Il faut ici faire le développement de
el, pour obtenir une approximation suffisante, on emploiera des ogarithmes à 14 ou 15 décimales (table 1 de Callet). On calcule d'abord le premier terme du développemoil ,
Le logarithme de 0,99 est 1,995635194597550; en le multipUanl par 1000 on obtient pour le logarithme du ^premier terme 5,635194597550, qui répond au nombre 0,00004317.
' Pour mettre ensuite de l'ordre dans les calculs, on commencera par Mre la liste des facteurs successifs par lesquels il feut wMplier chaque terme pour obtenir le suivant; ces facteurs sont :
On en cherchera les logarithmes ; et par des additions successives on obtiendra les logarithmes des termes du développement»
On en déduira ces termes eux-mêmes ; et, par de nouvelles additions successives , on obtiendra les sommes qui expriment les probabilités demandées. On formera ainsi le tableau suivant :
Kaag.
Termes.
Sommes.
Il résulte de ce tableau qu'il y a plus de 99 à parier contre 1 que l'événement  n'arrivera pas plus de 18 fois; plus de 999 contre 1 qu'il n'arrivera pas plus de 21 fois; plus de 9999 contre 1 qu'il n'arrivera pas plus de 24 fois; plus de 99999 contre 1 qu'il n'arrivera pas plus de 26 fois ; enfin qu'il y a plus de 999999 contre 1 à parier que cet événement n'arrivera pas plus de 28 fois (988).
MO. li faut faire le déyeloppemeDl de
En Opérant comme anx deux numéros précédents, on pourra former le tableau qui suit :
Ranf.
Termes.
Sommes.
U résulte de ce tableau qu'il y a plus de 99 contre 1 à parier que révénement A n'arrivera pas plus d'une fois; plus de 9999 contre 1 que cet événement n'arrivera pas plus de deux fois; et plus de 999999 contre 1 qu'il n'arrivera pas plus de trois fois.
991. Le nombre des vaisseaux étant £00, et le risque, ou la probabilité d'un sinistre pour chacun d'eux étant -^ , on est dans le cas du tableau du n"" 988 Ce tableau montre que pour obtenir une prol)abilité de plus de 999999 contre 1 , il faut aller jusqu'au 12* terme, ce qui répond à 11 fois l'événement A, oo, dans l'exemple qui nous occupe, à 1 1 sinistres. D'une autre part, la perte pouvant aller jusqu'aux 3 centièmes des valeurs assurées , en appelant V la valeur de chaque vaisseau , celte p^rte sera représentée par 200 V x 0,03 ou par 6 V ; en désignant donc par a la prime d'assurance-, on devra avoir
La prime devraU donc être de 2 ^ pour 100 de la valeur assurée.
992. Le bénéfice serait dans ce cas de ^ de 200 Y, c'est-à* dire qu'il serait égal à V; en appelant n le nombre <les sinistresi on devrait donc avoir
ou en reniplaçant a par sa valeur 0,025 V, ce qui revient are»* placer 200 a par SV,
Y = 5V— nV,
d'où Ton lire n = 4; c'est-à-dire que , pour que Tassoreiir ^ tienne le bénéfice dont il s'agit, il faut que le nombre des aai»-
très soit réduit à 4, Le tableau du n^" 988 montre que la probabilité de ne pas dépasser 4 fois l'événement A , ou la somme des 5 premiers termes du développement, est'0,983979. On pourrait doDc parier plus de 98 contre 2, ou plus de 49 contre 1 que l'assureur obtiendra le bénéfice dont il s'agit.
d9S. Il faut ici avoir recours au tableau du n^ 080. Le tableau montre que pour obtenir une probabilité supérieure à 0,999999. . . , il faut aller jusqu'au 29" terme , qui répond à 28 fois révénement A (088). La perte maximum étant suppoftée égale aux 0,008 de 1000 Y pu à 8V, on devra donc avoir
8V=28V— lOOOa, d'où 'a = 0,02,V.
La prime d'assurance, dans ce cas, devrait donc être fixée à jf^.
004. Le bénéfice serait la 1000» partie de 1000 V, c'est-àdire V; en nommant donc n le nombre des sinistres, on aurait
V=100Oa— nVs=20V— nV,
d'où Ton tire n=19.
Le tableau du n<» 080 montre que ce nombre de sinistres , répondant au 20* terme du développement, correspond à une probabilité de 0,99671154. Il y aurait donc plus de 996 contre 4, ou plus de 249 contre 1 à parier que l'assureur obtiendrait le bénéfice dont il s'agita
Ce bénéfice étant le même qu'au n« 002, on voit que, bien que la prime d'assurance soit moindre, la probabilité de ce bénéfice «t beaucoup plus grande pour 1000 vaisseaux que pour 200.
088. Les primes d'assurances s'élèvent dans ce cas à 0,016 X 1000 V, c'est-à-dire à 16 V.
V Pour que le capital de l'assureur ne soit pas entamé, il faut <ia'on ait, en désignant par n le nombre des sinistres,
nV^16V ou n«^16.
Le tableau du n» 080 montre que la probabilité que le nombre des sÎBistref ne dépassera pas 15, c'est-à-dire la sonmie des 1» premiers termes, est 0,95212932. Il y aura donc plus de 9S contre 5, on plus de 1» conlre 1 à parier que l'assurenr n'eniftmera pas son capital.
kS» SOLUTIONS DES PftOBL&HBa
i* Pour que le capital de l'assoreor soït eatamé des OflOié 1000 V, c'est-i-dire de 5 V, il faut qu'on ait
5V = nV — 15 V, d'où n = ÎO.
En allant jusqu'au SI* terme du développetnent , on troR une probabilité exprimée par 0,998503^3. Il y aura doiK|b de 996 contre 2, ou plus de 499 contre 1 à parier que t'assnrti i n'entamera pas son capital au delà de la Umite dont il s'igiL
3* Pour qu'il y ait an bénéfice de nfeç de 1000 V, c'est+fe ! égal à V, il faut qu'on ait
V=15V — bV, I
En allant jusqu'au 15' terme, on trouve une probabilité* | 0,91758759, ou un peu plus de 9 contre 1.
996. 1> Une probabilité de 883 contre 1 revient àUfn- 1 tion -g- , ou 0,99886.... D'après les données , il fuil * j jusqu'au 61* terme pour obtenir cette probabilité , c'esi4^ , que le nombre des sinistres doit Être évalué à 60. En appeW donc a la prime d'assurance, et V la valeur de l'un des nissa^ assurés, on doit avoir
60V = 4000.o, d'où o = 0,0l5.V.
La prime doit donc être fixée kl\ pour 100.
S* C'est au 70* terme qu'on atteint la probabilité 0,99999: qui répond à 69 sinistres, ou 69 V; mais la prime couneb valeur de 60 V ; la perte est donc 9 V , ou égale à 9 fois la nliw de l'un des vaisseaux assurés.
3* Si le bénéflce est -^ V, on aura, en désignant paru le noodiR des sinistres,
d'où 11 = 59,1 ou à peu près 59.
La probabilité correspondante à ce nombre de sinistres erih somme des 60 premiers termes , ou 0,99822. Il y a donc ptns* 998 contre t, ou plus de 499 contre l à parier querassurwrto un li<5néf)ce égal aux ^ de l'un des vaisseaux assurés.
k^ Si le bénéfice est 0,003 X 400O V, c'est-à-dire 12 V,
onaura . 12V = 60V--nV, d'où n = 48.
La probabilité correspondante à ce nombre de sinistres est la somme des 49 premiers termes, ou 0,90862.... II y a donc encore plus de 9 à parier contre 1 que le bénéfice atteindra les -p^ de * l'ensemble des valeurs assurées.
