Ayant ainsi déterminé de quelle manièfeon composerait

et décomposerait l’unité pour l’expression de toutes les grandeurs en nombres , il ne restait plus qu’à fixer la grandeur absolue de cette unité pour. toutes les espèces de quantités. Il était important d’abord que cette unité fût lâ même pour tous les peuples, afin d’éviter les erreurs que pouvait causer la similitude des noms attribués à des choses différentes, on les calculs nécessaires pour convertir ces unités les unés dans les autres. Il était utile encore que l’unité de chaque espèce pût toujours se retrouver, si elle disparaissait, et pour cela qu’elle eût un rapport connu avec une grandeur invariable ; on a choisi à aet effet un méridien terrestre; on a partagé le quart de sa circonférence en dix millions de parties égales; l’une d’elles a été choisie pour unité de longueur et nommée mitre. '

CeJa posé, il ne restait plus qu’a rapporter, au mètre toutes les autres unités. ^î. es surfaces et les volumes s’y sont ramenés immédiatement en prenant pour leurs unités respectives le carré et le cube qui auraient pour côté un mètre ou toute autre longueur qui eût un rapport ^décimal simple avec le mètre. . ' ’ '

* Pour y rapporter les poids j on à choisi pour - unité le pouls d’un centimètre cube d’eau distillée prise dans le vide et à son maximum de densité; ces conditions rendant cette unité invariable remplissent l’objet qu’ou s’était proposé. ’ .

(Juant au temps, on a trouvé plus naturel de faire dépendre sa mesure du mouvement de la terre qui , outre les avantages dont nous venons de parler, avait encore celui de l’ application la plus commode aux besoins de la .vie. -

Moyens d obtenir la généralité, dans les- résultats,

7. La résolution de toutes les questions qu’on peut proposer sur les nombres se ramène à un petit nombre d’opérations simples qui, par. les diverses combinaisons qu’on en peut faite > servent d’élémens à toutes les autres. Les opérations se reproduisant à chaque instant sur des- nombres diflerens , il faut déterminer pour chacune d’elles une marche générale indépendante dés valeurs particulières de ces nombres , afin de ne pas recommencer les recherches pour chaque cas particulier. Dans les premières opérations, la décomposition uniforme des nombres a suffi pour en jléduire des règles générales; mais dès qu’elles se sont un peu compliquées , on a eu besoin de démontrer des propriétés générales sur les nombres, meme pour résoudre des questions particulières, afin quétaut 'sur qu’elles s’appliquaient aux nombres inconnus', on put combiner ceux-ci avec les données, et en déduire leurs valeurs.

On observera pour cela que si l’on résolvait une question sqr des nombres particuliers, sans dénaturer ces nombres par aucune réduction , ils se retrouveraient tous dans le résultat , .et combinés entre eux d’une manière qui ne dépendrait que de la

nature de la question et nullement des valeurs qu’on leln-. avait supposées. Le résultat s’appliquerait donc à toutes les questions de même nature, qui ne différeront que par la valeur des données; il apprendra comment il faut combiner ces données, quelles qu’elles soient , pour former les valeurs des inconnues. Ce résultat sera donc général.’ .

Par exemple, pour découvrir la composition. générale du Carré de la somme de deux nombres, on -en prendra deux arbitraires, 7 et 4, et on multipliera 7 plus 4 par 7 plus 4, cé qui donnera 7 fois- 7 , plus deux fois le produit . 7 fois 4, plus 4 fois 4 ; cela, apprend que le carré de la somme de deux nombres contient toujours le carré du premier nombre, plus le double produit du premier par le» second , plus le carré du second. *

Ce procédé ne laisserait rien à désirer s’il était d’une application commode - , mais il exigerait qu’on s’interdit touffe réduction, toute abréviation dans l’écriture, car on risquerait d’ introduira par là des nombres qui fussent déjà dans les données; on pourrait alors les confondre dans le résultat, et on ne saurait plus s’ils sont constans ou variables d’une question dans l’autre : ainsi , dans le cas précédent, la réduction de deux termes égaux a produit lé nombre- deux ; la simplicité de la question aurait empêché de le confondre avec les données s’il y en avait eu d’égales à deux; mais dans des questions plus compliquées, il pourrait y avoir des. inconvéniens, et l’on a renoncé à ce moyen.

La difficulté venant uniquement de ce que les nombres pris pour représenter les données avaient des valeurs particulières qui pouvaient reproduire par la combinaison de ces mêmes» données; observant d’ailleurs que l’emploi de ces nombres n’avait d’autre objet que de fixer les idées et de distinguer les rfombres qui entraieftt dans la question, on a imaginé de les remplacer par des signes quelconques qui , ne désignant aucun nombre particulier, ne pussent être confondus avec ceux qui naîtraient du caloul. Ces signes sont les lettres de l’alphabet ; on les a choisies parce qu’clleS étaient simples et déjà connues.

( io )

8. Il résulte de oes oltservatkms que pour résoudre d’une manière générale une question sur des nombres , il suflit «la le», représenter par des lettres, et d’agir coqune si l’on trajtait. un cas particulier : le résultat auquel on panriendra , indiquera, par sa forme, dç quelle manière .il faut combiner les. données , dans chaque cas particulier, pour former le résultat, correspondant.

Ainsi, pour trouver la Ipi du produit de la somme de deu* nombres quelconques par leur différence , on représentera ces, deux nombres par les lettres a, b, et multipliant -a plus b par a moins b, on trouvera pour produit a fois a, moins b fois b qui apprend que le produit est toujours la différence des earrés des deux nombres donnés.

Enfin , on a introduit le plus grand degré, de simplicité.dans les calculs , en indiquant toutes les opérations par les signes . * 4 *> — » etc., qui. signifient plfis^ moins j etc., et désignent, l’addition, la soustraction, je te.

Cotte méthode peut être employée dans tous los cas où le résultat est décomposable en parties dont la compositiên se. ramène à des principes connus. Mais il arrive souvent que. cette décomposition est impraticable, comme, par exemple» dans le cas de» nombres incommensurables , c’est-à-dire qui n’ont pas de commune mesure avec l’unité. On sera alors obligé de recourir à d’autres procédés, et tout. oe qui y est relatif se déduira, comme application, d’une méthode générale . que nous allons, exposer.

Méthode des limites,

* 91 Lorsqu’on- veut trouver la relation qpi existe entre des, quantités qui, par leur nature, ne peuvent être facilement, comparées, on leur en substitue d’autres qui soient . susceptibles de se prêter^ avec commodité au calcul, et qui puissent, approclier autant qu’on voudra des quantités proposées, qui 'pour* cette. raison sont appelées leurs limites. Il ne reste plus, cqsuite-qu’à déduire la relation. des limites, de celle qui a coq-

slamment lieu entre les variables, et l’u niqué objet de la méthode est d’indiquer un moyen général . d’opérer ce passage. Or, on démontre facilement que ces deux relations sont identiques; de sorte que, connaissant celle qui existe entre les variables , il sulbt pour avoir celleque l’on cherche , de substituer à ces variables leurs limites.

En .effet, soit A = B la relation entre les variables (A et B renferment ces quantités d’une manière quelconque et varient en même temps qu’elles); désignons par A' et B' les valeurs vers lesquelles elles tendent à mesure que les variables tendent vers leurs limites; je dis que l’on aura A' = B'. Car soit , s’il est possible , A'>B' ; si les variables A et B restent toujours au-dessous de leurs limites, on pourra amener A assez près de A' pour surpasser B' ; et comme on a toujours B = A, il s’ensuivrait que B aurait surpassé B'; ce qui est contraire à l’hypothèse. Si A et B décroissaient en s’approchant de leurs limites, on pourrait semblablement amener B entre A' pt B' , ce qui çonduirait à la même absurdité; on a donc A'=B'. Or, A' et B' sont ce que deviennent A et B quand les variables qui y entrent ont atteint leurs limites. Donc on obtient la relation entre celles-ci en les substituant aux variables correspondantes dans leur relation.

Tout l’artifice de la méthode consistera donc dans le choix des variables auxiliaires. Il faudra les prendre de manière qu’elles se prêtent le plus commodément possible 'aux comparaisons, et telles surtout qu’elles aient pour limites les quantités proposées. •

" 1 o. De cette méthode générale , on peut déduire, comme application particulière, la théorie des incommensurables. Car nous avons vu qu’il est possible d’approcher indéfiniment d’un nombre incommensurable quelconque au moyen de nombres commcnsurahles; et en combinant cette propriété' avec- lo principe précédent, il en résulte ce théorème qui sert de fondement à la théorie des incommensurables , savoir : que

Toute relation qui a lieu .entre des nombres quelque valeur commensurable qu’ils aient , a lieu encore lorsqu’ils deviennent

GvOi

incommensurables j car ils peuvent être considérés comme des limites de nombres coinniensurahlcs , çt la relation des limites est Ja même que celle des variables.

Proposons-nous, par exemple, de prouver la généralité de ce théorème que le produit de deux ^nombres est' le. même dans quelque ordre qu’on l’cirectue. Ou lé démontre facilement dans le cas où les ceux factcurs.sont entiers ou fractionnaires, ot il ne reste plus qu’à considérer le- cas des incommensurables. Soient a et b les deux nombres incommensurables, et a', b’, deux nombres commcusurahlcs qui s’approchent indéfiniment de a et b. On aura toujours, d’après ce qui précède , ab'—b'a. La relation des limites devant être la meme, on en conclut ab—lpil

On raisonnerait semblablement dans l'extension de tout autre théorème au cas des iucominenstirahles-

Méthode de résoluliun-des Problèmes.

1 1 . Presque tous les problèmes reviennent à déterminer certains nombres d’après des relations qu’ils doivent avoir avec d’autres nombres donnés. Dans ces questions, la marche qu’on suit ordinairement consiste à transformer d’abord les relations données en des relations d’égalité entre les nombres donnés -et inconnus , ce qui s’appelle mettre le problème ■ en équation ; puis à transformer ces égalités en d’autres qui expriment immédiatement, les valeurs des inconnues, c’est-à-dire à résoudre les équations. Tout consiste donc dans des transformations de rapports, et il ne reste plus qu’à montrer comment on .peut les eilectuec . dans tous les cas; considérons , d’abord la première' partie, c’est-à-dire la mise eu équation. • . .

Supposons que l’on ait d’abord analysé l’énoncé du problème et étudié toutes les relations qui doivent avoir lieu entre les quantités connues et inconnues : si la .question est alors bien comprise, on> doit être en état de vérifierai des nomhres donnés y satisferaient. Or , tonte vérification exige . en dernière analyse une comparaison entçe. des choses qui doivent se trou-

itized by Gobg

•ver identiques , on différer d’une certaine manière connue ' (l’ftù il suit qüfe si l’on représente les inconnues par des Signes quelconques, et qu’on indique' sur elles et les quantités connues la suite dés opérations par lesquelles il faudrait faire la vérification, on parviendra à’ des relations d’égalité ou d’inégalité 1 entré lés nombres tant connus qu’inconrfus qui entrént dans l’énoncé. 11 arrive quelquefois que le passage par les relations. d’égalité rend la solution plus lefngue, et alors on devra s’en dispenser •* mais dans - le plus grand • nombre de cas les inconnues sont tellement combinées avec les données, qu il ne serait pas possible dé les iletermincr Sans avoir recours a\ix procédés généraux, que fournit la théorie des égalités ; où' dès inégalités qui s’y ramènent immédiatement 'én« augmentant' le plus petit membre il’nur quantité indéterminée.

1 * 2 . Ayant ainsi détermine lés égalités ôù'equationg qui ont lieu entre' les données et les inconnues, il ne reste plus qui en déduire celles-ci; et la ‘marche à suivre? à cet effet dépend de la forme des équations. Pour donner la théorie générale de leur résolution, onleS à .partagée* par clàSSés d'ans chacuùe desquelles on a Rassemblé foutes .celles auxquelles là me nie marcVié ltai\ applicable ;‘'-o ’ft les W rassemblées sous uiib même formé générale sur laquelle on a fait le ‘calcul de là résolution, et l’on en a déduit, la forme "éiiécale iju résultat;, c’eslà-dirè la manière dont U faut feonlbper ^es dtOnnésà fiour obtenir les valeurs des ihcèniî&è > s.'*Un pareil résultat se nomme •

un g formule.. » , . k , ' -

bu aurait pu représenter tous les système!? pbssMÀ d’équations du n^me' ciegré par uxi seftl système général ; maisla résolution de ce dernier sèraif'il’üne difficulté irisiif mon table , et ori : y a renoncé depuis long-temps. D’ailleurs , les formules qu’on en déduirait seraient tellement incômmod’es'dans les applicatidns qu’on serait’ toujours obligé de recourir aux méthodes relatives à des cas particuliers. ’t’eït ce qiïe l’btt peut voir dans deg ^as même très “impies par rapport* à celui d’une résolution générale déséquatious : en lie Supposait qu’une seble inconnue qui n’entrerait qu’au troisièmè degré*, la formule ne

peut déjà plus être appliquée directement, et l’on peut prévoir oc qui arriverait si l’on avait un nombre quelconque d’iuconnues entrant à des degrés quelconques.

Nous examinerons successivement par la suite chacune des classes dans lesquelles oh a partagé les équations, et nous chercherons à lever autant- que possible les difficultés que leur résolution pourrait offrir aux élèves.

Des propriétés particulières des nombres.

» i3. Dans oe qui précède, nous avons considéré les nombres indépendamment de leurs valeurs particulières; mais ils jouissent d’une foule de propriétés curieuses dépendantes de la manière dont ils sont composés avec l’unité ou les uns avec les autres.

• L’ensemble de ces propriétés constitue ce qu’on a nommé la théorie des nombres. Les méthodes qu’on y emploie pour la résolution des questions sont tellement particulières , qu’il serait impossible d’indiquer une marche générale qui pût guider dans ces sortes de recherches. Nous en présenterons quelques-unes comme exemples de ce genre d’analyse, et nous renverrons, pour de plus grands détails, aux ouvrages de MM. Legendre et Gauss. , *

De la manière de simplifier certaines opérations sur les Nombres.

i4. Lorsqu’on est conduit à effectuer des multiplication», des divisions, des élévations à des puissances, et des extractions de racines sur des nombres qui sont des puissances d’un degré connu, soit entier, soit fractionnaire, d’une même quantité , rien n’est plus facile que de trouver par une. opération plus simple quel est le degré qui correspond au résultat. On sait, par exemple, que celui du produit est la somme des degrés des facteurs, celui du quotient leur différence, etc.

On a pensé en conséquence que si l’on pouvait transformer ' tous les nombres ep puissances d’une même base quelconque.

et former une tahlg qui, à côté de chaque nombre, présentât le degré delà puissanoe correspondante, les quatre opérations fondamentales dont nous avons parlé se trouveraient abaissées , parce que l’on se bornerait à calculer le degré correspondant au résultat, A la table ferait connaître par suite la valeur même de ce résultat. On a reconnu facilement qu’il était suffisant de faire ce calcul pour les nombres entiers, puisque toutes les opérations s’y ramènent toujours; et même on n’a eu de recherches pénibles que pour les nombres premiers , vu que les degrés correspondans aux autres s’en déduisent immédiatement.

Telle est l’idée fondamentale de la théorie des logarithmes ou des degrés correspondans aux .nombres ; elle en fait connaître le véritable esprit , et il ne reste plus qu’à en faire des applications. ‘ *

Théorie, des Fonctions- dérivées.

1 5 . Les développemens que prennent les fonctions quand on fait varier les quantités dont elles dépendent , présentent des considérations de la plus haute importance dans l’analyse. Nous allons exposer les élémens de cette théorie , dont on verra de nombreuses applications, soit dans l’Algèbre pure, soit dans ses applications à' la Géométrie.

Lorsque dans une fonction /(x) la variable x devient x-f-h; h étant une indéterminée quelconque, on appelle fonction dérivée de /(a) , le coefficient de la première puissance d’A dans le développement de /{x + A) suivant les puissances entières positives et croissantes de h. Réciproquement celle-ci , considérée par rapport à sa dérivée, s’appelle fonction primitive.

Nous allons d’abord nous occuper de déterminer les fonctions dérivées des fonctions algébriques.

16. Soit la fonction Ax"*, dans laquelle on supposé m entiet* et positif. 1

Quand x devient x+A, elle devient A(x+ A) m . Or, en multipliant m facteurs égaux à X-f-A , les termes du premier degré .en h sont de la forme x"“'A et au itombre de m, la dérivée

( iG )

dç Ax m est donc Arax" -1 , et le terme indépendant d'A^cst fa fonction proposée Ax”.