce cas le rapport des nombres entiers ne donne qu’une approximation ; mais elle peut être aussi grande qu’on veut : car en partageant l'unité en parties de plus en plus petites et les portant sur la grandeur à mesurer, le reste sera toujours moindre qu’une de ces parties , et pourra par conséquent devenir moindre que toute • grandeur donnée; le rapport qu’on obtiendra en négligeant ce reste pourra donc approcher autant qu’on voudra du véritable.

2. Les nombres sont d’un usage continuel dans la vie; ils servent à donner l’idée des grandeurs qu’on ne peut montrer aux yeux et qui ne sauraient alors être déterminées autrement que par leur rapport avec d’autres que l’on connaît. Dans tous les cas de ce genre , l’emploi des nombres est "indispensable ; mais il est encore de la plus grande utilité lors même que l’on pourrait montrer les clioses dont ot» veut donner la connaissance. La première raison en est que l’idée des nombres n’est point soumise aux erreurs des sens comme l’estimation par l’œil et le toucher, et qu’ils sont par conséquent plus propres que toute

autre chose à donner une notion exacte des grandeurs en les rapportant à une seule bien connue : là seconde raison est qu’il faudrait connaître d’une manière absolue toutes les grandeurs de chaque espece, ce qui surchargerait la mémoire d’une quantité prodigieuse de noms et d’images, sans qu’on pût encore s’élever jusqu’à l’idée de grandeurs que l’On n’aurait pas vues et parfaitement retenues dans son esprit. En déterminant au contraire les quantités pur leurs rapports à d’autres connues, on n’a besoin que d’étudier les nombres une fois pour toutes , et do connaître une seule grandeur de chaque espèce d’une manière absolue.

Pour distinguer les nombres, il a fallu les représenter par des signes différens. Ceux au moyen desquels les hommes sc communiquent le plus habituellement leurs pensées étant la parole et F écriture, on a exprimé les nombres par des mots et des caractère $; ce qui constitue la théorie de la numération.

De la Numération.

3. De même qu’on avait rapporté les grandeurs à d’autres grandeurs connues de même espèce , on a pensé qu’il serait avantageux de rapporter les nombres à d’autres connus d’avance et choisis de manière que ce rapport fût toujours plus simple que le nombre à exprimer. Commençons par considérer à cet effet les nombres entiers.

Les termes de comparaison ont été choisis parmi les nombres entiers, comme plus simples que tous les autres : de plus on les a pris constans, parce que devant être tout-à-fait familiers, il fallait restreindre leur nombre le plus possible. Enfin on a établi le même rapport entre l’un quelconque de ces termes et le suivant, afin que le passage de l’un à l’autre se fît au moyen de la même idée de pluralité, ce qui soulageait à la fois la conception et la mémoire. Le premier terme.de comparaison devait être le nombre un , comme formant tous les nombres entiers en s’ajoutant à lui-même-, quant au rapport entre deux termes consécutifs, il restait arbitraire j il a été choisi égal à dix , probable-

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ment parce jque les honttaes ont commencé par compter avec

•leurs doigts. : . ■ ... . r . ' : • - . , : .

Ces termes de comparaison une fois connus et devenus familiers, rien n’était plus facile que d’expyimer pàrjçur mojen mus les nombres entiers. En effet, imaginons uii nombre quelconque, et. coopevons-le décomposé en dirige*, dj, en au.ra un nombre quelconque, plus. des unités e# nombre mOuulre que dix: s’il, y a plus de dix divines, décoipposops : les groupes de dix, c’ést-n-dire en centaines le ppmbre ctes dictes restantes sera encore moindre que dix. En continuant ainsi, on arrivera àan point où 1» nombre. d/ss imités de la plus forte espèce sera moindre que di*, et le noipbf# totalsçra exprimé

eft unités simples, dtfaines, centaines, çtc,j «dtapni^do ffc^tei mes i • de. comparaison sera eu, nop4»re moindre que dix-, efc.n’ exigpra par. conséquent que la conception denquf pluralités différentes, et le souvenir de neuf mots pourries représenter.

Nous ajouterons que le npqibre des, termes de comparaison sera fort petit et que six ou sept suffiront pour les plus grands . calculs dont, là. vifi.sociale offre-des applications. lir t ;n ?( r ,

4. .Ayarttf.aûïsi donné la m<*P tic !n et la, pppiençlature des nombres* il.rWait à les: éqrire de la manière la plu^ propre à leur calcul. -Qu pouvait fàjrp usage à çet cffct.de l’qcWture.or.dit naire; niais eil&se serait prêtée difficilement aux cal culs,, et,, ou a eu recours à divers procédés dont nous feronstfionftaîtfiç #atyrd . lèplus simple-, il isé,diidî#rt ÎHWpdiatepicpt dç ^.pppiençlpture .

queuoqs .Venons d’exposer, .est jm#fftppftpt,pre?q.ne universellement employé. AyaUt

t’ dès nombres èn dixaines , centaines r cto.., due, pouvait jamais y

. avoir plnside neuf unités de clique Espèce, opposa qu’i.L «fait possible - de réprésenter tontes, çés.partù», au moyen, de, , neuf » signes qui désignassent les -nombres depuis un jusqn’à neuf , et

d’une ndtatk?n quifîiconnàitre l’ordre d’.unités’repr.éseotB, dans

chaque cas par oes divers signes. On est convenu de.désigner cet ordre pàr-ieelui dans lequel les signes seraient écrits, dq telle sorte que le premier à droite marquerait lefc.nnité», l»jseqpnd les dixaines, le troisième les centaines, et ainsi de suite. Mais,

comme il peut arriver que dans certains nombres il ne se trouve y pas d’unités de l’un des ordres intermédiaires entre le premier et le dernier, on .a inventé un nouveau signe, qui ne représente aucun uqiubre , et dont le seul office est de remplacer les ordres qui manquent , aGn que les signes ai leur gauche soient au rang qui , d’aprrs la convention, doit correspondre' à leur valeur. Ces dix signes se nomment chiffres et sont o, 2, 3,4, 5 , 6, 7, 8 , g.

La numération écrite des Romains était différente de celle-ci , qui nous vient des Arabes. Ils représentaient d’une manière fort irrégulière certains nombres par des lettres de l’alpliabet, et se servaient d’une décomposition très variable pour l’expression dè tous les autres nombres. La convention qui sert de base à ce système consiste en ce que les valeurs indiquées par deux lettres consécutives doivent être ajoutées quand celle de. droite marque un nombre- plus faible que celle de gauche, et retranchées dans le cas contraire - , nous n’insisterons pas sur un procédé aussi irrégulier et aussi incommode , dont on ne se sert jamais pour les calculs, et qu’on n’emploie guère que d’une manière isolée dans l’expression des numéros. •

Les Grecs avaient choisi neuf lettres pour représenter les neuf premiers nombres ; ils les affectaient d’un accént pour leur faire marquer des dixaines, de deux pour les centaine^, et ainsi^ de suite : de plus, ils les écrivaient dans l’ordre où ils devaient fXxc lus, c’est-à-dire dans le même ordre que nous. Leur système ne- différait donc du nôtre que par l’omission du zéro, au moyan duquel la place des lettres aurait suffi pour indiquer l’espèce de leurs unités, et aurait rendu les accens inutiles. Quelquefois aussi , les lettres représentaient les nombres d’après le rang qu’elles occupaient dans l’alphabet, ce qui n’çtait pas en opposition avec le système précédent f où les neuf premiers nombres étaient représentés par les neuf premières lettres. Il paraît qu’ils se servaient de ce procédé comme nous des chiffres romains : les chants de l’Iliade sont numérotés au moyen des lettres consécutives de l’ajpliabet grec.

Nous laisserons tou^ces systèmes pour ne plus considérer que le premier, qui est le seul employé dans le calcul.

5. Los nombres entiers étant nommes et représentés par Fécriture, il ne reste plus qu’à s’occuper des fractions. Nous avons déjà fait connaître d’une manière générale le moyen qu’on emploie à cet effet, et qui consiste dans la décomposition de l’unité et de la grandeur à mesurer en parties égales. Cette décomposition peut se faire d’une infinité de maniérés , parmi lesquelles on choisit de préférence la suivante, comme plus commode dans les calculs compliqués. On conçoit Fanité décomposée en dix parties égales, et on cherche combien il y en a dans la grandeur à mesurer ; si l’on trouve un reste moindre que le dixième de l’unité, on conçoit semblablement ce dixième décomposé en dix parties égales , dont chacune sera par conséquent le centième de l’unité principale ; et on voit combien il s’en trouve dans le reste f si les centièmes ne suffisent pas pour la mesure complète de la grandeur , on continue indéfiniment la subdivision décimale des unités successives. Quant à l’expression de la fraction par Fécriture, il est facile de vois que l'es unités d’un ordre quelconque ne pouvant être en nombre supérieur à neuf, les dix chiffres suffiront pour les représenter, et qu’il ne restera qu’à faire connaître l’ordre des unités représentées, et pour cela on est convenu de placer les dixièmes à la droite des unités , les centièmes à- la droite des dixièmes , et ainsi de suite ; de sorte que le rapport de deux unités consécutives , tant dans la partie entière que dans la partie fractionnaire ,* fût toujours dix : on est convenu en outre que le chiffre des unités se reconnaîtrait par une virgule rrtjse à sa droite.

Cette manière d’écrire les fractions offre de l’avantage dans les calculs un peu compliqués, mais elle a l’inconvénient de ne donner souvent que par approximation des nombres que l’on aurait pu avoir exactement au moyen d’une autre décomposition.

Lorsqu’on emploie une décomposition quelconque de l’unité, on écrit les deux nombres qui indiquent cqmbien il y a de parties dans l’unité et dans la grandeur à mesurer ; le premier se met au-dessous de l'autre et on les sépare par un trait.

Quelquefois , pour exprimer une fraction , on décompose

l’ unité on parties égales, et celles-ci en d'autres quelconques, auxquelles on donne des noms qui n’indiquent nullement leur rapport à. l’unité primitive;. ccs sortes de nombres se nomment complexes , et c’est surtout pour éviter les longueurs que leur calcul entraîne, que l’on a adopté la subdivision décimale des grandeurs. On clioisissaitrordinairement une décomposition qui se prêtât commodément aux détails du commerce; par exemple, on décomposait la livre poids en 16 onces, parce qu’on pouvait ainsi en prendre la moitié, le quart, le huitième, le seizième, ce qu’on »e peut faire d’après la décomposition, décimale ; mais , malgré cet inconvénient, la division décimale offre des avantages qui doivent lui mériter la préférence.

On avait cherché à réunir les deux avantages, en changeant la base du système de numération et prenant îa au lieu de 10; alors les subdivisions des mesures auraient pu être à la fois commodes au calcul et au commerce; mais la difficulté d’introduire dans toutes les classes de la société une manière différente de compter et de se faire idée des nombres a fait renoncer à cette entreprise, et l’on a conservé la base dix.»

Des Unités de différente espece. - v '