Les 230 litres à l',05 valent

les 460 — 0',86 — 382 ,50

le prix de revient est donc 624',00

Puisque l'on veut faire un bénéfice de 26 pour 100 , on devra vendre le mélange 624 fr., plus le quart de 624 fr., c'est-à-dire phis 156 fr., en somme 780 fr.

SOLUT. DES PaOBL. 3

34 FROBLÊHÉS

Or la quantité totale du liquide mélangé se compose de 230 litres, plus 450 litres, plus encore 40 litres; en somme 720 litres. En divisant ce nombre par 0*'S75, on obtiendra le nombre de bouteilles quMl représente; on trouve 960.

Pour obtenir le prix de la bouteille, il reste à diviser le prix folal par le' nombre de bouteilles, ou 780 fr. par 960 , ce qui donne 0^,8125, ou un peu plus de 0^80.

fit. Ajouter 20 litres d'eau par hectolitre, c*est-à-^ire mi cin* qttième d'eau, revient k élever d'un cinquième le prix du vin. On peut donc , pour résoudre le problème, faire abstraction de Teau ajoutée, et élever d'un cinquième le prix de la bouteille du mélange , c^est-àslire porter ce prix de 60 centimes à 60" + 12% ou à 72 centimes. On obtiendra le prix correspondant du litre ^ en divisant 0^,72 par 0,75, ce qui donne 0',M.

fions cette hypothèse, chaque litre à l',lO que l'on vendra 0',96^ occasionnera une perte de 0^,14; les 24 hectolitres, ou 2400 litres ,ie cette qualité de vin, occasionneront donc une perte de 2400 fois 0^,14, c'est-à-dire de S36 fr.

^ Au contraire, chaque litre à 0^,80, que Ton vendra 0',96, dou"* nera lieu à un bénéfice de 0^16•

^ Comme il faut que le gain compense la perte, le nombre de litres de la seconde qualité doit être tel , qu'en multipliant 0^,16 par ce nombre, on obtienne pour produit 336 fr. On déterminera donc le nombre cherché en divisant 336 fr. par OS 16, ce qui donne 2100. Ainsi il faudra prendre 21 hectolitres de la seconde qualité.

iiM>. La valeur moyenne du litre, pour les vins importés en fotaiUes, s'obtiendra en divisant J 2778667 fr. par 182552S0, ce qui donne 0^70.

La valeur moyenne de la bouteille, pour les vins importés en bouteilles, s'obtiendra de même en divisant 330932 fr. par 12«S39 , ce qui donne 2S75.

ifti. La valeur moyenne demandée s'obtiendra en divisant 133703271 fr. par 1210451, ce qui donne 110S45.

IM. La quantité totale de vins consommée est la somme des nombres 1063504 hectol. et 10345 hectol., c*est-à->dire 1073849 hectol., ou 107384900 litres. La consommation annuelle par habitant s'obtiendra en divisant ce nombre par 1053000, ce qui donne 101^'S98. La consommation journalière sera le quotient de ce dernier nombre par 865, c'est-à-dire 0"',279, ou, à trèspeu près, 28 centilitres.

SUR LE FAIX DES iENRÉES. SS

185. On ft TU, au n^ lis, que Tensemble des droits s'élèfe à tl',60 par hectolitre. Les droits acquittés pour l'aitrée de 1063SM hectolitres, s'étèTeront doue à 1063504 fois 31%60, c'est-à-dire à 22971686^,40.

Pouf les vins en bouteilles, les droits étant supérieurs de 7 fr. par hectolitre à ceux que payent les Tins en cercle, on aura Tensemble des droits par hectolitre en ajoutant 7 fr. h 2l',60, cT qui donne 28',60. Les droits acquittés potn* 10345 hectofitres Taudront donc 10345 fois 28^,60, c'cst-à-drre 295867 fr.

En additionnant les deux nombres 22971686^,40, et 295867 fr., on obtiendra le total des droits acquittés; on trouve ainsi 23267553S30.

IM. Les 630 litres, ou 6'»-*-»,30, à 140 fr., Talent. . 882^,00

725 litres, ou 7*«",25, à US fr., Talent. . 1087 ,50

45 hectolitres, à 110 fr., Talent 4950 ,00

Total. . . 6919^50.

IStt. L'eau-de-Tie étant à 52 degrés, on aura le Tolume d*a]oool coBlenu en multipliant le Tolume total, 6^*^^30, par 0,52, ce qui donne 3'»«^,276.

Les droits à acquitter, par hectolitre, se composent d'abord de 23',50, plus 66 fr., c'est-^-dire 89^,50, phis des 2 décimes par franc, on du dixième de 89^,50, c'est*à-dire 8^,95; en somipe 98',45. Multipliant ce noml>re par 3,276, on obtient 322^^ pour l'ensemble des droits que devra acquitter la pièce d*eaa-de-Tîe.

Le trois-six du Languedoc étant à 86 degrés, la quantité d'alcool contenue dans les 7''*^^^25 est le produit de ce nombre par 0,86, c*est*à*dîre 6^**^,235. Multipliant 98^,45 par ce nombre , on obtient 613',84 pour les droits à acquitter.

Le trois-six de betterave étant à 90 degrés, la quantité d'alcool pur contenue dans les 45 hectolitres est le produit de ce nombre par 0,90, c'est-ànlire 40,5. Multipliant 98^,45 par ce nombre, on obtient pour les droits à acquitter 3987',23.

i^O. A la rencontre de la colonne verticale qui porte pour titre 85' et de la colonne horizontale qui répond à 28 degrés, on trosve les deux nombres 81,2 et 987. Le premier de ces deux nombres noos apprend qu'à la température de 15 degrés le liquide spiritueux dont il s'agit marquerait 81,2 k l'akoomètre, c'est-à-dire que sa force réelle est 81,2. Le second nombre nous apprend 'que la quantité de ce liquide qui occupe 1000 hlres h 28 degrés, n'en occuperait que 987 à 15 degrés. Mnaif à 15 da-

36 PROBLÈUES

grés, on aurait 987 litres d*esprit contenant les 0,812 de leur volume d*alcool pur. Le yolumc d'alcool pur contenu s'obtiendra donc en roullipliant 087 litres par 0,812, ce qui donne M1^'S44 ; c'est la richesse demandée.

1 27 . A la rencontre de la colonne verticale qui a pour litre 45*, et de la colonne horizontale qui répond à 6 degrés , on trouve les deux nombres 48,4 et 1007. La force réelle de reau-de-vie considérée est donc 48,4; et une quantité de cette eau-de-vie qui occupe 1000 litres à la température de 6 degrés, eu occuperait 1007 à 15 degrés. On aura donc la richesse demandée eu multipliant 1007 par 0,484, ce qui donne 487"S39.

I28« Les nombres donnés 78*' et 2 ^ degrés ne se trouvant pas dans la table, on opérera de la manière suivante :

Supposons d'abord que la température soit 2 degrés. Le nombi*e 78'' est compris entre les nombres 75'' et 80« que donne la table. À ces nombres et à la température 2 degrés, correspondent dans la table les forces 78,9 et 83,7, qui diffèrent de 4,8; ainsi, à la température de 2 degrés, la force réelle augmente de 4,8, quand la force apparente passe de 75** à 80% c*est-^-dire quand elle augmente de 5« ; si la force apparente passe de 76* à 78**, c'est-à-dire si elle augmente de 3% on peut donc admettre que la force réelle augmentera des f de 4,8, c'est-à-dire de 2,88 ou de 2,9, et s'élèvera par conséquent de 78,9 à 78,9 + 2,9, ou à 81,8.

En opérant de même à la température de 3 degrés, on trouverait 81,4. On peut donc admettre qu'à la température de 2^ degrés, la force réelle est la moyenne entre 81,8 et 81,4, c'est-àdire 81,6.

Quant au volume du liquide , la table montre que la quantité qui occupe 1000 litres à 2 degrés, en occuperait 1012 à 15 degrés, et que celle qui occupe 1000 litres à 3 degrés, en occuperait

1011 à 15 degrés. On peut donc admettre que celle qui occupe 1000 litres à 2^ degrés, occuperait à 15 degrés la moyenne en

1012 et 1011, c'est-à-dire 1011,5.

On obtiendra donc la richesse demandée en multipliant 1011"S5 par 0,816, ce qui donne 825i'%38.

ISO. Pour vérifier l'identité du liquide, il faut déterminer sa force réelle à Montpellier et à Paris. Pour une force apparente de Sbi^ et une température de 25 degrés, la table donne une force réelle de82%l.

Pour 10 degrés, et pour des forces apparentes de SO"" et 85*, la table donne des forces réelles de 81 ,5 et 86,4 , qui diffèrent d€ 4«,9.

Quand la force apparente augmente de 5*, la force réelle augmente donc de 4'',9; si la force apparente augmentait de 1% la force réelle augmenterait du cinquième de k^^fi^ c*cst-à*dire de 0°,98 ; si la force apparente augmente de 0,6, la force réelle augmentera donc du produit de ù^fiS par 0,6, c'est-è-dire de C%59. En ajoutant ce nombre à 81,5, on aura la force réelle à Paris; on trouTe 82%09, qui difTère très-peu de 82% 1, trouvé plus haut. On peut donc admettre que le liquide n*a pas été altéré.

130. Pour répondre à cette question, il faut savoir ce que deviennent 700 litres de Tesprit dont il s'agit en passant de ^5 degrés à 10 degrés. Or, à la force apparente 85*", et à la température S5 degrés, correspond le nombre 900; ce nombre indique que 1000 litres de cet esprit à 25 degrés n'en occuperaient plus que 990 à 15 degrés. Un litre serait donc réduit à 0^S990 par le même changement de température, et 700 litres deviendraient 70tfi*X 0,990, ou 693 litres.

A une température de 10 degrés, et à une force apparente de 80^ à 85*, répond le nombre 1005, qui montre que 1000 litres à 10 degrés en occuperaient 1005 à 15 degrés. Si 1()05 litres se réduisent à 1000 litres, en passant de 15 degrés à 10 degrés, un seul

litre se réduirait à r^^ y et, par conséquent, 772"S2 se rédui«

ront à ^^'1^1^^, c'est-à-dfare à 689«*,65. Ce nombre, différant

très-peu du Tolume trouvé à Paris, on peut admettre que le volume du liquide n'a pas été altéré*

iSl. On a vu, au n* 12S, que l'ensemble des droits à acquitter pour rentrée dans Paris des liquides spiritueux, s'élè¥e à 98^,45 par hectolitre. Il s'agit donc de déterminer le Tolume d*alcool pur que la pièce contiendrait, à la température de 15 degrés.

Pour une force apparente de 50", et uue température de 10 degrés, la table donne une force réelle de 51S8, et un volume de 1004 litres (pour 1000 litres à 15 degrés). Puisque 1000 litres à 10 degrés en donnent 1004 à 15 degrés , un seul litre à 10 degrés en donnerait 1,004 à 15 degrés, et 629 litres à 10 degrés en don* neront, à 15 degrés, un nombre marqué par 629 x 1 ,004, ou 53 i**S5. La quantité d'alcool pur contenue est le produit de ce nombre par 0,518, c'est-à-dire 327»S1, ou 3»''^^\27. Multipliant 98',45 par ce nombre, on obtiendra la somme demandée; on trouve 321',53.

133. Pour une force apparente de 90», et une température de 30 degrés, la table donne une force réelle de 86", et un volume

38 TOOBLÈMCS

de 985 litres (poar 1000 litres à 15 degrés). En raisonnant mu noméro précédent, on yerra qne pour obtenir le d*alcool pur qoe la pièce contiendrait à 15 degrés, il fsLvA plier 724 lilres par 0,985, ce qni donne d*abord 71S^S14, et midtiplier ce résultat par 0,86, ce qni donne 613^,44, on 6^*^, 13. On obtiendra-ensuile le montant des droits à acquitter en ninMpliant 99^,45 par 6,13, ce qui donne 603^950.

155. On a vu que la force d*uu esprit, à 15 degrés, est le rapport entre le volume d*alcool contenu et le volume iolM de Tesprit. Après le mouillage, le volume d*alcool est encore k même, mais le volume total a augmenté. Si donc on veut cmatr purcr les forces d'un même esprit avant et après le monîUagc^ cela reviendra à coniparer*deux fractions dont le namérateoreat le même (c'est le volume d'alcool contam), et dont le déaoHB* Bateur est différent (c'est le volume total) ; les forces compariei sont donc en raison inverse des dénominateurs des deux ft«c« tiens, c'est-à-dire en raison inverse des volumes. On peut dire également que les volumes sont en raison inyerse des foroet. Si dionc <m appelle x le Tolume cherché, on devra avoir

4 = 5^, d'Où *=730««xg=778-.66.

Le raisonnement employé ci-dessus devient pins sensible par l'emploi des notations algébriques. Si l'on appelle /la force d'un esprit, a lé volume d'alcool contenu, et Y le volume tptaU /^ et Y' la force et Ie\olume après le mouillage, on aura par définition

/*=^ et f^z^ii

f a V y d'où Ton tire ip = ;^ x — = y ,

c'est-à-dire que les forces sont en raison inverse des volume^.

151. D'après la règle donnée au numéro précédent, on obtiendra le volume demandé en multipliant 620 litres par 52, et divisant le produit par ôO, ce qui donne 644^^8.

i5îS. La table indique que, pour abaisser la force d'un esprit dé OO^" à Sô^", il faut à 1000 litres de l'esprit supérieur ajouter 66 lilres d*eau; à 1 litre de l'esprit supérieur il faudrait donc ajouter 0»*,066 d'eau, et à 730 litres de l'esprit supérieur,

SUR LE PRIX BES DENRÉES. St

il fiiiidra ajouter une quantiié d'eau marquée par O^'SOaS X 730« m 48^^18, ce qui porterait la Yolume tatalà778"Sl8, ft'iln'yaTalt pas eu de conlraction.

Mais le yolume final peut s'obtenir par la règle du n" 155, en multipliant les 730 litres par 90» et divisant le produit par 85« ce qui donne 772"S94.

La contraction qui s'est opérée est la différence des nombres 778»,18 et 772,94, c'est-à-dire 6»,24.

156. La table indii|ue que pour abaisser 1000 litres d'esprit de 55"^ à ÔO*", il faut ajouter 103 litres d'eau; pour abaisser 1 seul litre il faudrait ajouter O^'SIOS d'eau , et pour abaisser 540 litres il faudra une quantité d'eau marquée par O^'^lOSx 540, c'est-à<dire 55"V62, ce qui porterait le volume total à 595''%62 sans la contraction. Mais le volume final doit être réellement

64tf»»X^, ou 694"'.

La contraction sera donc de 1^'S62.

157. Chaque litre de l'esprit le plus fort contient 0''S90 d'alcool ; il en contient donc 0*'S05 de plus que ne doit en contenir le mélange; les 450 litres de cet esprit contiendront donc en trcrp <P,05 X 450, c'est-à-dire 22«S50 d'alcool.

Au contraire, chaque litre de l'esprit le plus faible contient tf^75 d'alcool ; il en contient donc 0"S10 de moins que ne doit en contenir le mélange. Pour que la quantité d'alcool en trop fournie par Tesprit le plus fort soit compensée par la quantité d'alcool qui manque à l'esprit le plus faible, il faut prendre de ce dernier esprit un nombre de litres tel , qu'en multipliant 4^,10 par ce nombre, on trouve pour produit 22>^,50. On ob* tiendra d<Hic le nombre de litres cherefaé en divisant 22*^,50 partf^flO, ce qui donne 225 litres.

158. Pour établir cette relaQon, il sera commode d*empIoyer des notations algébriques.

Désignons par fet F les forces inférieure et supérieure, et par m la fcMTce moyenne; appelons u le volume de l'esprit le plus faible, 9 le volume de l'esprit le plus fort, Y le voliune du mélange. Soit a le nombre de litres d'eau nécessaires, d'après la iaibie du n"" 159, pour amener 1000 litres d'esprit de la force moyenne m à la force inférieure /; et soit enfin b le nombre de litres d'eau nécessaires, d'après la même table, pour amener 1000 litres d'es* prit de la force supérieure F à la fiorce moymne m.

D'après ce qu'on a vu au n* 155, la quantité d'eau nécessaire pour amener le \oIume v de l'esprit supérieur à la force moyenne est

Soit tv le Tolume d'esprit de force moyenne qui pourrait être ramené par le mouillage à un volume u de Tesprit inférieur ; on aura, en vertu de la loi démontrée au n"" 155 ,

[Il - = - , dou w= -1.,

et la quantité d*eau qu'il faudrait ajouter au volume w^ pour l'amener de la force moyenne à la force inférieure, serait

1000' D'après la considération indiquée dans Ténoncé, on doit avoir

vb wa ^

ou, en mettant pour w sa valeur [i],

m * relation que l'on peut mettre sous la forme

c'est-à-dire que : le volume de F esprit le plus fort est au volume de tesprit le plus faible f comme le produit de la farce inférieure par le nombre de litres dCeau nécessaires pour amener 1000 litres d'un esprit de la force moyenne à la force inférieure ^ est au produit de la force moyenne par le nombre de litres d'eau nécessaires pour amener 1000 litres d'un esprit de la force supérieure à la force moyenne.

139. D'après les données du problème du n"" 157, on a ^=75, F = 90, 971 = 85, t;=:450 litres*, et la table du n"" 135 donne a = 1^5 et 6 = 66. On aura donc

45tf'» 75.145 ,, . 450»'«».85.66

ir= 85:56"' ^^^ **= 76.145

On trouve, en eflectuant le calcul, ii=2l8"S48.

SUR LE PRIX DES DENRÉES. ki

140. En conservant les notations da n"* 158, on voit que, d'après la loi démontrée au n* 185, le volume v de Tesprit dont la force est F, donne un volume d'esprit de la force moyenne m,

marqué par — .

De même, le volume u de l'esprit dont la force. est fy donne

on volume d'esprit de la force moyenne, marqué par — .

La somme de ces deux volumes doit faire le volume total T ; on a donc

c'est-à-dire que : pour obtenir le volume du mélange y il faut mul'tiplier chacun des deux volumes mélangés par la force gui lui correspond y faire la somme des produits ^ et diviser par la force moyenne.

141. On a dans ce cas v=4S0 litres ; on a trouvé au n"" 189, M=218"S48; on a d'ailleurs f=75, F = 90, w==: 85; on aura donc

^^ 4S(y»>X90-^218^48X75 ^6gg,it^24.

142. On a ici /==45, F =65, «î=60, «=260 litres; la table du n* 155 donne a^= 114 et 6 = 103. On aura donc, d'après la relation trouvée au n^" 158,

V 45.114 „ , «/.Aiît 45.114

doù t?=260^".-

on t; = 258^*'S99. Il faudra donc 258"S99 de l'esprit supérieur.

Le volume du mélange s'obtiendra ensuite d'après la formule du n* 140 ; et l'on aura

V 258 '*,99.55 -f- 260 *^.45 . g | gut ggg^

Dans cet exemple , le volume du mélange ne diffère que de tf^,101 de la somme des volumes.mélangés.

145. Le volume du mélange s'obtiendra d'après la règle du n* 155 ; et l'on aura, en désignant par V le volume cherché,

^=55, d'où. Y=720'«.| = 864«S

ce qui revient à 8*»^»',64. La valeur de l'hectolitre de Tesprit obtenu sera le quotient de 1080 fr. par 8,64, c'est-à-dire 125 fr:

4t PMBLËIIKS

144. Il faut d'abord chercher le Tolume d'eau-de-vie k 55 ^'U faudra ^jouter, et le Yolome total du mélange.

Dans la formule du n"" 138, ou fera /*= <iû, F =55, »=S% 11=540*''; la table du u"" 138 donne a=256 et 6=103; on aura donc

V 40.256 « , —K&niH*?:?*?

OU r = 1073»'S70, La formule du n"" 140 donnera ensuite

^^1073HS70.55 + 540.40^ ^g,3,,^^

on 16^"«**jl3 environ.

La valeur de ce mélange se compose :

!• de la valeur de la pièce d'eau-de-vîe à 40*, soit . . 62l',00

2» de la valeur des 1073*î',70 ou des 10»«*'»«S737 d'eau-

dô-vie à 144 fr., qui est 144' X 10,737 on 1546 ,13

En somme 5167*,lS

La valeur de Thectolitre du mélange sera le quotient de ce nombre par 16,13; on trouve 134^,35*

148. Les 27 veltes font 7«S61 X 27 ou 205«S47, A 19* de Cartier répondent, d'après la table, 50,1 degrés centésimaux ; à 20^ de Cartier répondent 53,4 degrés centésimaux ; différence 3,3 degrés centésimaux ; les f de cette différence font S,47 qui, ajoutés à 50,1 , donnent 52,57 ou à peu près 52,6 pour la force réelle de Teau-de-vie considérée. Sa ricliesse en alcool est donc 206»S47 X 52,6 ou 106*»S08.

148. Les 15 cantara font 15 fois 13^97, c'est-ihdire S09^^5. Les 21 degrés de Cartier répondent à 56,5 degrés centésimaux. On trouve dans la table des forces réelles, n* 186, qu'à la température de 30^, des forces apparentes de 55* et 60°, répondent à des forces réelles de 49,6 et 54,7; différence 5,1 pour une différence de 5* dans la force apparente ; pour une différence de 1* dans la force apparente, la différence des forces réelles eerm donc le cinquième de 5,1,. c'est-à-dire 1,02; et pour une différence de 1^ entre les forces apparentes 55* et 56*,5, la différence entre les forces réelles sera donc le produit de 1,02 par 1,5, c'est-à-dire 1,53; la force réelle du liquide considéré est donc 49,6X1,53 ou 51% 13.

Pour (d)tenir sa force apparente à 10*, il faut, dans la table du nf" 186 chercher, dans la ligne horizontale qui répond à l^t

SUR LE nUX lu DEURfiES. 4S

b force réelle 51,13 ; si Ton 7 Irouvait œ nombre» celui qui senàt situé en télé de la coloiae verticale oomipoadaBle senil la Corœ apparente demandée. On ne troave pas 51,13, mais 4Ni troare 51,8 qui en diflère peir, et qui répond h une force apparente de 50^.

Ainsi donc la force apparente dn liquide i W devra être de très-peu inférieure à 50*.

La table nous apprend également que 1000 litres de ce fiqoide à 30^ n'en occupent que 988 à 15*; et que lOOO litres à lOP en occuperaient 1002 à 15*. Les 205^,47 à 30^ en occuperaient donc

Tel est le volume que le Uquide considéré doit avoir à 10^* La force réelle étant 5l%13, en rabaissant de 1 centièmCt on ramènera à 50,13 ; pour trouver la quantité d'eau qu'on doit ajouter, on peut, à cause de la faible différeuce entre les forces, négliger le changement de volume dû à l'action chimique, et appliquer simplement la règle du nr 155, qui donnera, en désignant par T le volume du mélange,