faut d'abord, dans la formule [1] du ne M
a = 3% n=4(k, d'où t;4*= 629, r = 0,045, et m = 16.
On a vu que t^ = <ï>966507 ; on aura donc d'abord, |V
la ^ime concernant le traitement de maladie du naarî,
Pour le traitement de maladie de la femme, on n'a qa'iitfr placer Vu par vm , c'est-à-dire 629 par 664 , ce qui donne
D*après le tableau du n"" 877, la valeur d'une rente iai^ de 1 fr. sur deux tètes de 44+16 et 39+16, ou 60 et b^m est 7,394. D'ailleurs, d'après le tableau du n» 880, on a
A«= 10,691 et A«=9,346.
La valeur d'une rente viagère de 1 fr. sur deux têtes âgées i US ans et de 60 ans, jusqu'au dernier décès, est donc (88f)
10,691+9,346 — 7,394, ou 12,643.
Par conséquent une rente viagère de 1 fr. sur deux tètes ip^ de 39 et 44 ans , jusqu'au dernier décès, mais différée de 16 a^ a pour valeur (890)
12,643.t%.fr» 12,643.526.463 ^^,,^
(l,045)«.t^.fiH ^'^ (l,045)-.664.629-'^^^-
SMK LA POPULATIOlf» ETC. 4Î7
Une rente viagère de 600 fr. dans les mêmes conditioiis «lira donc poar taleur ^,64533 X 600 ou 2ia7S20. La soDUtte totale à terser sera la somme des trois quantités
îlO'.eO, 208',02, et 2187',20,
c'est-4i-dire 26l4',82.
S *• De 1» «•tese d'épargne et 4e 1» eatese éam >e*ialM*
p^mr lA TlelUmiBe.
947. n faut d*abord retrancher une semaine » puisque les intérêts ne commencent à courir que du dimanche qui suit le dépôt. On aura donc à chercher rintérêl de 75 fr.» à 3 ^ pour 100 , pendant 37 semaines» ou 37 fois 7 jours. La formule qui donne cet intérêt est
c'est-à-dire qu'il faut multiplier la somme déposée par rintérêl annuel éTun franc et par le nombre de semaines^ et diviser le produit par 52. En effectuant le calcul» on trouve 0; = 1', 86.
948» n reste jusqu'à la fin de l'année 52 — 11 ou 41 semaines ; il faut en retrancher une pour ne faire courir les intérêts que du dimanche qui suit le dépôt; restent donc 40 semaines. En appliquant la règle obtenue au numéro précédent , aura
23yx 0,035X40 ^ ^^ = M = ^»32,
949. Q reste jusqu'à la fin de l'année 52—44 ou 8 semaines ; d'après la règle du n"" 947 on aura donc
9ttO. I. Pour obtenir les intérêts à ajouter au capital retiré , il suffit de retrancher les intérêts rétrogrades des intérêts anti dpés, ce qui donne 6^,32 — t',26, ou ôS06. La somme à payer au déposant sera donc 241',06.
II. La règle que nous Tenons de suivre est celle qui est adoptée par la Caisse d'épargne. On peut en vérifier le résultat directement.
SOLUtlOnS DBS PRaBLfiMBS
Pnisqa'au moment du dëpAt il y avait 1 1 semaines â'éenfe sur l'année , les intérêts ont commencé à courir après 12 smaines. D'ailleurs ils ont cessé après 44 senaaines. As ont èm couru pendant 44 — 12 ou 32 semaines ; par conséquent h <V lèvent à une sonune représentée par
ou 5S06
comme ci-dessus.
Otfi. On déterminera d'abord les intérêts anticipés, on âiietranchera les intérêts rétrogrades, et à la différence on ajo^ celle des capitaux versés et retirés. Le calcul est indiqué dask tableau ci-dessous :
SomnieB
Sommea retirées.
Hombra
dasemtinet
d'inKrèt.
Intérete anticipés,
lAterte
'996' différence des capitaux.
I6',13différ. desiniérf^
1010^,13 somme à payer.
La somme à inscrire au compte du déposant sera donc I01tf,i3^
0S2. Il faut d'abord ajouter au compte du déposant les ii^ rêls de 1010 fr. pendant 3 mois ou 13 semaines, c'est-à-dire ?,* ce qui donne 1018',97.
Les 10 fr. de rentes 4 ^ pour 100 au cours de 90, ont uneiileur exprimée par
90'XIO
ou 200^.
11 restera donc au compte du déposant 818',97.
9tt3. Gomme il y a 52 dimanches; le capital déposé s'élevait d'abord à O' X 52 ou 312 fr.
Soient n, n\ n"^ etc., les nombres de semaines écoulées depuis le dimanche qui suit chaque dépôt jusqu'à la fin de l'année; les intérêts produits par ces dépôts successifs seront exprimés par
yX0,035.n 6^ X 0,035. n^ 6^X0,035.n^^
et la somme de ces intérêts pourra s'écrire
6»X 0,035 , , , , I, , » , ^^2 — .(n + n' + n''+ etc.).
Or, la quantité entre parenthèses n'est autre chose que la suite naturelle des nombres, décroissants depuis 51 jusqu'à 1; la somme de ces nombres est
(il+^ ou 26X51;
la somme des intérêts que l'on yeut obtenir est donc
En effectuant le calcul, on trouve 5^36. L'avoir du déposant s'élevait donc à 317',36.
9tt4. Les versements de la seconde année produiront, comme ci-dessus , 317',36. Quant à ceux de la première année , il faut d'abord en réduire le produit à 317 fr.» puisque les centimes qui suivent ne rapportent point d'intérêt ; puis il faut chercher Tintérêt de ces 317 fr. au bout de 52 semaines. On trouve 11^09. L'avoir du déposant se composera donc de 317',369 plus encore 317,36, plus ll',09; en tout 646'>81.
96S. Il pourra continuer pendant plus d'une année; à la fin de la 3% son avoir se composera de 317',36, produits pendant cette année, plus 646',81 , produits pendant les 2 années précédentes, plus les intérêts de 645 fr. pendant un an, c'est-à-dire 22',57, en tout 985',74.
Cette somme diffère de 1000 fr. de 14',26; le déposant ne pourra donc continuer à placer 6 fr. par dimanche que pendant 2 semaines encore; en tout 14 semaines à partir de la fin de la seconde année.
9tS6. Au bout de 14 semaines, le compte du déposant s'élèvera h 985',74-|- 12', c'est-à-dire 997',74.
430 SOLUTIOlfS IIBS PROBLÊIES
Or, M fr. de rentes 4 { pour 100 an conrs de Oi',50 valeat une somme marquée par
Le compte se trouvera donc réduit par cet achat à
Le compte du déposant à b fin de la 4* année comprondra : V Les 317,36 résultant des yersements de Tannée; 2« Les intérêts de 985 fr. pendant 2 semaines , ou 1^33 ; 3* La somme de 59l',07 restée inscrite sur le compte ; 4* Enfin les intérêts de 591 fr. pendant 50 semaines, e'est-idire 19^,89; en tout, 929',6S.
987. On a Yu (085) qu'en plaçant 6 fr. tous les dimanches à la caisse d'épargne , Tourrier peut disposer à la fin de Tannée d'un capital de 317',36.
Cette somme, placée chaque année à 4^ pom: 100 et à intàréto composés, produira au bout de 30 ans un capital définitif exprimé par
^"'^-^^^^-'\ ou iWSlSi».
D'après la table du n*" 860, la valeur d'une rente viagère de 1 fr. sur une tête de 55 ans est 10,691 ; la rente viagère demandée sera donc le quotient de 1936i',22 par 10,691 , c'est-i^ dire 1810^,98.
988. n disposerait à 55 ans d'une somme égale an sixiènie de 19361 ',22, c'est-à-dire de 8226^,87; et îl pourrait jouir, à paHir de cet &ge, d'une rente annuelle ^ale an sûûème de ISIO',98, c'est-à-dire d'une rente de 301^88.
989. Leur versement hebdomadaire étant de 8 fr. , ils disposeraient au bout de 30 ans d'un capital égal à la moitié de 19361^22, c'est-à-dire de 9680^,61.
D'après la table du n^" 880, on a
Aib = 11,921 et «=;: 10,691,
et la fable du n^ 877 donne Â^^ji = 8,602; la valcttr d*iiM tente viagère de 1 fr. constituée sur deux têtes de 50 et de 56 ans jusqu'au dernier décès est donc (882)
ll',921 + 10',691 — y,602 ou 14',010.
SBft LA POPULATION, STC« 431
La rente viagère demandée serait donc le quotient de 9680',6l par 14,01 , e'est-à-dire «dO'.SS*
900. Si Von appelle r Tinlérèt trimestriel d'un franc , et a la flomoie placée » qneUe qu'elle aoit , on de?ra avoir au bout d'un MBestre
d'où log (1 + r) = i.log 1,0225.
Pour obtenir le nombre de décimales demandé , il faut faire usage de la table I qui suit, dans Gallet, la table des logarithmes des nombres de 1 à lOBOOO, et qui donne avec 20 décimales ceux des nombres de 1 à 1200. On remarque que le nombre 10225 est le produit de 409 par 25. Or la table I donne, en ne prenant que les 11 premières décimales,
log 409 =2,61172330800...
et log 25 i= 1,39794000867...
d'où log 10225 =: 4,00966331667
et log 1 ,0225 =r 0,00966331667
puifi { log 1 ,0225 = 0,00483165833. .. .
En ne prenant que les 10 premières décimales, on peut donc
log (1 + r) = 0,0048316683.
Pour obtenir 1 + r, on extraira simplement la racine' carrée de 1 ,0225, ce qui donne
1 +r = 1,01118742; d'où r = 0,01118742.
La table ordinaire donnera ensuite
log r = 2,0487300.
96t. D'après la table de Deparcieux, le nombre des vivants de 40 ans est 657 , et cebii des vivants de 41 ans est 6S0« Il en résulte que le nombre des morts de ïsxmée est 657 ~ 650 ou 7.
Si ces morts sont distribués uniformément par trimestre , il y en aura } ou 1,75 pour chacun. Les nombres demandés seront donc:
À4ûan8 657,00
A 40 ans 3 mois 657 —1,75 ou 655,25
432 SOLUTIONS DES PROBLÊHES
A 40 ans 6 mois 655,25 — 1,75 oa 6533
A 40 ans 9 mois 653,50 — 1,75 oa 6S1,7^
A 41 ans.... 651,75 — 1,75 oa 6dO,00
968. Le nombre des vivants de 73 ans est 251'; elle B«k des vivants de 74 ans est 231 ; le nombre des morts de ïm est donc 20, dont le quart est 5; on aura donc :
A 73 ans 251 sorvifuls.
A 73 ans 3 mois 251 — 5 ou ... . 246 —
A 73 ans 6 mois 246 — 5 ou ... . 241 ^
A 73 ans 9 mois 241 — 5 ou ... . 236 —
A 74 ans 236 — 5ou • . . . 231 —
963. Pour calculer cette série, on commencera par dëenm d'après la table de Deparcieux, et en se conformant à l\ indiquée au n* 961 , les valeurs de t;», t;», f», v», etcpp! vn\ et Ton cherchera les logarithmes de ces valeurs.
Ayant le logarithme de 1 + r (960), on le multiplien pr^ pour avoir le logarithme de (1 -}*- ^)"; puis on ajoutera sacoO' vement log (1 + r) , puis encore log (l + r), et ainsi de safeî^ Ton formera les logarithmes de (1 + r)", de (1 +r)*S de Cl+'^ et ainsi de suite jusqu'au logarithme de (1 -f- ^f*- Od fo^ alors, par une simple soustraction, obtenir le logarithme*^ terme quelconque de la série , et trouver le nombre &xar pondant.
Mais il faudra commencer par le dernier ■ f^^gt pw» '*"
(1 -f-rjr
vant-demier ■■ ^^^ » puis le précédent ■ ^ ^ ; et aiuà *
suite, en rétrogradant toujours, jusqu'au premier terme ^rr^
Le dernier terme sera lui-même la valeur deZml^J^. tant le terme précédent, on aura la valeur de Z»; en ajoofsBl' la somme le terme précédent, on aura la valeur deZm\1^^ ajoutant à cette nouvelle somme le terme précédent, oo ans ^ valeur de Z»; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait ajooték
premier terme " ^, ; à cet instant la somme obtenue ssn^
valeur de Zn.
On pourra ensuite ranger les valeurs de Z« dans Tordre cfB^ sant des indices m; et l'on formera le tableau sniTant, oAi^ valeurs de Z« relatives aux quatre trimestres d'une mèn^ a^^ sont placées dans une même ligne horizontale.
Tableau des valeurs de Z*. correspondantes à chaque trimestre.
Trin.
lOO
Trira.
BOLirr. DIS PIOBL.
Trim. Z.
Trim.
Trim.
:fô2
Trim.
ITrim.
Trim.
951 ,21464 849,6fia 755,75781 669,06866 589,34317 516,33820 449,81551 389,53281 335,21675 386,50412 243,13137 204,73577 170,96633 141 ,46661 115,82765 93,760836 74,981174 59,155191 46,033306 35,308»
i;6647n 0,898QW 0,4335331 0,1801681 0,0569BiS
064. Puisqu'il est né le 12 mars 1834, son âge doH être calcnlé comme s*il était né le 1** avril de la même année. Au 1"'' anil 1857 U a donc eu 1857 — 1834 ou 23 ans.
Son Ycrsement ne portant intérêt qii*à dater du 1" janvier 1858, est œnsé fait ce joor-là. Le déposant est donc considéré comme ayant, au moment du versement, 23 ans et 9 mois.
Il sera considéré comme ayant 55 ans le 1*' avril de Tannée 1834 + 55 ou 1889; et c'est à cette date que commenoera à courir la rente viagère. Le temps écoulé depuis le versement sera 55 ans moins 23 ans 9 mois, c^est-ihdire 31 ans 3 mois ou un nombre de trimestres marqué par 3f x 4 -f 1 ou 125 trimestres.
Le titulaire aura droit à toucher le premier quartier de h rente le i*' juillet 1889.
96S. Soit a la rente viagère trimestrielle; soit m le rang, i partir de la naissance , du trimestre où cette rente doit commencer à courir; et soit n le rang, à partir de la naissance, da trimestre qui suit immédiatement celui où le versement s'opère.
Sim LA FOPITLATIOK, ETC. 4S5
fSignons en général par v^ le nombre des tunifants m com« ^ncement du trimestre de rang n.
Sans [la circonstance particalière indiquée dans dénoncé , la nte dont il s'agit serait une rente viagère différée ordinaire ; et, iprès ce qui a été dit au n* 871, sa valeur serait exprimée par
Pn.(î + rr* Il +r"*" (1 + r/"*" (1 + r/"^ — -Jllette formule peut s'écrire
faintenant, pour tenir compte de la circonstance dont il s'agit» raisonnera de la manière suivante. Le nombre des morts du nestre m -f l est v«. — v^i ; la probabilité que ce nombre de es aura lieu sur Vn vivants à l'époque du versement est
a somme à payer par le Trésor à la famille de chaque décédé ^ a, somme qui, ramenée à la valeur qu'elle aurait à l'époque irersement, devient
(1 + rr^^'
'espérance mathématique eorrespondante pour la famille de mn des décédés est donc
a verrait de même que pour les trimestres m -f 2, m -}- 3, etc. , lérance mathématique » pour la fkmille de chacun des dés de ces trimestres, de toudier la sonmie ^ a, est respecti-
Vnil +rr^^ ' r.(l + r)«-^ ' *"""•
Gaut donc, pour obtenir la TakiR* de la rente viagère à l'épodu versement, ajouter à la formule [1] la sonune de ces rances mathématiques.
Or, cette somme peut s'écrire
et il reste à faire la somme des formules [i] et [2].
Si Ton met à part le facteur — ^ — ' — ^ commun aux deux for-
roules 9 et qu'on fasse la somme de tous les termes positifs de la seconde, on obtient d'abord, en ayant égard au facteur^,
ou bien
ou , d'après la notation adoptée au n? 963 ,
Si maintenant on réduit les termes de la formule [1] avec les termes négatifs de la formule [2] , on trouve
I I r Vm-H I Vm^ I Vm^ | "1
OU bien -fi-Z«.
En réunissant ces deux résultats , il vient donc
Rétablissant enfin le facteur commun ~ ^ , qui avait élé mis à part, et désignant la valeur cberchée par P, on obtient
Biais , /| n'est autre chose que Z„-i— Z»; on peut donc écrire
c'est lexpression demandée.
IZii-i — Z J
966. On a ici a = ^ = 1 87^,50. D'ailleurs 56 ans font 220 Iri-
mestres; Fépoque de rentrée en jouissance correspond donc au 221* trimestre, et Ton a m=221. L'âge du déposant, au moment
du versement , est , comme on Ta vu , 23 ans 9 mois , ou 95 trimestres ; ainsi n = 96.
La table du n» »t5 donne Z«= 2004,5224 et Zm=2050,0234. On en déduit , avec le secours des logarithmes,
1 + r d'où i . fz» + j^l = 2015,9324.
La même table donne Z96=: 18053,771 et Z» = 18325,562 , d'où Z» — Z» = 272,4639.
Par conséquent P = i87',50X^^, c'est-à-dire
P = 187',50X 7,39889 ou P = 1387S54.
967* Dans ce cas , l'entrée en jouissance aurait lieu dans le trimestre qui suit celui où le déposant atteint ses 65 ans , et dont le rang, à partir de la naissance, est 65x4-}-l ou 261; ainsi m =261. L'âge du déposant, au moment du versement, étant de 3 ans , ou 12 trimestres , on a n = 13.
La table du n*" 965 donne
Z«t = 711,52454 et Z» = 733,42060 , d'où l'on déduit
i[z-+rF] =718.41541.
La même table donne
Zu — Ztt = 60337,219 — 59462,195 = 875,024 ; on aura par conséquent
ou P = 153',94.
438 SOLUTIONS DSS PtOBLÊMES
86». On a ici «1=60X4 + 1 = 241 «ts=40X4-}-l = lttl.
lyaiUeurs a=?î=l',25.
La table du n* 963 donne
Z«ii:=l«41,4$16 et Zm»= 1273,5130.
d'où l'on déduit
i(Zw+ï^) = 1260.4374.
La même table donne
Zw — Z» ss 6554,6156—6443,8258 s 110,7898 ; on anra donc
ou P=14*,ll.
969. Le déposant doit être considéré comme né le l*' mars 1803, et le yersement sera censé avoir lieu le 1*' octobre 1857 ; VAge aa moment du versement sera donc 54 ans 6 mois , ce qui fait il8 trimestres. Comme il 8*agit ici d'une rente viagère i diiteyOn a
«lr=« = 219.
La table du n*" 963 donne
Zia = 2096,2958 et 2^8 = 2143,3513; on en déduit d'abord
puis [Zm — Zmb] = 47,0555. •
D'ailleurs on a a=-r-=s SO' ;
il Tient par conséquent
on P = 1S43'.92.
SUR LÀ POrULÂTlON, ETC. 439
»70. De la formule [4] du n» 0C3 on lire
Dans le cas actuel , on a 9 = 1500^. L'enfant étant Agé de 9 ans et 3 mois, ou 37 trimestres, on a n = 38. L'entrée en joaîssance étant fixée à 61 ans, on 244 trimestres, on a
La table du n* 96S donne
Z««= 1118,8908 et Z,**= 1148,6957,
d uù i (Z«5 + Y~j = 1 127,4388.
La même table donne
Z»= 41737,223 et Z„ = 42325,260,
d'où Z„—Z» = 588,027;
on anra donc
on a=782',34.
Telle est la valeur de la rente trimestrielle; la rente annuelle sera quatre fois plus grande , et s'élèvera par conséquent à 3i29',36.
97t. Dans la formule [5] du numéro précédent, il faut faire
P=5', « = 50X4 + 1 = 201, et « = 5x4 + 1=21.
La table du n"" 963 donne
et Zn=53766,235 ;
on ca tire { [Zm+ j^l =3085,9708
Par suite, on aura
« = ^X^:i^=»''**^5.... ou !',«.
La rente annuelle sera 4 fois plus grande « ou 4^92.
972. On aura ici P = 2000S «1 = 64x4+1 = 257, et 11 = 44x44-1 = 177. On trouvera (965)
Zs7 = 801 ,78430, Zm= 825,48815, et Zm = 4864,5583 , Zm = 4953,3308 ,
d*où l'on tirera
irZw+j^] = 809,0698 et (Z«-Zct) = 88,7725.
Par suite
La rente annuelle sera 4 fois plus grande, c'est-à-dire 877^76.
973. En opérant comme aux trois numéros précédents, on trouvera :
V Que le premier versement, fait à l'âge de' 32 ans et 6 mois, produira à 55 ans une renie annuelle de 533S69
2'' Que le second versement , fait à Tâge de 35 ans et 3 mois, produira à la même époque une rente annuelle de 543^,48
3"" Que le troisième versement, fait à l'âge de 38 ans, produira de même 122 ,70
4'* Que le quatrième versement, fait à Tâge de 39 ans et 9 mois , produira • 334 ,3S
La rente annuelle totale sera donc 1534',19
974. l*" Soit P le capital équivalent à la rente viagère a, aa moment du premier versement, et soitp la somme à verser ptf trimestre pour constituer la même rente. Cette somme trimestrielle p peut être considérée elle-même comme une rente Tis* gère temporaire, que le déposant aura à payer depuis Tépoque àe son premier versement jusqu'à celle de l'entrée en jouissance de
SUR LA POPULATION, ETC. kkï
la rente a. Seulement le premier payement aura lieu 3 mois plus tôt que s'il s'agissait d'une véritable rente (87tf); et le dernier payement aura lieu au commencement du trimestre m: On devra donc avoir
en désignant par A? la valeur d'une rente temporaire de 1 fr. payée depuis le trimestre n jusqu'au trimestre m. Il s'agit de trouver la valeur de Ar au moyen des valeurs de Z» données au n* 965.
Or, la rente viagère temporaire Âr se compose de la rente immédiate An, diminuée de la rente différée jusqu'au trimestre m. La première rente a pour valeur (8S9)
^n(l + r)'^Vn (i + r)*'^v^ (1 + r)»"^ ' ' " ce qu'on peut écrire
ou bien ^1+JT.z,.
La seconde a pour valeur (875)
ce qu'on peut écrire
(1 + rr
[Vm4.i I Vm^t 1 t^m4< . "1
ou bien 1±l}l.z^.
La valeur de A; est donc
(1 + ry
Mais on a vu au n*" 96S que
(Zn— Z»).
; est égal à Z„i — Z« ,
44f SOLUTIONS DES PROBLEMES
011 peut donc écrire
Z»-i — Zn
et l + A:=l+J=^=f-'"'|'-
Par conséqaent
OU, en mettant pour P sa valeur donnée par la formule [4] da n-86»,
3* Dans l'exemple proposé , on a «=60X4+1=241 , n=40x4+l=161, et 0=^=150».
La table du n* 965 donne
Zm(= 1241,4516, Zm= 1273,5130., et Zm = 6554,6156 ,
d'où Ton tire
et Zn^ ^Zm = 6554,6156 — 1241,4516 = 5313,1640. Par conséquent
ou p = 35',30.
07tt. On a ici
a=-^=187S50, «1=65x44-1=261, et ns=: 25x4 +1=101.
La table du n^" 965 donne
Z»i = 71 1,52454, Z»=733,42060, et Ziio= 16999,780; on en déduit
cl Z»^ — Z« = 16279,2554.
SUft Lk POPULATION, £TC« 441
But conaévient
9T6. La formule [6] du n* 974 , résolue par ntpport \ la rente viagère a , donne
Dans l'exemple actuel , on a
p=60, «1 = 50X4+1 = «)1 et n = 30X4 + l = 121. la Ud>Ie da n* 863 donne
Z« = 3071,9197 , Z,» = 3134,7031 , et Z» = 12520,289 ; on en tire
cl * 2;^ — Z« = 9448,3699.
Par conséquent
ou a=153',085... ou lâS'yOS.
La rente annuelle aérait 4 fois plus grande, c'est-à-dire de 61¥,34.
•77. En opérant oomme au nnmâro précédent , on troavefa qifnn censément de 1 fr. à 28 ans 0 mois, produit à 50 ans une rente de 0^,268288. Par conséquent un capital de 1800 fr. proànra ime rente 1000 fois plus grande , on 268^29.
On trouvera de même que le versement de 1 fr. produirait à 80 ans une rente de 0',662l 10. Pour obtenir la rente demandée, on pourra multiplier ce nombre par 1000; ou, si la renie 268',29 était immédiatement donnée, la multiplier par 0,662110 et diviser le produit par 0,268288. L'une et l'autre méthode donneront 662M1.
978. Pour obtenir l'expression demandée, il faut tenir compte
444 SOLOTIOKS DES PROBLSBS
des capitaux restitués aux bériUers des titulaires de cessivement décédés.
Le versement P ayant lieu dans le n'^'^ trimestre, il y aura i rembourser P à la famille de chacun des décédés de ce trimestre ; et ce remboursement devra avoir lien an commencement dn trimestre suivant. Le nombre de ces décès est v» — 9.44, et la probabilité qu'ils aient lieu est
\jL somme P à payer à chacun d'eux, ramenée à la valeur qifdie aurait au commencement du trimestre n^ est
L*espérance mathématique, pour la famille de chacun de ces décédés, de toucher la somme P dans le (n+1)'^ trimestre est donc
On verrait de même que Tespérance mathématique , pour la iamille de chacun des décédés des trimestres n -{- 1 > *» + 2 , etc. , de toucher la somme P au commencement du trimestre qui suit, 08t respectivement
ÏT,- (l-f-r)» ' ÏT,- (l + r)» ' ''^• La somme de ces espérances mathématiques est
V,' 1+r +;;;• (i+d» "«"ïr/ u+rf •*"•••'
et*cette somme devra être ajoutée au second membre de Féquation [4] du n* 065, ou, ce qui revient au même, retranchée da premier.
Si l'on fait cette soustraction , on trouvera d'abord une série de termes positifs :
p I P JVH 1 P <^Hft I P t>H4.t I
puis une série de tenues soustraclifs :
l + r «.'(l-fr)» Vn'{i-\-rT
SUR LA. POPULATION, ETC. kkH
Ces termes se réduisent deux à deux avec les précédents ^ et donnent
rP , f P v^i I rP «M* ,
somme qae l'on peut écrire
rP. a + r)-^ r Vn I Ptti I t>«4« I 1 »«.(l+r) •L(l+'"r"^(l+r)"-^"^(l + r)«"^"*J
ou Y+-r ^•^"-'•
Or, on a YQ au n* 96i$ qde
(l + r)' te premier membre de l'équation pourra donc s'écrire
fP Z,-.
L'équation [4] du n' 96S deviendra donc
rP z^. ^•^^+rfi]
1+r'Z,^, — Z,~ IZ^,-Z»J !
d'où P= Tt ^-^--^' "^^^
c'est l'expression demandée.
