D'après le cours indiqué, 6k^ pences ou -^ pences va
lant 1000 reiSf 1 penny vaut . -^^ reis; 240 pences ou 1 Ziwe
«/er/tn^ vaut donc ^^^><^X^^ reis; et 460 livres tterUng
valent 1000X2X240X460 ,«•,, c'est-à-dire 2025688 «^.
SUR LES OPÉRATIONS DE BANQUE. Ul
L*intérét étant à 4^ ou f pour 100 par an, revient à f pour 100 pour 4 mois, ou à j pour 100 pour 2 mois.
On obtiendra donc les intérêts cherchés en divisant par 100 le nombre de reis ci-dessus, ce qui donne 20256,88 et en prenant les | du quotient, ce qui donne 15192,66 ou 15193 »
Le négociant de Lisbonne aura donc à payer. . . 2040881 reis, ou 2040 0 881 reis.
On peut exprimer cette somme en cruzades de change de UïOreis; il suffit, pour cela, de diviser par 400, ce qui donne 510 cruzades y 88 reis.
400. Les 2600 florins feraient d'abord 2600 fois 58 grains, c'està-dire 150800 grains ou » 1508 ducats.
L'intérêt étant à 4 p. 100 par an, revient à 1 p. 100 pour 3 mois qui valent 6 fois 15 jours; ou aura donc les- intérêts cherchés en prenant le centième de 1508 ducats, ce qui donne 15^°^,08 et divisaBi par 6, ce qui donne 2^"«,5l
Ainsi, le correspondant aurait à payer 15lO''"%5]
ou 1510 dtécats 51 grains.
401. D'après le cours indiqué, 1 thaler vaut y^ de florin; et
les 1800 thalers valent io4 P'^^y ou 2596",154 ou
encore 2596 /lor. 9kreutz, Xpfenn.
On obtiendra les intérêtis comme au numéro précédent en prenant le centième de cette somme et divisant par 6; en opérant sur le nombre 2596, 154 ^ on obtient 4,3269 ou 4 » 19 » 2 »
(On convertit la fraction décimale en kreutzers en multipliant par 60 et ne prenant que la partie entière; multipliant la nouvelle partie décimale par 4 , on obtient les pfennigs.)
La traite coûterait donc 2600 flor. 28 kreut. 3 pfenn.
442 SOLUTIONS DES mOBLfiaiES
402. Elle aura à débourser d*abord 1600 fois 42 pmoes^ c'està-dire 63000 pences ou 2fi2 liv. st. 10 sûhellingi.
II reste à calculer l'intérêt de cette somme à 4 ^ p. 100 pour 50 jours.
Pour cela , nous calculerons d'abord les intérêts pour 40 jours , qui forment le neuvième de Tannée; le aeuTième de 4 4 ou f étant ^, nous prendrons le centième de 63000 pences et nous diviserons par 2 , ce qui
donne Si& pences ou 1 » 6 > 3 pences.
Pour 10 jours, nous aurons ensuite à prendre le quart de ce que nous Tenons d'écrire, c'est-à-dire 0 » 6 * 6 » J
La traite coûtera donc 264 ftr. st 2 sch. 9 pêne, f
403. On aurait d'abord à payer 2500 fois 22,20 sp-ains, c'est-àdire 55500 grains ou «. ô^SdtUMis Ograim.
Il faudrait, en seoond lieu, tenir compte des intérêts de cette somme pour 70—30 ou 40 jours. L'intérêt pour 30 jours est le tiers de l'intérêt pour 3 mois, c'est-à-dire le tiers de 1 p. 100 ; on l'obtiendra donc en prenan t le cen tième dé 555 ducats , qui est 5^"%55 et divisant par 3, ce qui donne. 1 » 85 »
L'intérêt pour les 10 jours restants est le tiers de celui que nous venons d'écrire, c'est-à-dire 0 » 62 >
La traite coûterait donc 657 ducats 47 grains.
404. On aura à payer d'abord 22 fois 187',60, c'està-dire. ^^ 4125^00
L'intérêt étant à 3 p. 100 par an, revient à { p. 100 pour 1 mois, et par conséquent au tiers de ce taux ou à iV P- 100 pour les 10 jours qui restent à s'écouler. On obtiendra donc les intérêts cherchés en divisant la somme ci- dessus par 100 et prenant le douzième, ce qui donne ji^
La traite coûterait donc 4128^44
40».. D'après le cours indiqué le prix des 100 livres de Livourne est 85^ ou 86', 126. L'intérêt à 4 p. 100 par an, revient
SUR LES OPÉRATIONS DE BANQUE. i43
à 1 p. 100 pour 90 jours; il faut donc aux Sfi'.lâS ajouter le centième de cette fiomme ou 0^,851».., ce qoi donne Sfi^^O/^.. ou près de 86.
Tel est le taux réel du change résultant de Faddiltoii des intérêts.
406. D'après le cours indiqué » la livre sterling vaut 25^,28 L'intérêt de 4 1 on f p. 100 par am renent à | pour
4 mois, et à i pour 1 mois. On de^ra donc ajouter au
prix de la livre sterUmg^ les f p. 100 de ce prix. Pour
fiûre le calcul commodément, on pourra, après a?oîr
diTisé le prix par 100, ce qui donne 0^^528, prendre
d'abord les | ou le quart de ce nombre , ce qui donne 0^0632
pois encore i de ce même nombre , ou la moitié de
celui que nous Tenons d'écrire, c'est-à-dire 0^,03 16
La livre sterling reviendra donc réellement à 25^,3748
on un peu plus de 2ô',37.
407. D'après le cours indiqué, 100 marcs bcmqp Talent 188^,50 ; il en résulte que 100 fr. Talent un nombre x de marcs banco donné par la proportion
188',50: 100' = 100" : a:, foù
en exprimant le quotient en décimales du marc.
Le taux de Fintérèt étant 3 p. 100 par an, l'intérêt pour 1 mois est le douzième de 3, c'est-à-dire î p. 100; on obtiendra donc l'intérêt cherché en divisant le nombre des marcs trouvé ci-des- 808 par 100, ce qui donne 0»,5309... et divisant par 4, ce qui donne 0",1327. En ajoutant cet intérêt à la sonune principale, (m trouife 5S'",2235. C'est la valeur réeUe de 100 fr.
Pour en déduire le nombre y de frames valant au même taux 100 mores , on posera la proportion
63",2235 : 100» = 100^ : y, d'où
y = l^Lg^ = 187S«86...
on cuTiron 187',«9. C'est le taux réel du change résultant de l'addition des intérêts.
ikk SOLUTIONS DES PROBLÈMES
408. Si le négociant de Paris fait des remises à son correspondant de Vienne, il paiera les iOO florins au prix de 238',000 à quoi il devra ajouter les intérêts à 4 p. 100 pour 15 jours, lesquels s'obtiendront en divisant 238 fr. par 100, et divisant encore le résultat par 6; on trouve. . . 0^396
En somme 238',396
S'il donne à son correspondant l'ordre de tirer sur lui, le change avec Paris étant à Vienne au cours de 124, les 100 florins vaudront à Vienne un nombre x de francs donné par la proportion
d'où X = — = 241S935 24l',935
Mais il faut retrancher de cette somme les intérêts à 4 p. 100 pour 1 mois, lesquels s'obtiendront en divisant les 24i',935 par 100 et prenant le tiers du résultat; on
trouve tf,806
Différence 241', 129
Les 100 florins sont donc moins chers à Paris qu'à Vienne; il convient donc de les acheter à Paris, et pour cela, de faire des remises à Vienne. L'avantage est représenté pour chaque 100 florins par la différence entre 241', 129 et 238',396, c'est-à-dire par 2',733. Pour 2400 fr. l'avantage sera 24 fois plus grand, c'est-àdire 65',592 ou 6ô',59, au lieu de 94',45 que Ton a trouvé au n"" 591 .
400. Si le négociant de Paris fait des remises à Madrid, il aura
à payer pour chaque 100 piastres 54O',50
à quoi il faudra ajouter les intérêts à 4 p. 100 pour 1 mois, lesquels s'obtiennent en divisant 540',50 par 100 et prenant le tiers du résultat; on trouve l'^80
Total Ô42',30
S'il donne ordre à Madrid de tirer sur Paris , le correspondant paiera les 100 piastres
— ^ X 100 ou 54l',06
Mais il faut retrancher de cette somme les intérêts à 4'p. 100 pour un mois; en opérant comme ci-dessus, on trouve 2',70
Différence ô39',70
Les 100 piastres coûteront donc moins cber à Madrid qu'à Paris; el il conyieut de les acheter à Madrid; et, pour cela, de donner Tordre de tirer sur Paris; et Tavantage est représenté, pour chaque 100 piastres, par la différence entre 542',30 et S39',70 ou 2S60. Pour les 1800 piastres Tavantage sera donc 18 fois 2',60 ou 46',80, tandis que Ton a trouvé au n"* 592 un ayantage de 9 fr. à faire des remises à Madrid.
410. Si Ton fait des remises à Naples, on payera les 100 ducats au prix de 438',
à quoi il faut ajouter les intérêts à 4 p. 100 pour 15 jours, lesquels s'obtiendront en divisant 438 par 100 et prenant le sixième, soit. 0^,73
Total 438',73
Si Ton donne à Naples Tordre de tirer sur Paris , le correspondant payera les 100 ducats un nombre x de francs donné par la
proportion
22*,83 : 100^ = lOtf : a:,
d'où a? = ^^^^g^^=43y,02 438S02
Hais il faut retrancher de cette somme les intérêts à 4 p. 100 pour 1 mois, qu'on obtient en divisant 438',02 par 100 et prenantle tiers, soit l',46
Différence 436S56
Les 100 ducats sont donc moins chers à Naples qu'à Paris, et il convient de les acheter à Naples, c'est-à-dire de donner à Naples Tordre de tirer sur Paris. L'avantage est exprimé pour chaque 100 ducats par la différence entre 438',02 et 436^,06 c'està-dire par 1^46. Peur 1500 ducats Tavantage est 15 fois plus grand, c'est-à-dire 21^90, au lieu de 0^,30 que l'on a trouvé au n*" 593.
41 1 . Si le négociant de Paris tire à 3 mois sur son coirespondant de Vienne, celui-ci payera, d'après le cours de Paris, à raison de 100 florins pour 238 fr. ; 300 fr. lui coûteront donc un nombre x de florins donné par la proportion
238'' : SOtf' = 100*1 : a:, d'où ar==î55!^||^=126",05 126",050
mais il jouira des intérêts à 4 p. 100 pendant 3 mois
ce qui fait 1 p. 100 ou [ • • . 1 ,260
Différence 124",790
soLinr. nis peobl. 10
146 SOLUTIONS DES P&OBLËMES
Si le négociant de Paris donne ordre à son correspondant de Vienne de lui faire des remises à 3 mois, celui-ci payera d'apris le cours de Vienne ; 300 fr. lui coûteront donc» . . . 12<k flûtms mais il devra tenir compte à son correspondant de Paris des intérêts pour 3 mois à 4 p. 100, ce qui re* Tient à 1 p. 100 ou 1 ,24
Total 125^,24
Les 300 fr. coûteraient donc plus cher à Vienne (jn'à Paris , cl il conyient qu'il les achète à Paris ; pour cela le négociant de Paris devra tirer directement sur son correspondant de Vienne. L'avantage que celui-ci y trouvera sera exprnné, pour chaque
sosaame de 300 fr., par 12ô",24— 124'i,79 ou 0",45. Pour 8000 Or.
l'avantage sera donc 0",45 X -^qq > c'est-à-dire 12 florins.
41 S. Si le négociant de Paris tire à 2 mois sur son correspondant, celui-ci payera d'après le cours de Paris, à raison de 5^12 les 1000 reis de change; 3 francslm coûteront donc un nombres; de reis donné par la proportion
5',12:3'=1000reî*:ar,
d*où = ^^ = 585,9 rets 685,9 reis
mais il jouira des intérêts à 4 p. 100 pendant 2 mois; rintéfèl pour 3 mois étant 1 p. 100 ou le centième de 585,9, rintérét pour 1 mois en est le tiers ou 1,9S3, l'intérêt pour 2 mois est le douMe de ee dernier nombre, on. • 3^9 ras
Différence. • 582 reis
Si le correspondant de Ufbonne doit au contraire faire des remises à Paris, il payera les 3 fr . au prix de 585 reis. 585 rtis & quoi il devra ajouter les intérêts à 4 p. 100 pour 1 mois, c'est-à-dire le Uers de 5,85 ou. ..•••..• . i^
Total 586,9 reî5
Les 3 fr. étant plus chers à Lisbonne qu'à Paris, le négociant de Paris devra tirer sur son correspondant de Lisbonne. Pour chaque somme de 3 frl le correspondant y trouvera un avantage de 4,9 reis; et pour 1800 fr. TavantagÊ sera de 600 fois 4,9 reis ou 2940 reis.
SUR LES 0PËRATI01I8 BB BAUQUE. 147
415. Si le négociant de Paris fire i M jours sur son correspondant d'Amsterdam , celui-ci payera d'après le cotn^ de P»îs, à raison de 100 /lor/fu pour 21l',75; par conséquent les tfù fr. lin coûteront un nomlm x de florins, donné par h proportion
j. * lOO^XlSO .^^^
d'où il faut rëtnm^er les mtérèts à S p. 100 pour
1 mois, ou le quart de 0^,S6 0'>,14
Différence 56",52
Si le négociant de Paris donne à sen correspondant Tordre de
lui faire des remises , ceiui-^i payera 120 fr Si florùn
auxquels fl faut ajouter les intérêts à 3 p. 100
pour 1 mois, ou le quart de 0^^,55 0,14 environ
Total 5ô",14
Les 120 fr. sont donc plus diers & Paris qu'à Tienne , et il convient de les acheter à l^enne; pour cela, le négociant de Paris doit donner ordre à son correspondant de lui faire des remises. Celui-ci y trouvera , pour chaque somme de 120 fr., un avantage marqué par la différence entre 56^^52 et 55^', 14, c'està-dire 1*^,38; pour 6000 /ranc5, qui valent 50 fois 120 fr., Tavantage sera donc 50 fois 1",38 c'est-à-dire 69 /lorùàs.
414. LTntérèt du négociant de Paris est d'adieter les marcs banco le moins cher possible. S'il &it «des remises à Bandxmrg, il payera les 100 marcs banco au cours de Paris, c'està-dire 186'
à quoi il faudra ajouter les intérêts à 3 p. 100 pour i mois; on pourra les calculer de la manière suivante :
Intérèlspour4 mois, ou le centième de 186^, soit V^
— 2 mois^ moiiié 4lu précédent nombre
on 0^,93
— 1 mois, moitié du précédent nombre
ou 0 ,46
— 3 mois, somme des deux derniers ou 1^39 l',39
Total 187',39
Si le négociant de Paris donne ordre à son correspondant de
tirer sur lui» il payera les 100 marcs banco au cours de Hambourg, c'esl-è-dire 187',
mais il bénéficiera des intérêts à 4 p. 100 pendant
1 mois , c'est-à-dire du tiers de l',87 ou. y,62
Différence. • . • . 1 80^,38
Les 100 marcs banco seront donc moins chers à Hambourg qu*à Paris , et il conyient de les acheter à Hambourg ; pour cela le négociant de Paris doit donner ordre à son correspondant de tirer sur Paris. Le correspondant y gagnera 187^39 — 186S38 ou Vfii pour chaque somme de 100 marcs^ et par conséquent 1^01 X 18 ou 1S^18 pour les 1800 marcs.
On pourrait convertir cette somme en marcs banco ; on trouverait, au cours de Hambourg,
\1 ' , ou 9 marcs et un peu moins de 12 scheUings.
4itt. 1. Le négociant d'Amsterdam doit faire en sorte que son correspondant de Londres paye les florins le moins cher possible. S'il tire sur Londres à 30 jours, le correspondant payera d'après le cours d'Amsterdam , c*est-à-dire à raison de 1 1 florins pour 1 livre sterling; pour 100 florins il payera donc un nombre x de livres sterlings donné par la proportion
11" : 100'»= !«'•* : X, d'où x = ^^jr— = 9«^-%090,
mais il bénéficiera des intérêts à 4^ pour 100 pendant un mois; soit I pour cent, que Ton pourra calculer comme il suit :
1 poui* 100 ou le centième de 9"'»*,09 tf»' ",0909
l ou le quart du précédent 0 ,0227
I ou la moitié du précédent .... 0 ,0113
l — ou la somme des deux précédents 0 ,034 0 ,034
Différence ... 9*»' •*,056
Si le négociant d'Amsterdam donne à son correspondant de Londres Tordre de lui faire des remises, celui-ci payera d'après le cours de Londres, c'est-à-dire que le prix des 100 florins sera un nombre x de livres sterlings donné par la proportion
io«,60: ioo'^=i»i^« :x,
fAAiivit
l'où X = i^^ = 9ï"*S523 9>i'*,5238
A reporter. . . 9»*' ^5238
Report. . . Q'î'^ôîSS et il dcTra y ajouter les intérêts pour 3 mois à 3 pour 100, que Ton peut calculer comme il suit :
htérètspour 4 mois ou 1 p. 100 soit . • . 0^^^095238
— 2 mois, moitié du précédent 0 ,04762
— 1 mois, — 0 ,02381
— 3 mois , somme des deux
précédents . . . tfî''*,07143 0"^ 'S0714
Total. . . 9»»'-S5962
Les 100 florins seront donc plus chers à Londres qu'à Amsterdam; le négociant d'Amsterdam doit par conséquent tirer sur Londres. Son correspondant y gagnera, pour chaque somme de lÙO florins,
9«'-S5952 — 9«''S056 ou 0**''S539;
pour 12000 florins, somme 120 fois plus grande, Tayantage sera
donc :
0"'»%639 X 120, c'est-à-dire 64 livres st. 13 schillings 7 pences
U. La comparaison pourrait être faite d*mie autre manière , moins directe, mais plus commode. Au lieu de dire que le négo* ciant d'Amsterdam doit faire en sorte que son correspondant paye les florins le moins cher possible , on peut dire qu'il vende la livre sterling le plus cher possible.
Or , dans le cas où Amsterdam lire sur Londres , la livre sier» ling est vendue au prix d'Amsterdam, c'est-à-dire. . • 11 florins d'où il faut déduire | p. 100 ou 0",041
Différence . • . 10",959 '
Dans le cas où Londres fait des remises à Amsterdam, la livre sterling est vendue au cours de Londres, c'est-à-dire . . 10^^500
à quoi il faut ajouter \ p. 100, ou 0 ,026
Total . . . 10«,626
La livre sterling coûtera donc davantage à Amsterdam qu'à Londres; par conséquent Amsterdam doit tirer sur Londres; même conclusion que par l'autre méthode.
S 4. Hé* arbltraces, émm ordres de Itonqae et des spéevlalioms
•or les eluuices.
416. Si le banquier de Paris faisait des remises directes à Hambourg, il payerait le marc banco l',90«
iHê SiNLUTieHS BES PROiLÈMES
Soit X le prix du marc banco par la Toie indirecte ; on aura les égalités suivantes :
mfrmwi =r 1 mmre htmco^
13,90 marcs banco = 1 liwrc sieriinffj
1 livre sterling = 25^21.
Si Ton multiplie ces trois égalités membre à membre , cm obtient
en regardant comme abstraits tous les facteurs autres que des firancs, ce qui est permis, attendu qu'à chaque facteur du premier memlûre ccHrrespond un facteur de même espèce dans le second, et que par conséquent la relation est homogène et indépendante de la nature des unités.
On tire de cette relation
^= 13,90X1 = îâ;90 - ^ '^^^-
Le banquier gagnera donc , en suiTant la Toie indirecte , l',90— l',81366..., ou O'^OSeSS.... par mare, ce qui fait pour les 1500 marcs, 1500 fois O'yOSOSS...^ c'est-à-dire 129^,495... ou U9',5a
On voit , comme l'indique renoncé , que la seule attention à avoir en posant les égalités qui servent à résoudre ce genre de question, consiste à faire en sorte que Fespèce d*imfï^ qui a figuré au second membre de la première, figure au premier membre de la seconde, et que Tespèce d'unités qui a figuré au second membre de la seconde, figure au premier miembre de la troisième.
L'inconnue écrite au premier membre de la première ^alité exprimant un nombre de francs, le second membre de la dernière exprime aussi un nombre de francs , comme cela devait être.
417. Par la voie directe^ le prix du marc banco serait encore l',90.
Soit X le prix du marc banco par la voie indirecte , on aura comme ci-dêssus :
X frtmes=> 1 marc banco, 13,90 marcs banco =1 livre sterling, 1 livrt sterling = i^JàS ;
SUR LES OFËRATIONS DE BANQUE. i51
d*oây en multipliant membre à membre,
25' 45 et, par suite, »= 1390 ~ l'»83(»....
Le banquier gagnerait donc encore , à savfve la Toie indirecte , l%9d — lS83a9 Ott (K,0691 par mare , soit €',4)691 X iSOO on 103',65 pour ks lâOÛ marcs.
418. Par lavoie directe^ le prix du marc hoMco serait- l',M. Soit a: le prix du marc ianco par la Toie indirecte; on aura
a? francs = 1 marc bancoy
40 mar(?s (otito = 34 florins,
100 /Zonn« = 214 francs ;
d'où, en multipliant membre à membre»
rX40X 100=1 X 34 X 214 fr.
Les 9narc5 banco sont donc moins chers par la voie indirecte que par la voie directe; ainsi le banquier de Paris doit faire des remises i son correspondant d'Amsterdam, et donner Tor^ à ceUii-ct de faire lui-même des remises à Hambourg. L'arantage qu'il y trouve sera, pour chaque marc banco, 1^,90 — 1^819 ou 0^,081 ; et par conséquent pour les 1500 marcs son bénéfice sera V,081 X 1560, c'est-à-dire 12t',50.
419. Il faudrait, éans les cakuls du numéro précédent, remplacer partout 214 par 230 ; on trouTcraît ainsi
-. 230'» X 34 — If 01:15
Dans le cas aduel les mares banee coûteraient donc plus cher par la Toie indirecte que par la voie directe, et le banquier de Paris devrait faire des remises directes à Hainbourg. Il y gagnerait Of,055 X 1500, c'est-à-dire 82',50.
480. Par la voie directe» le négociant de Marseille payera l'écu romain 5^,10.
Soit X le prix de l'écu romain par la voie Indirecte ; on aura
X francs =.1 écu romain^
100 écus romains = 123,75 ducats^
1 ducat = 4',20;
d'où, en multipliant membre à membre,
L'écu romain serait donc plus cher parla YOie indirecte; ainsi le négociant de Marseille devra faire des remises directes à Rome. Il y gagnera 0^,0975 X 2400, c'est-à-dire 39 Cr.
491. n faudrait, dans les calculs du numéro précédent, remplacer partout 123,75 par 121, ce qui donnerait
y,20Xl21 .taM
Dans ce cas , Técu romain serait moins cher par la Toie indirecte que parla voie directe; le négociant de Marseille devrait donc faire des remises à Naples , et donner ordre à Naples de faire des remises à Rome. Son bénéfice en suivant cette voie serait le produit de SSlO — 5^,082, ou 0^,018, par 2400, c'est-àdire 43',20.
4SMI. La somme à payer au banquier de Londres se trouve^ augmentée , par l'addition de la commission , dans le rappoi de 100 à lOO-f-^; c'est-à-dire que celte sommé se trouve multipliée par ^^ ou par 1 -f- ^. Dans le calcul de l'arbitrage le prix de la livre sterling, 25',45, devra donc être remplacé par 25',45 n -f- Y^j ; et par conséquent, on trouvera pour l'inconnue la valeur
c'est-à-dire que, pour obtenir cette nouvelle valeur, il suffit de
multiplier celle qui a été trouvée au n"* 417 par 1 -|- r^^r, ce qui
revient à faire éC abord le calcul comme s' il ri y avait ^pas de commission, et à ajouter ensuite {p. 100 au résultat. En effectuant le calcul on trouvera :
Ancienne valeur de a? l^8309..«
i p. 100 de cette valeur 0 ,0091..,
Valeur nouvelle. . . l',84.
On voit que lorsque ^ comme dans l'exemple actuel, la place
débiiriee (Paris) donne rineeriain (25',45 plus ou moins) à la placé intermédiaire (Ijondres)^ la commission doit éêre qfoutée à la valeur de Finconnue.
Le nombre l',84 étant inférieur à l',90, il y a encore avantage à se servir de la yoie indirecte, et Ton y trouvera un bénéfice de Vfi6 X 1500 ou 90 fr.
4515. L On pourrait traiter la question comme au numéro précédent. Faisons d'abord le calcul comme s*il n'y avait pas de commission à payer.
Par la voie directe, le banquier de Londres aura à payer, pour
100 marcs banco un nombre de livres sterlings marqué par tôq
Soit X le nombre de livres sterlings qu'il aura à payer par la [ie indirecte, on aura successivement
X livres sterlings = 100 mares banco ^
100 marcs banco = 187 francs,
25,30 francs = l livre sterling ^
en n^ltipliant membre à membre,
a; X 100 X 26,30 = 100 X 187 X 1 Uv. st., et par conséquent
Pour tenir compte de la commission, on remarquera qu'elle a pour effet d'augmenter dans le rapport de 100 à 100 + i, pour le banquier de Londres, le prix des 25',30-, et qu'au lieu de
1 livre sterling , il faut mettre partout 1 Uv. sterl. X U + j|^V
On trouvera donc
187 A . i \ '^■^25;35V + 100;' ce qui donnera :
Ancienne valeur de a: 7«''»,39l3
i p. 100 de cette valeur Q ,0369
Total 7"'^ •S4282
On voit qu'il y a avantage à suivre la voie indirecte. II. Mais la comparaison peut s'établir d'une manière plus com-
154 SOtUTIOIfS DES TROBLËIBS
mode, qui est mitée dans les maisons de banque, et qui oonaisie à prendre ponr base le eerMn,
Par la voie directe, le banquier de Londres anra 12,90 wmm btmeo pom* 1 Hvre sterling.
Soit or le nombre de mares bmco qaH anra pour ce même prix d'une livre sterling en suivant la voie indirecte. On -— •
X mares èanœ = 1 livre sterling^ 1 livre sterling = 25,30 francs, 187 francs = 100 marcs banco ^ d'où, en multipliant membre à membre,
a; X 1 X 187 = 1 X 25,30 X 100 aura &. et par conséquent
Il s'agit de tenir compte de la commission ; pour cela on remarquera qu'elle a pour effet de diminuer dans le rapport de 100 J à 100 le nombre de francs que le banquier paît obtenir
pour 1 livre sterling; ce nombre de francs doit donc être multi-
plié par ^ ainsi le nombre 25,30 doit être remplacé par
26,30X100. , , il 1 j ^ . X
— ' , . î et par conséquent la valeur de x devient
Mais €01 i^ut obienir un résultat plus sino^e , en ranarqnaat que l'on a
(100 + i) (100 — I) = 100.100 — I, d'où l'on tire, en négligeant l vis-à-vis de 10000,
lOO + i"" 100 ""^ 100'
Par conséquent , la valeur de x devient
c'est-à-dire, qu'après avoir calculé la raleor de x sans tenir
compte du résultat, il faut retrancher | p. 100 de ee résultai; on trouve ainsi :
Valeur ancienne d9X. 13,5299
I p. 100 de cette valeur. 0,0676
Différence..... 13,k617marcsb.
On voit que lorsque y comme dans le cas actuel, la place débitrice (Londres) dùnne le certain (1 liv. sterl.) à la place intermédiaire ( Paris) ^ la commission doit être retranchée de la valeur de rineonnue.
Le nombre 13,4617 étant supérieur à 12,00, on obtiendra, pour 1 Uvre sterling y plus de marcs banco psr la voie indirecte que par la voie directe ; il 7 a donc avantage à suivre la voie indirecte.
in. Quant au bénéfice résultant du choix de la voie indirecte, on Tappréciera aisément par la première méthode. Il sera , pour 100 marcs banco, égal à la différence entre 7^>' 'S7519 et 7^' 'S4282, c'esl-à-dire à 0"' ",3237. Pour 1500 marcs banco le bénéfice sera donc 0^' ■*,3237 X 15, ou 4^^' **,8555 ou 4 liv. st. 17 sch. 1 penntf 1 farthing.
Le bénéfice total peut également s*appréeier par la seconde méthode; mais le plus simple est alors de convertir les 1500 marcs haneo en livres sterlings, en adoptant successivement les deux cours de 12,90 marcs banco et de 1 3,4617 ifmnt;^ banco pour 1 livre sterling, et de faire la différence des deux résultats.
Au cours de 12,90 marcs banco pour 1 livre sterling y les
1500 marc5 banco valent r^r-?:;; ou IIO"* •',2790.
Au cours de 13,4617 marcs b. pour i liv. sterl. y les 1500 marcs b. talent 5^^^ ou lll"'^4272.
La différeBce entre ces deux résultats, oik 4^ "^ySSl S^, exprime le bénéfice demandé. On peut réduire la fraction décimale en schillings et pences; pour cela on multiplie cette fmction par 2(^, la partie entière du produit exprime les schillings; on multiplie la nouvelle fraction décimale par 12; la partie entière du nouveau produit exprime les pences. On trouve ainsi 4 livres sterlings 17 schillings 0 pences et environ 2 farthings.
La légère différence qu'on observe entre ce résultat et celui qu'on a obtenu plus haut, tient à ce que les divisions ne peuvent être effectuées qu'à une certaine' approximation. Dans la pratique on pousse rarement les opérations au delà des millièmes; ce qu'on néglige ainsi est toujours de peu d'importance pour les résultats qu'on a en vue.
156 S0Lirri05S DES PROBLÈMES
4514. G>nsidérons d'abord les deux Toies directes.
1* Si Paul faii des remises à Berlin, il payera les 100 thalen d*après le cours de Paris, c'est-à-dire 372f,25.
2* Si Paal donne ordre à Beriin de tirer sor lui , il payera les 100 thalers, d'après le coors de Berlin, un nombre x de francs donné par la proportion
80,8 thalers : 100 thalers = 300 francs : x,
doù x = — jrr-r — ou 371',28.
I. Comparons maintenant les quatre Toies indirectes : 1* Paul fait des remises à Hambourg ; il paye donc les 100 mares b. d'après le cours de Paris, c'est-à-dire 187^50. Gaspard, de Hambourg, fait des remises à Berlin ; il paye donc les thalers^ d'après le cours de Hambourg, à raison de 153 thalers pour 300 marcs b. En appelant x la valeur de 100 thalers en francs ^ on aura donc
X francs = 100 thalers^
153 thalers = 300 marcs banco ^
100 mores 6mco = 187',50,
d'où , en multipliant membre à membre,
X X 153 X 100 = 100 X 300 X 187',50, et par conséquent
x = 2—— ou 367',64.
2* Paul fait des remises à Hambourg ; il paye les 100 marcs b. d'après le cours de Paris, c'est-à-dire 187^50. il donne ordre à Berlin de tirer sur Hambourg ; il paye donc les fhtUers d'après le cours de Berlin, à raison de 152,50 thalers pour 300 mares b. En désignant toujours par x la valeur de 100 thalers en francs, on aura donc
X francs =100 thalers ^
152,50 thalers c=: 300 marcs b. ,
100 marcs b. = 187^50,
d'où, en multipliant membre à membre,
X X 162,50 X 100 = 100 X 300 X 187S50, et par suite
3"" Paul donne ordre à Hambourg de faire des remises à Ber-
SUR LES OPÉRATIONS DE BANQUE. i57
lin ; Gaspard, de Hambourg, paye les thalers d*après le cours de
Hambourg, à raison de 153 thalers pour 300 marcs b. Le même
Gaspard tire sur Paris , et fait payer à Paul les marcs b. d'après
le cours de Hambourg, à raison de 187', 75 les 100 marcs. On
a donc
X francs =100 thalers^
153 thalers == 300 marcs b. , XWmarsb. = 187S75, d*où , en multipliant membre à membre,
a? X 153 X 100 = ICO X 300 X 187',75, et par suite
X = î«!!4><i«2 ou 368M3.
4* Gaspard , de Hambourg , tire sur Paris , et fait payer à Paul les marcs b. d'après le cours de Hambourg, à raison de 187',75 pour 100 marcs 6. Max, de Berlin, lire sur Hambourg, et fait payer les thalers d'après le cours de Berlin, à raison de 152,50 thcblers pour 300 marcs b. On a donc
X francs =100 thalers ^ 152,50 thalers = 300 marcs b. , 100 marcs b. = 187^75, d'où, en multipliant membre à membre,
et par suite
187S75X300 ^„ oAnfQ/
En résumé , la voie la plus avantageuse est la voie indirecte ' qui consiste à faire des remises à Hambourg, en donnant ordre à Hambourg de faire des remises à^erlin. Si l'on compare cette voie à la plus avantageuse des voies directes, qui consisterait à donner ordre à Berlin de tirer sur Pariis, on voit qu*il vaut mieux prendre la voie indirecte; et le bénéfice résultant de ce choix sera le produit de 371',28 — 367',64 ou 3',64 par 40, c'est-à-dire 145',60.
H. On peut comparer d'une manière plus simple les quatre voies indirectes. 11 n'y a qu'à chercher le plus avantageux des deux changes entre Paris et Hambourg , et le plus avantageux des deux changes entre Hambourg et Berlin. .
158 SOLimOlfS BES PROBLÈMES
Entre Paris et Hamboorg, k change le pins ayaniageiix est celai de Paris, qui met les 100 marcs b. à 187*,50.
Entre Hamboorg et Berfin, le change le pins HTaniageni est cehii de Hamt^org, qoi donne 153 ihalers pour 100 mares ianeo.
La meilleure voie à soiTre entre Paris et Hambourg est donc que Paris fasse des remises à Hambourg ; et la meilleure voie à suivre entre Hambourg et Berlin est, de même, que Hamboorg fasse des remises à Berlin. C'est, en âOTet^ la première des quatre Toies indirectes essayées ci -dessus, et celle qui fait payer les 100 thalers le moins cher.
n resterait donc à comparer cette Yoîe indirecte ayec la plas avantageuse des voies directes, ce qui conduirait au résultat d^à obtenu plus haut.
42Xi. Comparons d*abord les deux voies directes. Puisque 1 wmbies argent valent 7 rovMef papier, oonnaissaal le prix des 100 roubles papi^, on en déduira le prix des 100 roubles ai^eat en divisant 114 fr. par 2 et multipliant le quotient par 7, oequi donne 399 fr. 11 en résulte que les 100 rambles aident sont moiis chers à Paris qu'à Saint-Pétersbourg; il convient donc de les acheter à Paris , et pour cela de faire des remises à Saint- Pétersbourg.
Comparons en second lieu les quatre voies indirectes ; pour cela employons tout de suite la seconde méthode indiquée au numéro précédent. Cherchons quel est, entre Paris et Amsterdam, le cours le plus avantageux. A Paris les 100 florins valent 213',90. A Amsterdam on les payerait un nombre x de francs donné par la proportion :
56 florins : 100 fUnins = fSO francs : ^,
dou x = ^ ou 214^28.
Le cours de Paris est donc le plus avantageux , et par conséquent il conviendra que Paris fasse des remises à Amsterdam.
Cherchons de même quel est entre Amsterdam et Saint- Pétersbourg le cours le plus avantageux. A Amsterdam les 100 roubles papier valent un nombre x dé florins donné par la proportion
20 roubles : 100 roubles = 10^ florins : x, d où x= — 2 ou 52^5 florins.
SUR LES OPfiEATIONS DE BANQUE. 459
A Saini-Pétersbourg, les 100 r<mbles papier vak&t uo nombre y de florins donné par û proportion
198 rçublei : lÛO roules = 100 florins : y, dou y = — -— ou 60yS flortns.
Les 100 roubles sont donc moins chers à Saint-Pétersbourg qu'à Amsterdam, et il conviendra que Saint-Pétersbourg tire sur Amsterdam.
Soit mainienant » la Taleur «n francs des 100 roubles papier par cette voie indirecte ; on aura
z francs = 100 roubles papier, 198 roubles papier = 100 florins, 100 florins = 213S90, d'où , en multipliant membre à membre ,
-s X 198 X 100 = 100 X 100 X 213',90 et par suite ^=213[^90>^ ^^ ^^^,^^
Pour en déduire le prix des 100 roubles argent , on n'aura qu'à ■nritîpli^ par 7 et diviser par 2, ce qui donne 378', 10
Tel est le prix des 100 roubles argent , quand on ne tient pas compte de la commission; pour en tenir compte, on prendra d'abord le centième de 378',10 ce
qui donne 3',7810
puis la moitié de ce centième ou 1^8905
puis-encore la moitié de cette moitié ou. . . . 0^,9452
et Ton ajoutera les deux derniers i:ésultat s. . . 2',8357ou 2^,84 Le prix des 100 roubles argent , avec la commission^ est
donc ^ 37^,94
C'est donc la yoie indirecte qui est la plus avantageuse , et en l'adoptant on fera, pour chaque somme de 100 roubles, un bénéfice égal à 399^— 379^,94 ou 19',06; pour les 2800 roubUs le bénéfice sera donc 19',06 X 28, ou 533',68.
Remarque. Au lieu de calculer d'abord la valeur des 100 roubles paj^r, pour en déduire celle des 100 rouf^ argent , on aurait
160 SOLCTIONS DES PROBLÈMES
pu obtenir celle-ci directement en introduisant dans le calcul une égalité de plus. On aurait pu poser, en effet,
z francs =z 100 roubles argent, 2 roubles aident = 7 roubles papier, 198 roubles papier = 100 florins , 100/7ort]ut=213',90, d'où , en multipliant membre à membre ,
213',90X 100X7 o-^of./x
et par suite z= 2 X 198 ^" 378', 10.
Le reste s'achèverait comme ci-dessus.
426. Comparons d'abord les deux voies directes. A Amsterdam les 100 florins valent un nombre x de francs donné par la proportion
56 florins : 100 flonns= 120^ : a?,
Af ^ 120^X10 c^^^fcr.
dou x= — — ou 214',28.
Le cours de Marseille est donc plus avantageux, et il conviendrait de faire des remises à Amsterdam.
Comparons ensuite les quatre voies indirectes. A Naples,le prix d'un ducat sera un nombre y de francs donné par la proportion
23 grains : 100 grains = V:y,
Ay * 100' ,,^^
dou y = -— ou 4',35.
Entre Marseille et Naples, le cours le -plus ayantageux est donc celui de Marseille , et il conviendra que Marseille fasse des remises à Napics.
A Naples, les 40 ducats valent un nombre z de florins donné par la proportion
0S474:40* = in:«,
Entre Naples et Amsterdam, le cours le plus avantageux est donc celui de Naples, puisque pour un même nombre de dueats
SUR LES OPÉRATIONS DE BANQUE. jOi
a donne un plus grand nombre de /ïonfw/ il conviendra donc que Naples fasse des remises à Amsterdam.
Soit u la valeur des lOO florins en francs par cette voie, on dura
u francs = 100 florins,
1 florin =. 0,474 ducats^
1 ducat = 4',30, d'où, en multipliant membre à membre,
u X 1 X 1 = lOOX 0,474 X VySO ^^ u = 4^30 X 47,4 ou 203S82
à quoi il faut ajouter pour frais de commission la moitié de 2',04 ou 1 02
Total 204',84
La Yoîe indirecte est donc plus avantageuse que la voie directe cl pour 100 florins elle donne un bénéfice de 211' — 204',84 oa 6^,16; pour 6000 florins le bénéfice sera 60 fois plus^grand ou 369',60. "^
427. I. 1» Voie directe. Les 100 tta/^^ coûtent 366',26. 2* Voie de Londres. Soit x la valeur des 100 thalers en francs , on aura
X francs = 100 thalers,
6 thalers §î ou 6 § thalers = 1 livre sterling,
1 livre sterling = 25 francs,
d'où , en multipliant membre à membre ,
a? X 6S X 1 = 100 X 1 X 26' ot par suite
3* Voie de Hambourg. On aura dans ce cas
X francs = 100 thalers , 152,05 thalers = 300 marcs bainco, 100 marcs banco = 187 francp,
SOLUT. DIS PROBL. 11 .
d*oùy en multiplianl membre à membre,
X X 152,05 X 100 = 100 X-SOO X 187^
et par suite a; =1^^^^^^ =368',95.
4** Voie d! Amsterdam, On aura par celte ¥oie
X francs = 100 thalers^ 143,54 thalers = 250 florins , 100 florins = 210 francs^ d'où, en multipliant membre à membre,
X X 143,54 X 100 = 100 X 250 X 210 fr.
et par suite x = — ttvtt — = 365^,75.
En récapitulant, on voit que les 100 thalers coûteraient :
Par la voie directe 366',25
— de Londres 365 ,86
— de Hambourg 368 ,95
— d'Amsterdam 365 ,75
La voie d'Amsterdam est donc la plus avantageuse. IL Si Ton tient compte de la commission, on trouve
1» Par la voie de Londres 365',86
Plus la moitié de 3^66 ou l',83
Total... 367^68 367',68
2' Par la voie de Hambourg 368',95
Plus la moitié de 3^69 ou : . 1^,84
Plus la moitié de cette moitié, ou 0',92
TotaL . . 371S71 371S71
3* Par la voie d'Amsterdam 365^65
Plus la moitié de 3^,66, ou • l',83
Total... 367S58 367',58
Dans ce cas, la voie directe serait la plus avantageuse, puisqu'elle permet d'acheter les 100 thalers au prix de 366', 25.
Le bénéfice, par rapport à la voie d'Amsterdam, qui est la plus avantageuse après la voie directe, serait, pour chaque somme de 100 thalers, 367^58 — 366^26, ou l',33; pour les 1800 thalers le bénéfice serait 18 fois plus grand, c'est-à-dire 23',94.
SUH LES OPâRATIONS M BAlfQUE. 163
488. !• Voie directe. Le prix du ducat est 4',30. 9e Voie par Hambourg. Si x désigne le prix do docat, on a sne^ cessiTement
X francs = 1 dttcatf
43 ducais =100 marcs banco ^
100 marcs banco = 188^50;
d'oùy en multipliant membre à membre,
a? X 43 X 100= 1 X 100 X 188',50, et, par suite, ^ 18^,50 ^^ ^,^^
3* Voie par Vienne. On a par cette voie
u: francs = 1 ducat^ 57 ducats =100 florins^ 100 florins = 24l francs,
d'où, en multipliant membre à membre,
a?X 57 X 100 = 1 X 100 X 241 fr-
S4l' et, par suite, x = -^ ou 4',22,
4* Foitf par Hambourg et Vienne. Ainsi que Findique l'énoncé, le calcul de l'arbitrage dans le cas de deux places intermédiaires se fait, comme dans le cas d'une seule , en écrivant les égalités qui expriment le taux du change entre les places successives, et en ayant soin que l'espèce d'unités qui a figuré au second membre de chaque égalité figure au premier membre de l'égalité suivante. On multiplie les égalités membre à membre ; on obtient ainsi une égalité homogène, d'où Ton tire la valeur de l'inconnue en divisant les deux membres par le produit des facteurs qui multiplient cette inconnue. S'il y a un facteur commun aux deux membres, il est commode de le faire d'abord disparaître.
Dans le cas actuel , les égalités se succéderont dans l'ordre suivant : Paris et Naples, Naples et Vienne, Vienne et Hambourg, Hambourg et Paris; c'est-à-dire
X francs = 1 ducat, 57 ducats = 100 florins, 149,5 florins = 200 marcs banco^ 100 marcs banco = 188' ,50.
Le second membre de ht dernière égalité est de même espèce que rinconnue, comme cela devait être.
Multipliant membre à membre, on obtient
XXS7X 149,6 X 100 = 1 X 100 X 200 X 188',50,
5» Voie par Vienne et Hambourg. On aura dans ce cas
X francs = 1 dttcaiy
43 ducats = 100 marcs haneo^
200 marcs banco = 149,5 florins^
100 /îorin* = 241 francs.
Multipliant membre à membre, on obtient
ar X 43 X 200 X 100 = 1 X 100 X 140,5 X 241 fr.,
La YOie la plus avantageuse est donc la voie par Vienne et Hambourg , c'est-à-dire que si , pour fixer les idées , les remises •ont préférables aux traites, le banquier de Paris devra faire des remises à Vienne, en donnant ordre à Vienne de faire des remises à Hambourg, et à Hambourg de faire des remises à Naples.
Par rapport à la voie directe, le bénéfice sera de 4',30 — 4',i8 ou 0',12 pour chaque ducat ; le bénéfice total s'élèvera donc à 0^,12 X 3000 ou 360 fr.
429. V Voie directe. Les 100 thalers coûtent 371^50. 2* Par Londres. Si x désigne la valeur des 100 thalers en francs^ on aura
X francs = 100 thalers ^
6 thalers ^ ou 6,8 thalers = 1 livre sterling,
1 livre sterling = 25',30.
Multipliant membre à membre, on obtient
d'où X = — ^-g-^ ou 372',06
A quoi il faut ajouter^ p. 100 ou 1^,86
Total. . . 373',92 373S92
3« Par Amsterdam. On aura par cette voie
X francs =100 thalers, 143,5 thalers = 250 florins, 100 florins = 213S90.
Multipliant membre à membre, on obtient
.rm\ ^ — 213S90 X 250
plus ^ p. 100 ou jf gg
Total. . . 374*^ 374S50 4* Par Londres et Amsterdam. On a dans ce cas
X francs = 100 thalers, 143,5 thalers = 250 florins, 12 florins = 1 livre sterling, 1 Ztvre sterling = 25^30.
Multipliant membre à membre, on obtient
X XÎ143,5 X 12 X 1 = 100 X 250 X 1 X 26^,30,
H Wi ^ — ^^f^X iOO X 250
A quoi il faut ajouter deux fois ^ p. 100 c'est-àdire 1 p. 100 ou 3f 57
Total . . . 370^,97 370^97 5* Par Amsterdam et Londres. On aura
X francs = 100 thalers, 6,8 thalers = 1 /wre sterling, 1 ftvre sterling =12 florins, 100 florins = 213',90.
Multipliant membre à membre, on obtient
iVm\ ^— 213S90X 12
Ts ^^ 377',47
plus 1 p. 100 ou 3f^77
• Total . . . 381S24 38l',24
La voie la plus avantageuse est donc la voie indireete par Londres et Amsterdam ; c'est-à-dire que si , pour fixer les idées, les remises sont préférables aux traites , le banquier de Paris devra faire des remises à Londres , donner ordre à Londres de faire des remises à Amsterdam, enfin donner ordre à Amsterdam de faire des remises à Berlin. '
Par rapport à la voie directe, le bénéfice sera 371^50 — 37tf ,97 ou 0',53 pour chaque somme de 100 thalers; pour les 4000 thalers le bénéfice sera donc 40 fois plus grand, ou 21^20.
450. On a vu au n"" 418 que, par la voie directe , le prix du marc-banco est lS90, tandis que par la voie d'Amsterdam il vaut 1^,819. D'après ce qui a été expliqué dans l'énoncé, la voie directe est celle qu'il conviendrait d'adopter, puisqu'elle ferait payer au correspondant de Hambourg un plus petit nombre de marcs-banco pour un même nombre de francs.
Au prix de l',90 par marc, il devra payer un nombre de marcs égal au quotient de 3000 fr. par l ',90, c'est-à-dire 1 678 marcsXb schillings.
Au prix de l',819 ou 1^82 il aurait eu à payer un nombre de marcs égal au quotient de 3000 fr. par 1S82, c'est-à-dire 1648 mxircs et environ 6 schillings. La différence entre ces deux nombres, c'est-à-dire 69 marcs 7 schillings, exprime le bénéfice du correspondant de Hambourg par l'emploi de la voie directe.
