c. = r,:a,, d'où a,= ^i
Tachai au cours £^4-0,125 fournira une quantité n de rentes
4 i pour 100 donnée par la proportion
«7+0,125 : 4,5= a* :n, d'où n = ^^^^^î 17]
5^ Il faut, dans la dernière Tente, tenir compte du courtage; le cours réel sera donc c^ — 0,125, et la Tente produira un capital A donné par la proportion
4,5:^,-0,125 = r»:A, d'où ^^fa-0.l^)>n ^^ Si Ton multiplie membre à membre les égalités [1], [2], [3]»
SUR LES dPÉRATIONS B£ BOURSE. 243
Wj [ô]> [^]> [7] et [8], et qu'on supprime dans le résultat les facteurs 3, 4,5, n, fs, fs, u^ at, as, 04 devenus communs au numérateur et au dénominateur , on obtient
formule facile à retenir et calculable par logaritbmes.
Le bénéfice sera A. — Oi; et le taux t de ce bénéfice sera donné par la proportion
[10] oi: A — al = l00:^ d'où ^ = î*— l^Ll??.
580. On pourrait foire un calcul séparé pour chaque transaction ; mais il est plus simple de se servir de la formule [9] du numéro précédent, dans laquelle on fera :
0^ = 60000^, ri = 66, m= 68,50, €8=91,10, c«z= 94,30^ c, = 67,20, 1^ = 69,20, 1^ = 92^ et <?8 = 95,10.
On aura par suite ;
A-finnnnf 68,50.94,30.69,20,04,975 A — ouuuu -66^125. 91,225.67,325.92,625*
En effectuant le calcul par logarithmes, on trouve
log A = 3,8306847, d'où A = 67715«.
Le bénéfice est donc 7715 fr. ; et par conséquent, en verhi de la formule [10] du numéro précédent, le taux t auquel le spéculateur a placé son argent, est
^ 7715.100 ^„ y i«oA
Ainsi, il a placé son argent à près de 13 pour 100.
Remarque. En réalité, te bénéfice serait un peu moindre parce que, les tijires de rentes exprimant toujours un nombre entier de francs, il y aurait à chaque acquisition une petite portion de capital non employée.
§ 8« Opérations à teraie.
Marchés fermes.
881. La différence étant de 0^75 pour chaque somme de kfJM de rente, on voit qu'il faut mullipUer 0^75 par le nombre qui exprime combien de fois 4',50 est contenu dans 9000, c'est-à-dire par le nombre 2000. La différence cherchée est donc 0^,75 X 2000, c'est-à-dire 1500 fr.
882. La différence de 400 fr. entre les sommes à débourser s'obtiendrait, comme on vient de le voir dans le problème précédent, en multipliant la différence des deux cours par le nombre qui exprime combien de fois le taux de la rente est contenu dans la quantité de rentes à acheter, c'est-à-dire ici, en multipliant h différence des deux cours par le nombre qui exprime combien de fois 3 est contenu dans 6000, ou enfin par le nombre 2000.
En divisant 400 fr. par 2000 on aura donc la différence des deux cours ; on trouve 0^20. Le cours le plus bas étant 67,75, le cours demandé sera donc 67,75 + 0,20 ou 67,95.
885. La différence des deux cours étant à 0^,40 et le taux 4 1 étant contenu 2000 fois dans la quotité 9000 de rentes dont il s'agit, on obtiendra la différence du prix de vente au prix d'achat en multipliant 0S40 par 2000, ce qui donne 800 fr.; tel est le gain réalisé par Pierre.
Le gain étant de 0^,40 sur 93', 10, on obtiendra le bénéfice pour 100 en posant la proportion
93,10 : 0,40 = 100 : aï, d'où x =
Mais ce bénéfice se rapporte à une durée d'un mois an plus; pour obtenir le bénéfice annuel, il faut donc multiplier par 12, ce qui donne
40 X 12 Q^ ^Q ■ ou environ 6,15... ;
tel est le taux auquel Pierre a placé son argent. 884. Pour tenir compte du courtage, il faut, au cours 94,50,
ajouter ^ ou 0,0625, ce qui donne 94,5625. La somme à débourser s'obtiendra donc parla proportion
4',50 : 94S5626 '= 9000' : x, d'où x = ^^''^^^ ^^^
ou
a? = 94',5626 X 2000 ou enfin 189125'.
588. On ajoutera d'abord 0,05 au cours 94,50, ce qui donne 94,55 ; on aura ensuite la somme à débourser en posant la proportion
4',50 : 94',55 = 9000' : x, d'où
X = — —rrk = 189100'.
586. Pour tenir compte du courtage, on retranchera d'abord 0,05 du cours 68,60, ce qui donne 68,55; on aura ensuite la somme à toucher en posant la proportion
3' : 68',55 = 9000' : 0?, d'où a? =. ^''^^ ?^ ^^^
ou
587. Le cours réel d'achat, en tenant compte du courtage, est 93,10 + 0,125 ou 93,225; le cours réel de vente est 93,50 — 0,05 ou 93,45. La différence entre 93',45 et 93',225, c'est-à-dire 0',225, exprime le bénéfice pour chaque rente de 4',50; on obtiendra donc le bénéfice total en répétant 0',225 autant de fois que 4',50 est contenu dans 9000 , c'est-à-dire 2000 fois, ce qui donne 450 fr.
Le gain étant de 0',225 pour 93',225 déboursés, le gain pour
1 fr. déboursé serait g^-^^B' ®* "^ bénéfice pour 100 serait par
conséquent ^I, ^. — • Mais ce bénéfice se rapporte à une durée d'un mois; pour Tannée il serait 12 fois plus grand
ou «''^gjg X '\ c'e8t-à-<iire 2.896....
En achetant de là rente 4^ pour 100 au cours de 93,10> plus le
courtage, c'est-à-dire à 93,10 + 0,126 ou 93,225, Pierre aorail placé son argent à un taux x donné par la proportion
93,225 : 4,80 = 100 : a:, d'où x = ^'^^^ ou X = 4,827....
Il y aurait donc eu aVantage pour lui à suivre cette voie.
888. Le cours réel d'achat, en tenant compte du courtage, est 68,80 + 0,125 ou 68,925; le cours réel de vente est de même 69,35 — 0,05 ou 69,30. La dilTérence entre 69^30 et 68',925, c'est-à-dire 0',375, exprime le bénéfice pour chaque rente de 3 fir. On obtiendra donc le bénéfice total en répétant 0^375 autant de fois que 3 est contenu dans 10500, c'est-à-dire 3500 fois, ce qui donne 1312^50.
Le bénéfice étant 0',375 pour 68S925 déboursés, le bénéfice
pour 1 fr. déboursé s^ait ^ ',^^ ; le bénéfice pour 100 serait
donc ' ^^ ^^^ — . Mais ce bénéfice se rapporte à une durée 68,925
d'un mois; pour l'année il serait 12 fois plus grand, c'est-à-dire
tf ,375 X 100 X 12
68;925 ' ou 6,528....
Ainsi Jacques aura placé son argent à plus de 6| pour 100.
8ft9*. Le cours réel d'achat est <r -f- 0,125 et le cours réd de vente est d — 0,05 ; la différence d — 0,05 — ^ — 0,185 ou c' — c — 0,175 exprime le bénéfice pour un capital engagé égal à 0+0,125; le bénéfice pour 100 est donc donné par le quatrième ternie de la proportion
d'où (.-- ç,^ 0,175) X 100
Mais ce bénéfice se rapporte à un mois; pour Tannée le béné-
fice serait donc
En achetant de la rente 3 pour 100 au cours c^ on place son argent à un taiu donné par la proportion
o: 3 = 100: y, d'où y = ?22.
SUR LES OrtRATIONS DK BOD&SE. Ul
Pour ifn'il 7 aiC avantage à opérer de la {Hremière manière, il Unit que l'on ait
d'où l'on tire successivement :
pais c'>îi:^H5 + c + 0,175
on enfin c' > c + 0.425 + ^'^^^.
On remarquera que le denûer terme est ordinairement moindre qu'un demi-millième ; la condition ci-dessus sera donc remplie à fortiori si Ton a
cî' > c + 0,426,
et, comme les cours sont toujours exprimés par des multiples exacts de 0^,05, la condition qu'on vient d'écrire exige que la différence d — c entre le cours de vente et le cours d^achat soit au moins de 0^,45.
590. Pierre a acheté à terme à 69,80 + 0,05, ou à 69,85; il vend au comptant à 68,90 — 0,125, ou à 68,775; il perd donc W,85 — 68S776, ou l',075 pour chaque quotité de 3 fr. de renies.
11 rachète à terme à 60,40 + 0,05, ou à 69,45; et il rev»d au comptant à 71,70— 0,125, ou à 71,575; il gagne doue 7l',575— 69^,45, ou 2^]25, sur chaque quotité de 3 fr. de rentes.
Le gain remporte sur la perte de 2^125 — 1^075, ou de l',05.
Pour obtenir le bénéfice total, il reste à répéter 1^05 autant de fois que 3 est contenu dans 12000, c'est*à-^ire 4000 fois, ce qui donne 4200 fr.
591. Jacques a acheté à terme à 93,15 + 0,05, ou à 93,20; fl Tend au comptant à 92,40 — 0,125 , ou à 92,275; il perd donc %',20 — 92',275 , ou 0^,925 sur chaque quotité de 4',50 de raites.
U rachète à terme à 92,40 + 0,45 + 0,05, ou à 92,90 ; et il aura
±kS SOLUTIONS DES PROBLfiMES
à payer, en revendant au comptant, un courtage de 0,125, qui, ajouté à la perte déjà subie, savoir 0,925, donne une perte totale de 1,05. Pour que cette perte soit compensée, il faut donc que Jacques puisse revendre à 92,90 -f 1 «05, ou à 93,95.
On peut vérifier, en effet , qu'à ce cours il n'y aurait ni gain ni perte.
tfOS. Le spéculateur a acheté à terme à 68,50+ 0,05, ou à 68,65; il revend au comptant à 67,20 — 0,125, ou à 67,075; il perd donc 68',55 — 67^076, ou l',475 pour chaque quotité de 3 fr. de rentes.
Le bénéfice total ayant été de 9300 fr., le bénéfice pour chaque quotité de 3 fr. de rentes est le quotient de 9300 fr. parle nombre qui exprime combien de fois 3 est contenu dans 18000, c'est-àdire par 6000; ce quotient est 1^55. Et, puisque la première opération a produit une perte de l',475 , il faut que la seconde ait produit un bénéfice de l',66 + l',475, ou de 3S025.
Or, dans cette seconde opération, le spéculateur revend au comptant à 70,80— 0,125, ou à 70,675; il faut donc qu*il ait acheté à 70,675—3,025, ou à 67,65. Mais le cours de la rente au moment de cet achat était, par hypothèse, 67,20; ou, en tenant compte du courtage , 67,20 -f- 0,05 , ou 67,25 ; le report s'est donc élevé à la différence entre 67,65 et 67,25, c'est-à-dire à 0^,40.
895. Robert a vendu à ferme à 91,35 — 0,05, ou à 91,30; il rachète au comptant à 92,70 -f 0,125, ou à 92,825 ; il perd donc 92^825 — 91',30, ou 1S525 pour chaque quotité de 4^ô0 de rentes.
n revend à terme à 93,10 — 0,05, ou à 93,05 ; enfin, il rachète au comptant à 91,10 -|- 0,125, ou à 91,225; il gagne donc 93',05 — 91 ,225 , ou l',825 pour chaque quotité de 4^,50 de rentes.
Le gain remporte sur la perte de l',825 — 1S525, ou de 0^,30.
Pour obtenir le bénéfice total , il reste à répéter 0^,30 autant de fois que 4',50 est contenu dans 15750, c'est-à-dire 3500 fois, ce qui donne 1050 fr.
tf94. Le spéculateur a vendu à terme à 70,40 — 0,05 , ou à 70,35; il rachète au comptant à 72,06 -f 0,125, ou à 72,175; il perd donc 72^175- 70^,35, ou l',825 pour chaque quotité de 3 fr. de rentes.
Le bénéfice total étant de 5600 fr., le bénéfice pour chaque quotité de 3 fr. de rentes s'obtiendra en divisant 5600 fr. par le
SUR LES OPfiRATIONS DE BOURSE. 24d
nombre de fois que 3 est contenu dans 12000 , c'est-à-dire par 4060» ce qui donne 1^400. Et, puisque , dans la première opé* ration , il y a eu une perte de 1^,825 , il faut que dans la seconde il y ait un bénéfice de 1,825 + 1S400, c'est-à-dire de 3',225.
Or, dans cette seconde opération, le spéculateur revend à terme à 72,05 -f 0,35 — 0,05, ou à 72,35; et il rachète au comptant au cours cherché augmenté de 0,125. Il gagne donc 72,35, moins le cours cherché, moins encore 0,125, c'est-à-dire 72,225, moins le coui*s cherché ; et ce gain doit égaler 3,225. Il faut donc que le cours cherché soit égal à la différence entre 72,225 et 3,225 ; c'est-à-dire que ce cours est 69.
ttWt. Il faut calculer d'abord quelle est la perte pour chaque quotité de 4',50 de rentes; pour cela il suffit de diviser 21750 fr. par le nombre qui exprime combien de fois 4,50 est contenu dans 22500 , c'est-à-dire par 5000 , ce qui donne 4,35.
On remarquera ensuite que les courtages s'élèvent à deux fois 0,05, plus deux fois 0,125, c'est-à-dire à 0,10-}- 0,25, ou à 0,35; à quoi il faut ajouter 0,50 pour le report , ce qui donne 0,85.
Or, la perte 4,35 se compose de ces 0,85,. plus la différence des deux cours ; en retranchant 0,85 de 4,35 , on aura donc la différence des deux cours ; on trouve 3,50. Le dernier cours étant 90, le premier est 90 -f- 3,50 , ou 93,50.
tt96. Richard vend à 94,75—0,125, ou à 94,625; il rachète à 94,75— 0,35 -f 0,05, ou à 94,45; son bénéfice est donc de 94<,625 — 94^45 , ou de 0^,175, pour chaque quotité de 4',50 de rentes; on obtiendra le bénéfice total en répétant 0^,175 autant de fois que 4,50 est contenu dans 27000 , c'est-à-dire 6000 fois » ce qui donne 1050 fr.
Le bénéfice étant de 0',175 pour 94,625 réellement engagés, le
bénéfice pour 100 serait ' 94^5 — ; roais ce bénéfice se rapporte à une durée de 15 jours ; pour Tannée, il serait 24 fois plus grand, c'est-à-dire
Ainsi Richard aura placé à un peu moins de 4,44 pour 100.
«07. Jacques a acheté à terme à 93,15 -|- 0,05, ou à 93,20; il vend au comptant à 92,40—0,125, ou à 92,275; il perd donc »3',20 — 92',275 , OU 0,925 sur chaque quotité de 4',50 de rentes.
2S0 - SOLUTIONS ras PROBLfeMES
11 radiète à terme à 92,40—0,45+0,05, oq à 91; et il «nrià payer, en refendant au comptant, un courtage de 0,125, qm, ajouté à la perte d^ subie, c'est-^dire à 0,935 donne une perte totale de 1,06. Pour que cette perte soit compensée, il faut donc que Jacques puisse reyendre à 93 + ^'05, on à 93,05.
Ce cours est inférieur à cekd qui a été obtenu au n^* SOI, de 0,90 ou de deux fois 0,45, ce qui devait être, puisque le rqMVt s'est changé en un déport égal.
808. Le spéculatemr a Tendu à ferme à 70,40 — 0,05 , on à 70,36; il rachète au comptant à 72,054-0,126, ou à 72,175 ;fl perd donc 72^175 — 7tf,35, ou l',825 pour chaque quotité de 3 fr. de rentes.
II revend à terme à 72,05 — 0,35—0,05, ou à 71,65; enfin, 8 rachète à 69 + 0,125, ou à69,125 ; il gagne donc 71',65— OO'^lîô, ou 2',ô25 pour chaque quotité de 3 fr. de rentes.
Le gain remporte sur la perte de 2^525 — 1S825, ou de 0^,70. Pour obtenir le bénéfice total , il reste à répéter 0',70 autant de fois que 3 est contenu dans 12000, c'est-à-dire 4O0O fois, ce qui donne 2800 fr.
Ce résultat est inférieur de 2800 fr. à celui qui a été obtenu an n** 894 ; c'est ce qui devait être; car le report se changeant en déport , il en résulte une différence de deux fois 0^,35 , ou de 0^,70 par chaque quotité de 3 fr. de rentes, ce qui fait une êHférence totale de 4000 fms 0^,70, c'est-à-dire de 2800 fr.
890. Pierre perd les intérêts de son capital pour 10 jours; or, les intérêts de ce capital pour un an, ou 360 jours, sont de 18000 fr., puisque le taux est supposé celui qui correspond ao cours de la rente ; les intérêts pour 10 jours sont donc la trentesixième partie de 18000 fr., c'est-à-dire 500 fr.
On voit que le résultat est indépendant du cours de la rente, et ne dépend que de la quotité des rentes énoncées dans le titre, et du nombre de jours qui restent à s*écouler depuis le moment od la livraison est exigée jusqu'à l'époque de la liquidation.
600. Daniel perd l'intérêt de son capital pendant 12 jours; il perd donc, d'après ce qui a été dit au numéro précédent, les ^ ou le trentième de 24000 fr., c'est*è-dire 800 fr. Hais il gagne autant de fois 0^,50 que 3 est contenu dans 24000, c'est-è-dAïf 8000 fois, ce qui (ait 4000 fr. Son bénéfice est donc, en définiUfe^ 4000' — 800S c'est-à-dire 3200 fr.
§ 4. ■•rehés libres, o« à pHue.
601. En tenant compte du courtage, Pierre a acheté à 70^40, plus 0,05, ou à 70,45. Soit x le cours du 3 pour 100 au moment de la liquidation, Pierre ne pourra revendre qu*à un prix marqué par X — 0,125. S'il y a perte, cette perte, pour chaque quotité de 3 fr. de rentes, sera exprimée par
70,45 — (a? — 0,125), ou par 70,576 — x.
Si Pierre abandonne la prime de 1 fr., il perdra, pour chaque quotité de 3 fr. de rentes, 1 fr«, plus le courtage payé au moment de l'achat, c'est-à-dire 1,05-
Pour qu'il y ait avantage à lever la prime , il faut donc que la première perte soit moindre que la seconde, et qtfon ait
70,575 — a: < 1,05, d'où a?> 70,575 — 1,05, ou bien a? > 69,625.
Et comme le cours x est toujours exprimé par un multiple de 0',05 , on devra avoir au moins
ir= 69,55.
Dans ce cas, en effet, Pierre ayant acheté à 70,40+0,05, ou à 70,45. et étant obligé de revendre à 69,55 — 0,126, ou à 69,425, perdrait 70,45—69,425, ou 1,025 par chaque quotité de rentes de 3 fr.; et , comme 3 fr. sont contenus 2000 fois dans 6000 fr., la perie totale serait
l',026X2000 oa 2050 fr.
Si, au contraire, il eût abandonné la prime, il eût perdu
1',05X2000 ou 2100 fr.
D y a donc pour lui un avantage de 50 fr. à lever la prime.
602*. Soit x le cours du 3 pour 100 au moment de la liquidation. L'acheteur, en tenant compte des courtages, a acheté à c+0,05 ; s'il lève la prime, il revendra à a? — 0,126 ; sa perle, pour chaque quotité de 3 fr. de rentes, sera donc
c + 0,05 — (a: — 0,126) OU c + 0,176 — a:; s'il abandonne la prime, il perdra p + 0,06.
Pour qu'il ait ayantage à leyer, il faut donc qu*OD ait
c + 0,175 — a?<p + 0,05, d'où a:>c+ 0,125— jp.
Ainsi, le cours demandé sera le multiple de 0,05 immédiatement supérieur à c + 0,125—/), c'est-à-dire <? + 0,15 — p, attendu que c et p sont ordinairement des multiples de 0,05.
603. On a vu , au n* 601 , que l'acheteur a acheté à 70,45, et qu'il revendra à un prix marqué par a: — 0,125. Pour qu'il y ait bénéfice , il faut donc que Ton ait
a? — 0,125 > 70,45, d'où a: > 70,575. ^
Et comme x est un multiple de 0,05 , on devra avoir au moins a? =70,60. C'est le taux te plus bas auquel Pierre puisse faire un bénéfice.
604*. L'acheteur a réellement acheté à c+0,05; et, si a: désigne le cours de liquidation, il ne pourra revendre qu'à un prix marqué par x — 0,125. Pour qu'il y ait bénéfice, il faudra donc qu'on ait
a?— 0,125>c+0,05, d'où a7>c + 0,175.
Le cours demandé sera donc le multiple de 0,05 immédiatement supérieur à
IÎ + 0,175, c'est-à-dire c-|-0,20.
605. Si le cours est inférieur à 69,55, on a vu que Pierre aura intérêt à abandonner la prime , et qu'il perdra , dans ce cas , 2100 fr.
Si le cours est précisément 69,55, on a vu que Pierre aura intérêt à lever la prime, et qu'il ne perdra que 2050 fr.
Si le cours est supérieur à 69,55, la perte de Pierre diminuera, et elle ira ainsi en diminuant à mesure que le cours s'élève.
A 70,55 il y aura encore une perle , mais elle sera très-faible , car elle sera
(70,575 — 70,55). 2000 ou 50 fr.
A 70,60 la perte se change en bénéfice, et le bénéfice est exprimé par
(70,60 — 70,575). 2000 ou 50 fr.
Au-dessus de 70,60 il y aura toujours bénéfice, et ce bénéfice deviendra de plus en plus grand à mesure que le cours sera plus haut.
 71 ,65 le bénéfice devient
(71,66 — 70,576). 2000 ou 2150 fr.;
c'est-à-dire qu'il est supérieur de 50 fr. à la perte maiimum que Pierre peut éprouver.
A 75 le bénéfice serait
(76 — 70.575). 2000 ou 8860 fr.
On Toit, en résumé, que la cliance de perte est limitée à 2100 tr.f tandis que la chance de gain est illimitée. Les spéculateurs qui opèrent à la manière de Pierre sont des spéculateurs à la hausse j parce qu'ils ont intérêt à ce que le cours de la rente s'élève.
606*. On a vu, au n» 602, qu'au-dessous de c + 0,125— p, l'acheteur devra abandonner la prime. Si donc on a
ou si X est inférieur à cette valeur , la prime sera abandonnée, et la perte sera exprimée par
en désignant par a la quotité totale des rentes négociées.
Si X est supérieur à c + 0,125 — p, et qu'on ait, par exemple, ap = c-f-0,16 — p, l'acheteur devra lever la prime; et sa perte sera exprimée par la difTérence entre le prix d'achat c -f- 0,05, et le prix de vente x — 0,125, ou c+0,16—/) — 0,125, ouenfln c-f 0,025 — p; c'est-à-dire que la perte sera
(c+0,05) — (c + 0,026 —p) ou p + 0,025
par chaque quotité de 3 fr. de rentes; en sorte que la perle totale sera
La perte ira en diminuant à mesure que x augmentera , jus- ^'à ce que x soit égal au multiple de 0,05 immédiatement inférieur à c-f 0,175 (voy. le n* 604). Si donc on a a? = c + 0,15, la perte sera réduite à son minimum , qui sera
(c + 0,05) — (c + 0,15 — 0,125) ou 0,025
1S4 S0LCTI0N8 BES PWWLÊMES
par chaque quotité de 3 fr., de renies; en sorte ^pie Upd
totale sera réduite à
Si X est supérieur hc-\-0,l7S, la perte se diange ea hé Si, pareiemple, on a x = c-f 0,20, le bénéfice par duqoep Uté de 3 fr. de rentes est exprimé par
(e + 0,20 — 0,1 25j — (c+ 0,05) OU 0,085, en sorte que le bénéfice total devient
A mesure que x augmente, le bénéfice augmente lai-mâiK, S l'on voit qu'il est illimité. 11 est généralement exprimé pir
(j; — 0,115) — (c + 0,05] oa x — e — 0,175 par chaque quotité de 3 (r. de rentes, et le bénéfice total est
007 . On a TU , au n* 60S , que le bénéfice de Pierre, s'fl t a a un, est exprimé par (c — 70,575). SOOO. Four que la gini#b demandée soit satisfaite, il faut donc qu'on ail
(c — 70,575) . 2000 > 12000 , d'où «> 70,575 4- 8 ou c> 76,575.
Il faut donc que le cours du 3 pour 100 atteigne au moins 76f^
608*. On a vu, au n* 606, que le bénéfice de Fachetenr, s^ y en a un , est exprimé par
Pour que la condition soit remplie, il faut donc qu'on ait
(«—c— 0,175). ^>6, d'où a:>e + 0,175-|-^.
Il f.'iudra donc que x atteigne au moins le multiple de 0,05. Îbnii^'tiiatement supérieur & celle expression.
009. Paul a vendu k 70,40 — 0,05, ou à 70,35, c'est-i^ qu'il a supporté un courtage de 0,05.
Soit toujours x le cours du 3 p<»ir 100 à l'époque de la liquidation. Si X est égal ou inférieur h 69,50, on a vu, au n"" OOtt, que Pierre abandonne la prime. Paul gagne donc cette prime, diminuée du courtage qu'il a dû payer au moment de la yente; ainsi , son bénéfice est exprimé par
(1' — 0,05). 2000 ou 1900 fr.
Si «? = 49,55 , Pierre lëre la prime ; le bénéfice de Paul est alors exprimé par
70,35 — (69,55 +0,1Î5) ou par 0,675,
pour chaque quotité de 3 fr. de rentes; son bénéfice total est donc
0^,675.2000 ou 1350 fr.
Si X augmente, le bénéfice de Paul diminue; mats il y a bénéfice tant qu'on a
OU , ce qui retient au même ,
Il y a donc encore bénéfice A x = 70,20, et ce bénéfice est alors réduit à
(70,225 — 70,20). 2000 ou à 50 fr.
Pour a: > 70,225, le bénéfice se change en perte; il y a donc perte dès qu'on ax= 70,25 » et le bénéfice est
(70,25 — 70,225) .2000 ou 50 fr.
A mesure que x augmente au delà de 70,^5 , la perle de Paul «Qgmente aussi, et cette perte est illimitée.
On voit, en résumé, que pour Paul, la chance de gain est limitée à 1900 fr., tandis que la chance de perte est illimitée.
610** Le Tendeur a yendu à c— 0,05, en désignant par e le cours du 3 pour 100 au moment de la vente. Si x iéàgae le cours à l'époque de la liquidation , on a vu, au n? 606, que poar « = c 4. 0,10 — p, ou pour une valeur de x plus petite, Tachetenr dtmndonne la prime; en désignant donc comme d^dessus par a la quotité totale des rentes vendues, le bénéfice du vendeur sera exprimé par
(p — 0,05) . |. Pour x = c + 0,15 — j>, Tacheteur lève la prime ; mais il y a
toujours bénéfice pour le vendeur ; pour chaque quotité de 3 fr. de rentes, ce bénéfice est exprimé par la différence entre le prix de vente c — 0,05 et le prix de rachat c + 0,l5—/> + 0,125, * c'est-à-dire par p — 0,325 ; le bénéfice total est donc
Le cours x s'éievant, le bénéfice du vendeur diminue; mais il y a encore bénéfice tant que Ton a
e — 0,06 > a: + 0,125 ou x<Ce— 0,175.
Pour x=e^ 0,20 , le bénéfice se trouve réduit à
(c — 0,06) — (c — 0,20 + 0, 125) ou à 0,025
pour chaque quotité de 3 fr. de rentes, et le bénéfice total à
Pour a:=(? — 0,15, le bénéfice se change en perte, et la perte, pour chaque quotité de 3 fr. de rentes, devient
(<? — 0,15 + 0,125) — (c— 0,05) ou 0,025; d*où il suit que la perte totale est exprimée par
Le cours x continuant à s*élever, la perte du vendeur augmente , et cette perte est illimitée.
611. En raisonnant comme au n*" 60S, et en remarquant que 4| est contenu 4000 fois dans 18000, on arrive aux résultats suivants :
A 92,60 et au-dessous , Simon abandonne la prime et perd
0',55.4000 ou 2200 fr.
A 92,65, Simon lève la prime et ne perd que
0',525.4000 ou 2100 fr.
Au-dessus de 92,65, la perle va en diminuant. A 93,15, la perte se trouve réduite à son minimum , qui est
0^025.4000 ou 100 fr.
A 93,20, la perte se change en bénéfice, et le bénéfice est
A mesure que le cours s'élève , le bénéfice augmente , et il est toujours exprimé par
Par exemple, pour 5?= 96, le bénéfice est
2^826.4000 ou 11300 fr.
Le bénéfice est illimité.
612. Soit X le cours du lendemain. Comme il n'y a point ici de courtage à considérer» on voit sur-le-champ que si x est inférieur à 70,80 de plus de 0,10, le spéculateur aura intérêt à abandonner la prime; et il perdra, dans ce cas, 0^,10 répété autant de fois que 3 est contenu dans 1500, c'est-à-dire 500 fois, ce qui donne 50 fr.
Si l'on â x = 70,80 — 0,10 ou a? = 70,70, le spéculateur peut iDdifféremment abandonner ou lever la prime ; sa perte, dans les deux cas, est toujours- 0',t0 X 500 ou 50 fr.
Si X est supérieur à 70,70 , le spéculateur a intérêt à lever la prime, et sa perte diminue à mesure que x augmente.
Si 07 = 70,80, il n'y a ni perte ni bénéfice.
Au-dessus de 70)80, il y a bénéfice, et ce bénéfice est exprimé par(â? — 70,80)500. Il augmente avec Xy et son maximum répond à â? = 70,80 -|- 0,50 ou â; = 71 ,30 ; auquel cas il a pour valeur 0^,50 X 500 ou 250 fr.
Dans les conditions de l'énoncé, les chances du spéculateur se trouvent donc comprises entre une perte de 50 fr. et un bénéfice de 250 fr.
615. Si le cours s'abaisse de plus de 0,25, le spéculateur a intérêt à abandonner la prime , et sa perte est 0',25 répété autant de fois que 3 est contenu dans 4500, c'est-à-dire 1500 fois, ce qui donne 375 fr.
Si le cours s'abaisse exactement de 0,25 , le spéculateur peut indifféremment lever ou abandonner la prime, et sa perte, dans les deux cas, est de 375 fr.
Si le cours s'abaisse de moins de 0,25 , le spécidateur a intérêt Mever la prime, et sa perte diminue à mesure que le cours se rapproche de 69,70.
Si le cours reste stationnaire , il n'y a ni gain ni perte.
Si le cours s'élève au-dessus de 69,70, il y a bénéfice, et si x représente le cours , ce bénéfice est exprimé par
<iiî — 69,70). 1600.
SOLUT. ras PJIOBL. ^7
Î58 SOLUTIONS B£S FROBLfiMES
U aQgmoite avec x^ et, d'après les condUions 4xl problème, il atteint son maximum pour a; = 69^70 + 19^0 ou a; = 71,20. Sa valeur est , dans ce cas,
l',50Xl500 ou 2250 fr.
Les cliances du spéculateur sont donc comprises entre une perte de 375 fr. et un bénéfice de 2250 fr.
614. Pierre a vendu à 70—0,05 ou à 69,95; il rachète à :p-}- 0,125, en appelant x le taux du 3 pour 100 à Fépoque de la liquidation. S'il y a perle, cette perte, rapportée à chaque quotité de 3 fr. de rentes, sera la différence entre ar+0»1^5 c* 69,%, c'est-à-dire x — 69,«25. Pour que Pierre ait intérêt à abandonner la prime, il faut qu'on ait
à cause dû courtage,
ou a; > 70,375,
Si* donc on a ir=70,M, Pierre abandonne la prime, 6t sa perte sera 0^55 répété autant de fois que 3 est contenu dans 9000, c'est-à-dire 3000 fois, ce qui donne 1650 fr.
Si Ton a a? = 70,35, Pierre lèvera la prime, et sa perte sera exprimée par
(70,35 — 69,825). 3000 ou 1575 fr.
Le coure x diminuant, la perte de Pierre diminoera anssi;
mais il y aura toujours perte, tant que x sera plus grand que 69,825. Elle sera réduite à son minimum pour a; = 69,85, et, dans ce cas, sa valeur deviendra
(69,85— 69,825}.3000 ou 75 fn
Pour X = 69,80^ la perte se change en bénéfice, et ce bénéfice est exprimé par
(69,825 — 69,80). 3000 ou 75 fn
Si X diminue au-dessous de 69,80» le bénéfice de Pierre augmente, et ce bénéfice est illimité.
On voit que pour Pierre, dans cette manière d^opërer, li chance de perte est limitée à 1650 fr., tandis que la chance dc| gain est illimitée. Les spéculateurs qui opèrent ainsi sont àet spéculateurs à la baisse, parce qu'ils ont intérêt à ce que le comf de la rente descende le {Ans bas possible.
618. Si le cours s'élève de plus de 0,10, Jacqaes abandonne la prime et perd OS 10. 500 ou 50 fr.
Si le cours s'élève juste de 0,10, Jacques peut indifférenunent lever ou abandonner la prime ; dans r un et l'antre cas , il perd SOîr.
Si le cours s'élève de moins de #,!§, Jacques fait une perte, mais elle est d'autant moindre que le cours s'est moins élevé.
Si le cours reste stationnaire , il n*y a ni gain ni perte.
Si le cours s'abaisse, la perte se change en bénéfice , et ce hé^ fléfice est égal à la quantité dont le cours s'eaft abaissé, multipliée par 500 ; il est donc illimité.
Si, par exemple, le cours tombait de 3 fr., le bénéfice serait de 3^ X 500 ou de 1500 Ir.
616. Si Raymond lève la prime, il achète à 72,80+0,05 ou à 72,85 ; il a vendu à 70,30 — 0,05 ou à 70,25; il perd donc la différence 72,85 — 70,25 ou 2,60 par chaque quotité de 3 fr. de rentes.
S'il abandomie la prime, il ^erd d'abord 0,50. Soit, de plus, € le cours du 3 pour 100 au moment de la liquidation ; comme 3 a vendu i découvert, il est obligé, pour exécuter son marché ferme, d'acheter au comptant à (?+ 0,126; et, puisqu'il a vendu à 70,25, il perd
c + 0,125 — 70,25 ou i? — 70,125.
En 7 ajoutant la prime , sa perte totale es(t donc
c — 70,125 + 0,50 ou <î — 69,625.
Pour qu'il ait intérêt à lever, il faut donc i|ae ^tle dernière perte soit plus grande que la première, et qu'on ait
c — 69,626 > 2,60, d'où c?> 72,225.
Cela posé, si le cours c du 3 pour 100, au moment de la liquidation , est égal ou supérieur à 72,25, RaymoAd lève la prime et perd 2',60 par chaque quotité de 3 fr. de rentes, soit en tout
î',60X^~^ ou 5200 fr.
Si le cours c est égal ou inférieur à 72^0, mais supérieur à 69,625 , Raymond abandonne la prime et perd c — 69,625 par chaque quotité de S fr. de rentes, so3t en tout
Si, par exemple, c = 69,65, la perte se trouve réduite à (69S65 — 69',625).2000 ou à 50 fr.
Si c est ioférieur à 69,6^5, la perte se change en bénéfice, et ce bénéfice est exprimé par (69,625 — c) pour chaque quotité de 3 fr. de rentes; le bénéfice tot^ est donc
Il est illimité , puisqu'il augmente à mesure que e diminue. Pour c = 66, par exemple, le bénéfice est
3',625X2000 ou 7250 fr.
On voit que dans l'hypothèse de ce problème, Raymond joue évidemment à la baisse; ses chances de perte sont limitées à une perte de 5200 fr. , tandis que ses chances de gain sont illimitées.
017. On a vu au numéro précédent que si le cours c do 3 pour 100 à l'époque de la liquidation est égal ou supérieur à 72,25, Raymond lève la prime. Dans ce cas, Daniel qui a vendu à 72,80 — 0,05 ou à 72,75 et qui rachète à 70,30 + 0,05 ou à 70,36, gagne 72,75 — 70,35 ou 2,40 par chaque quotité de 3 fr. de rentes, ou en tout 2',40 x 2000, c'est-à-dire 4800 fr.
Si le cours c est égal ou inférieur à 72,20, Raymond abandonne la prime. Dans ce cas, Daniel qui a acheté à 70,35 ne peut vendre qu'au comptant à c — 0,125; il gagne donc c — 0, 125 — 70,35, plus la prime de 0,50, c'est-à-dire c —69,975 par chaque quotité de 3 fr. de rentes, et en tout
Si, par exemple, c = 70, le bénéfice se trouve réduit à
(70 — 69,975). 2000 ou à 60 fr.
Sic=^ 69,96 , le bénéfice se change en perte, et la perte est exprimée par
(69,976 — 69,96). 2000 ou 60 fr.
Si c est inférieur à 69,96 , la perte devient de plus en plus grande, et elle est exprimée généralement par
Elle est illimitée. Si, par exemple, (? = 66, elle s'élève à
(69,975 — 66>. 2000 ou à 7950 fr.
On voit que, dans l'hypothèse de ce problème, Daniel joue évi-
demment à la hausse; mais ses chances de gain sont limitées à un gain de 4800 fr. , tandis que ses chances de perte sont illimitées.
618. Pour analyser les chances de Raymond, il faut d'abord voir ce qui arrive, selon qu'il abandonne ou qu*il lèye la prime. Soit toujours c le cours du 3 pour 100 au moment de la liquidation.
Supposons d'abord que Raymond abandonne la prime, qui est de 0^,50 pour chaque quotité de 3 fr. de rentes contenue dans 12000 fr. , ce qui revient à 1 fr. par chaque quotité de 3 fr. de rentes contenue dans 6000 fr.
» Il a vendu à 70,30 — 0,05 ou à 70,25; et, pour exécuter son marché, comme il a vendu à découvert, il faudra qu'il rachète au comptant hc-{- 0,125. Si cette quantité remporte sur 70,25, il perdra c + 0,125 — 70,25 ou c — 70,125 par chaque quotité de 3 fr. de rentes. Si 70,25 remportait sur c + 0,125, la quantité ^ — 70,125 deviendrait négative et la perte se changerait en gain ; cette quantité exprimera donc la perte ou le bénéfice, selon qu'elle sera positive ou négative. 11 faut y ajouter la prime de 1 fr., ce qui porte la perte hc — 70,125 + 1 ou à c — 69,125.
Supposons, en second lieu, que Raymond lève la prime.
11 a vendu 6000 fr. de rentes à 70,25 et il en rachète 12000 fr. à 72,80 + 0,05 ou à 72,85. Pour se bien rendre compte de l'effet produit, on peut concevoir qu'il en fasse deux parts égales; sur les 6000 fr. formant la première part , il perdra 72,85 — 70,25 on 2',60 par chaque quotité de 3 fr. de rentes, et cet achat lui sert à exécuter son marché ferme. Sur les 6000 fr. formant la seconde part, et qu'il ne pourra vendre qu*au comptant à c — 0,125 , il perdra 72,85 — (c — 0,126) ou bien 72,975 — c. Les deux pertes partielles réunies donnent une perte totale de 2,60 4- 72,075 — c on 7 5,57 & — c.
Sic — 0,125 l'emportait sur 72,85, la seconde perte partielle se changerait en un gain exprimé par c — 72,975; mais comme, pour avoir la perle totale, il faudrait alors retrancher le gain de la perle relative à la première part, on aurait 2,60 — (c — 72,975), ce qui donne encore 75,575 — c.
Pour que Raymond ait intérêt à lever la prime , il faut que la perte qui correspond à l'abandon de la prime soit plus grande que celle qui se rapporte à la levée, et qu'on ait par conséquent
c — 69, 125 > 75,576 — c, d'où 2c > 144,70 ou c> 72,35.
U est tacile maintenant de se rendre compte des chances de Raymond.
Si c = 72,35/ il y a même perte, soit qu'il abandonne ou qn'il lève la prime; cette perte est de 72,35 — 69,125 ou de 3,225 par chaque quotité de 3 fr. de rentes contenue dans 6000 fr. , et la perte totale est ainsi 3^225 X 2000 ou 6450 fr.
Si c monte au-dessus de 72,35, Raymond lève la prime, et, tant que le cours n'a pas atteint 75,575 , il y a une perte exprimée par
laquelle diminue à mesure que c augmente. Pour c = 75,55, elle se trouve réduite à
0',025.2000 OU à 50 fr.
Pour c = 75,60, la perte se change en un bénéfice dont la valeur est encore de 50 fr.
Si c monte au-dessus de 75,60 , le bénéfice de Raymond augmente indéfiniment; son expression générale est
Supposons au contraire que c descende au-dessous de 72,35. Dans ce cas , Raymond abandonne la prime ; et tant que c reste supérieur à 69,125, il y a une perte exprimée par
laquelle diminue en même temps que c.
Pour c?= 69,15 elle se trouve réduite à 50 fr.
Pour c = 69,10 la perte se change en un bénéfice dont la valeur est également de 50 fr.
Si c descend au-dessous de 69,10, le bénéfice augmente indéfiniment et son expression générale est
On voit que Raymond ne court la chance de perdre que si e varie de 76,65 à 69,16 inclusivement; et la plus grande perte a lieu pour £î = 72,36, moyenne entre ces nombres.
Au-dessus de 76,55 ou au-dessous de 69,15 il n'y a que bénéfice , et ce bénéfice est illimité pour la hausse comme pour la baisse.
619. Soit toujours c le cours du 3 pour 100 au moment de la liquidation.
Si Ton a c> 72,35, on vient de voir que Raymond lève la prime.
SUR LES OPÉRATiaNS OE BOURSE. M)
Itams cette hypothèse, Daniel Tend donc 1200^ fr. de rentes 3 pour 100 à 72,80 — 0,05 ou à 72,75; et il achète 0000 fr. de rentes 3 pour 100 à 70,30 -{r 0,05 ou à 70,35. De plus, comme il a yendu à découvert, il sera obligé, pour exécuter son marché à prime, de racheter encore 6000 fr. de rentes 3 pour 100 au cours c-|- 0,125 puisque c'est on achat au comptant Pour chacpe quotité de 3 fr. de rentes contenue dans 6000 fr. » on peut donc dire que Daniel reçoit 2 fois 72,75, c'est-à-dire 145,50, et débourse 70,35 + c -|- 0,125 ou c-f- 70,475. Soji gain est donc exprimé par
145,50 — c — 70,475 ou 75,025 — r.
Si Ton a c<72,35, on a vu au numéro précédent que Raymond abandonne la prime. Daniel gagne donc d'abord G^ôO par chaque quotité de 3 fr. de rentes contenue dans 12000 fp., ou, ce qui revient au même, 1 fr. par chaque quotité de 3 fr. de rentes contenue dans 6000 fr. Il achète en outre 6000 fr. de rentes 3 p. 100 à 70,35, et les Tendra a« comptant, s*il vent réaliser, au cours c — 0,125. 11 gagnera donc encore snr cette opération c — 0,125 — 70,35 ou <? — 70,475. Son gain total sera donc exprimé par
t + c — 70,475 ou par r — 69,47S
pour chaque quotité de 3 fr. de rentes contenue dans 6000 flr.
Cela posé, il est aisé de se rendre compte des chances de Daniel.
Supposons d'abord c = 72,35. On a tu au numéro précédent que, dans ce cas, Raymond peut indifféremment lever ou abandonner la prime. Ce choix n'est point indifférent pour Daniel. S Raymond lève la prime, le gain de Daniel est exprimé par
(75,025— 72,35). 2000 ou 5350 fr.
Si Raymond abandonne la prime, le gain de Daniel est exprimé
par
(72,3&— 69,475). 2000 ou S750 fr.
Daniel gagnerait donc 400 fr. à cette seconde combinaison.
Supposons maintenant que c monte au-dessus de 72,35 ; le gam de Daniel sera exprimé par
On voit qu'il va en diminuant h mesure que e augmente. Pour <î= 75, il se trouve réduit à 0^,025 .2000 ou à 50 fr.
Pour c = 75,05 le gain se change en perte , et la perle est de 60 fr.
i64 SOLUTIONS DES nOBLttSS
Si e s'élève aa-dessos de 75,05, la perte va en augmentant, ef elle est exprimée par
La perte est donc QKmitée.
Supposons au contraire que e s'abaisse au-dessous de 72.35. Le gain de Daniel est alors exprimé par
il va en diminuant à mesure que c s'abaisse. Pour e =r 69,50, il se
trouve réduit à 50 fr . Pour c = 69,45 , le gain se diange en une
perte dé 50 fr.
Si e s'abaisse au-dessous de 69,475, la perte de Daniel est
exprimée par
elle va en augmentant à mesure que e diminue; elle est, par conséquent , illimitée.
On voit que Daniel est en bénéfice quand le cours e varie de 75 à 69,50 inclusivement ; et il est le plus grand possible pour e = 72,35 , dans l'hypothèse où Raymond abandonne sa prime. Au-dessus de 75, ou au-dessous de 69,50, Daniel est en perte, et cette perte est illimitée, soit qu'il y ait hausse, soit qu'il y ait baisse.
620. n ne peut se présenter que trois cas : ou les primes seront abandonnées de pari et d'autre, ou Paul lèvera sa prime , tandis que Pierre abandonnera la sienne , ou , enfin , les deux primes seront levées; il serait absurde, comme on va le voir, de supposer que Pierre levât sa prime, et que Paul abandonnât la sienne.
V Les primes sont abandonnées de part et d'autre. Dans ce cas, Pierre gagne la différence des deux primes, tandis que Panl fait une perte égale représentée par
0',50.2000 ou 1000 fr.
2'' Paul lève sa prime et Pierre abandonne la sienne. Soit c le cours du 3 pour 100 au moment de la liquidation. Paul a acheté à 71 4- 0,05 ou à 71,05; il revendra au comptant c — 0,125; il gagnera donc
c — 0, 1 25 — 7 J ,05 , plus la prime de 0,50 ,
c'est-à-dire qa'il gagnera c — 70,675 par chaque quotité de rentes de 3 fr.; et en tout
Le gain se change en perte quand c est inférieur à 70,675 ; pour que Paul ait intérêt à lever, il faut donc qu'on ait
différence des deux primes;
d'où c> 70,175.
Quant à Pierre, il a vendu à 71 — 0,05 ou à 70,95, et, pour exécuter son marché, il faudra qu'il rachète à c + 0,126; il perdra donc
c + 0,125 — 70,95 ou <î — 70,825,
plus la prime de 0^,50 qu'il abandonne, c'est-à-dire c — 70,325 par chaque quotité de 3 fr. de rentes, et en tout
La perte se change en bénéfice si c est inférieur à 70,325.
S"" Les deux primes sont levées. Pîerre a vendu à 70,95, et adieté à 72,50 + 0,05 ou à 72,65; il perdra donc 72,55 — 70,95 on l^60 par chaque quotité de rentes de 3 fr., et, en tout, l',60 . 2000 ou 3200 fr.
Pour qu'il ait intérêt à lever, il faudra qu'on ait
<?— 70,325 > 1,60, d'où c> 71,925.
Quant à Paul, il gagne, comme dans le second cas, c — 0,125 — 71,05 ou c — 71,175, niais il ne gagne plus la prime ; son gain total se réduit donc à
Nous pouvons maintenant nous rendre compte des chances des deux spéculateurs.
Si c est inférieur à 70,175, les deux primes sont abandonnées; Pierre gagne 1000 fr., et Paul les perd.
Si c = 70,20, Paul lève sa prime et perd
(70,675 — 70,20) . 2000 ou 950 fr.
^ pcrte^a en diminuant à mesure que e augmente ; mais il y a
S66 SOLUTHWS DSS PftMLftMBS
perte tant que c est moindre que 70,67Su Pour c = 70,65, la paie
se trouve réduite à
(70,675 — 70,Ô5) . 200O ou à 50 fr.
La perte se chajage en bénéfice dès qu'on a e = 70,70; A le bénéfice est alors
(70,70 — 70,675) . 2000 ou 50 fr.
Le bénéfice va en augmentant avec c , et tant que e reste inférieur à 71,925. Pour c = 71,90, par exemple, le bénéfice de Paul est exprimé par
(71,925 — 70,675). 200O ou 2500 fr.
Lorsque e dépasse 71,925, Pierre lève sa prime, et le bénéfice de Paul est limité à
(71,95 — 71, 175). 2000 ou 1550 fr.
Pour Pierre , les résultats sont différents. On a vu qu'il gagne 1000 fr. tant que c reste inférieur à 70,175. Au delà, et tant que c reste inférieur à 70,325 , le bénéfice de Pierre est exprimé par
Pour c = 70,20, par exemple, le bénéfice de Pierre est
(70,325 — 70,20) . 2000 OU 250 fr.
Pour c = 70,30 > il se trouve réduit à 50 fr.
Lorsque c surpasse 70,325 , le bénéfice de Pierre se change en
perte, et, tant que e reste inférieur à 71,925, celte perle est
exprimée par
Pour c = 70,35, par exemple, la perte est de 50 fr. Pour r=: 71,90, elle est exprimée par
(71,90 — 70325). 2000 ou par 3150 fr.
Lorsque e surpasse 71,925, Pierre lève sa prime, ^ sa perte demeure égale à 3200 fr.
En résumé, pour Paul, les chances varient depuis une perte de 1000 fr. jusqu'à un bénéfice de 1550 fr. Pour Pierre, elles varient, au contraire, depuis un bénéfice de 1000 fr. jusqu'à une perte de 3200 fr. Il en résulte que Paul joue à la hausse et Pier<^ à la baisse.
Remarque, On ne peut pas supposer que Paul abando^^ ^
jirime» et que Pierre lèye la sienne; car il faudrait qœ Paul fût dMeminé par l'inégalité
€ < 70,175 , et Pierre par Tinégalilé
relationfi incompatibles.
62t. Gomme dans le problème du numéro précédent, il ne peut se présenter que trois cas : on les daix primes seront abandonnées, ou Paul lèvera sa prime tandis que Pierre abandonnera la sienne, ou les deux primes seront levées à la fois.
1"* Les deux primes sont abandonnées. Comme 3 est contenu 2000 fois dans 6000 et 4000 fois dans 12000, on voit aisément que Paul perd 2000 fois 1 fr., mais qu'il gagne 4000 fois 0^,50, en sorte que le gain compense la perte. Pierre, au contraire, gagne 2000 fois 1 fr., mais il perd 4000 fois 0S50, ce qui fait également compensation.
2"* Paul lève sa prime , et Pierre abandonne la sienne. Dans ce cas, Paul a acheté à 7 1 + 0,05 ou 7 1 ,05 ; et si c représente toujours le cours du 3 pour 100 au moment de la liquidation, il vendra an comptant à c — 0,125 ; il gagnera donc
c — 0,125 — 71,05 ou c— 71,175
par chaque quotité de 3 fr. de rentes, ce qui fait en somme
(tf — 71,175). 2000
Mais il gagnera de plus la prime de 0^,50 sur 12000 fr. , ce qui
fait
tf,50X4000 ou l'X2000.
Son bénéfice total sera donc
(£. — 71,175+ 1). 2000 ou ((? — 70,175).2000.
Ce gain se changerait en perte si e était inférieur à 70,175; mais pour que Paul ait intérêt à lever, il faut qu'on ait au contraire tf> 70,175.
Quant à Pierre, il a vendu à 71 — 0,05 ou à 70,95 ; pour exécuter son marché il rachètera au comptant à c+ 0,125 ; il perdra
donc
(c + 0, 125 — 70,95) . 2000 + 1^ X 2000 (sa prime) ,
«At ((? — 69,825). 2000.
*• ï^^eux primes sont levées. Paul a acheté 6000 fr. à 71,05;
268 SOLUTIONS DES PKOBLftMES
mais comme il a yendu une quotité de rentes double, il sent obligé , pour exécuter son marché , de racheter 6000 autres francs au comptant k €-{- 0,125. Sa dépense est donc représentée par
71,05 X 2000 + (<? + 0,125). 2000 ou {c + 71,176). 2000.
D'un autre côté, il a vendu 12000 fr. à 72,50— 0,05 ou à 72,45. La recette correspondante est donc exprimée par
72,45X4000 ou 144,90X2000.
Son bénéfice est par conséquent
(144,90 — c — 71, 175).2000 OU (73,725 — c). 2000.
Ce bénéfice se changerait en perte si c surpassait 73,725.
Quant à Pierre, il a acheté 12000 fr. de rentes à 72,50 + 0,05 ou à 72,55; la dépense correspondante est 72,55 X 4000 ou bien
En même temps, il a vendu 6000 fr. de rentes à 71 — 0,05 ou à 70,95 ; et il revendra les 6000 autres au comptant kc — 0,125; la recette correspondante est donc exprimée par
70,95 X 2000 + (c — 0, 1 25) . 2000 OU (c + 70,825) . 2000.
Son bénéfice sera donc
(c + 70,825 — 145,10). 2000 ou (c — 74,276).2000.
Ce bénéfice se changerait en perte si c était inférieur à 74,275. Pour que Pierre ait intérêt à lever sa prime, il faut donc qu'on ait
(î — 74,275 > 69,825 — c , d'où c> 72,05.
Nous pouvons maintenant analyser les chances des deux spéculateurs.
Si c est inférieur à 70,20, les deux primes sont abandonnées, et il n'y a ni perte ni bénéfice pour les spéculateurs.
A 70,20 Paul lève sa prime, mais Pierre abandonne la sienne. Paul gagne
(70,20 — 70, 175). 2000 OU 50 fr.
Au-dessus de 70,20, mais au-dessous de 72,10, le bénéfice de Paul est exprimé par
et il augmente avec c.
Ponr e = 72,05 par exemple, le bénéfice de Paul est
(72,05— 70,175). 2000 ou 3750 fr.
A 72,10 Pierre lève sa prime, elle bénéfice de Paul est exprimé par
De 72,10 à 73,70, il va en diminuant à mesure que (? augmente, et il est exprimé par
Pour e = 73,70, il se trouve réduit à 60 fr. Au delà, le bénéfice de Paul se change en perte , et la perte, croissante avec c, est exprimée par
(c — 73,725). 2000; elle est illimitée.
Pour Pierre, les résultats sont diflerents. On a vu qu'à 70,15 et au-dessous, les deux primes étant abandonnées, il n'y a ni profit ni perte.
A 70,20 Paul lève sa prime , et Pierre éprouve une perte exprimée par
(70,20 — 60,825). 2000 ou 750 fr.
Entre 70,20 et 72,10, sa perte augmente avec c, et elle est exprimée par
A 72,05, elle s'élève à 4450 fr.
Hais à 72,10, Pierre lève sa prime, et l'expression de sa perte
devient
(74,275 — 72,12). 2000 ou 4350 fr.
Entre 72,10 et 74,25, la perte diminue à mesure que e augmente, et elle est exprimée par
A 74,25 elle se trouve réduite à 50 fr. Au-dessus de 74,25, la perte se change en un bénéfice exprimé par
Pour c = 74,30, le bénéfice est de 50. Au delà, le bénéfice augmente indéfiniment avec c.
En résumé, de 70,20 à 73,70 inclusivement, Paul fait un bénéfice, dont le maximum eèt 3750 fr. ; au delà il éprouve une P^rle, qui est illimitée.
Pour Pierre, au contraire, de 70,20 à 74.» indnâv^ne^ fl y a une perle, dont le maximum est 4450 fr. ; au delà U y a bénéfice, et ce bénéfice est illimité.
On peut remarquer <iue de 73,75 à 74,20 indnâvement^ les deux spéculateurs éprouvent une perte; cette circonslmoe "' ' aux courtages.
§ 6* Des prlwelpales TAlenrs aéjBoclées A 1» Boi
622. Obligations de ljl tille db Pàbis. Puisque, pour 1©%5 fr. on a 50 fr. d'intérêt annuel, pour 100 fr. on aurait im intérêt marqué par le quatrième terme de la proportion
1045 : 60 = 100 : a:, d'où x = 4,784...
La valeur trouvée pour â; est le taux cherché.
625. Puisque pour obtenir 4,5 d'intérêt il faut 100 fr. de can pital, pour obtenir 50 fr. d'intérêt, il faudrait un capital donné par le quatrième terme de la proportion
4,5: 100 = 50: ar, d'où aî = llll',li...
La valeur trouvée pour x est le prix demandé.
624. l"" Il gagne 10 fr. par obligation, soit en tout 606 fr.
2<> U gagne 10 fr. sur 1035 fr. déboursés ; sur 100 fr. déboursés il gagnerait le quatrième terme de la proportion
1035' :10' = 100^:0?, d'où x=^^.
Mais ce gain se rapporte à un mois ; pour l'année, il serait 12 fois plus grand, c'est-à-dire >
-1035" ^^ ll',594....
Le spéculateur a donc placé son argent à un peu moins de 11,60 pour 100.
625. Les 83 obligations à 1040 fr. chacune représentent un capital de 1040^ X 83 ou 86320 fr. Autant de fois 71^,50 sera contenu dans ce capital , autant le capitaliste aura de fois 3 fr. de rentes; en taisant la division, on obtient pour quotiart 1207, et il reste 19^,50.
Le capital employé à l'achat du 3 p. 100 est donc 86396'— lt^,SO
SUR LES Of<ftÀTIONS 0E BOURSE* 271
on 86306'^. Sur chaque quotité de 8 fr« de rentes, le capitaliste gagiÈe 72^,70 — 7l^50, ou l',20 ; le bénéfice obtenu en revendant son 3 poor 100 eri donc 1^^0 X 1207 ou IdikS^&O; ainsi le prix total de ces rentes est 86300^ôO + 1448^40 ou 87748S90. Pour racheter ses 83 obligations à 1035 fr., le capitaliste aura à dâ)ourser lOSS' X 83 ou 85605. Son bénéfice sera donc S7748',90 — 85605 fr. ou 2143',90.
Le capital réellement engagé étant 86300^,50 , le taux de lln* térêt, pour le temps pendant lequel ce ca{>ital a été engagé, sera denné par la proportion
0149QA 8630a',60 : 2143S90 = 100 : a?, d'où x = ^^^.
Mais ce toux se rapporte à une durée de S mois ^ ; pour l'année
il devra être multiplié par le rapport de 12 à 3^, c'est-à-dire 24 214390 24
par —, ce qui donne q^o^a i^ n* ^ effectuant les calculs , on
7 oO*jUU|0«7
trouve 8,517....
Ainsi le capitaliste a placé son argent à un peu ^s de 8^ p. 100.
B86. Le capitaliste perdrait d'un côté 5 fois 45 fr. ou 225 fr. Mais il gagnerait, pour le numéro sorti le 3« 1500Ô'
— — kV 500
Total. . . 19000*.
Retranchant la perle 225
il reste pour bénéfice* 18775'.
627. Dans cette hypothèse, tous les numéros dont le capitaliste est porteur sortiraient; il perdrait donc 430 fois 45 fr. on 19350^ Le montant des primes gagnées serait d'ailleurs le itiêmeque ci-dessus, c'est-à-dire 1900tf
U resterait donc pour le bénéfice la différence .m 350'.
628. L'obligation sortie la yingtième donne droit à une prime de 2000 fr. ; pour qu'il n'y ait ni gain ni perte, il faut que le prol^riétaire perde 2000 fr. sur ses 50 obUgalion«, ce qui exige quil perde sur chacnne d'elles le quotient de 2000 Cr. |»ar 50, c'est-àdire 40 fr. Ces obligations ont donc été achetées au prix de 1040 fr. chacune.
272 SOLUTIONS DES PROBLÈHES
080. Aa dernier tirage, le nombre des obligations sera réduit à 2673; et comme elles seront toutes tirées, leur propriétmre gagnera toutes les primes, savoir ; d'après le tableau du n* 686 :
ôOOOtf + 20000^ + ISGOC + lOOOtf + 6000' X 2 + 3000^ X6 + 2000' X 8 + 1000' X 14 + 500* X25 + 2500'.
En effectuant les calculs, on trouve 168000 fr.
Mais le propriétaire des obligations perdra par contre 60'X367S ou 160380 fr. ; son bénéfice sera donc l'excès de 168000 fr. sur 160380 fr., c'est-à-dire 7620 fr.
630. Il gagnerait comme ci-dessus 168000 fr.de primes; mais il perdrait 65' X 2673 ou 173745 fr. ; il perdrait donc l'excès de 173745 fr. sur 168000 fr. , c'est-è-dire 5745 fr.
631. Au 13* tirage, il y a déjà eu 12 fois 60 numéros sortis, c'est-à-dire 720 ; il en reste donc 50000 — 720 ou 49280; ainsi la probabilité que le premier numéro sortant soit celui de l'obligation considérée est le rapport de 1 à 49280, c'est-à-dire tt;^:^*
Au 15* tirage, il aura déjà été tiré 13 fois 60 numéros, plus 1522 numéros, en tout 2302 numéros; il en restera par conséquent 50000 — 2302 ou 47698. La probabilité demandée sera
donc le rapport de 1 à 47698, c'est-à-dire r^gog-
Au 37<* tirage, il ne restera plus que 2673 numéros à tirer; la probabilité demandée sera le rapport de 1 à 2673, c'est-à-
638. Au 13* tirage, l'espérance mathématique est le produit de 50000 fr, par nââj^f c'est-à-dire ^rôâ^x-, ou environ l',0l4...
Au 15* tirage on obtient -r-^z^. ou environ l',048.... ^ (k7698 ' '
Au 37* tirage, l'espérance mathématique devient ^ „ , ou environ 18',705....
633. Pour ces primes, comme pour la prime de 50000 fr., il n'y a, sur 49280 chances, qu'une seule chance favorable ; la probabilité est donc jôjsô*
Pour la prime de 20000 fr., l'espérance malhématique est
Pour la prime de 15000 fr., l'espérance malhématique est
4928Ô' ®" ®'3<^- Pour la prime de 10000 fr., l'espérance mathématique est
mm' *»" ®^'203, c'est-à-dire environ C.W, 0^,30 et 0',20.
634. Pour les primes de 5000 fr., il y a deux chances favorables sur 49280 ; la probabilité de gagner une de ces primes
est donc ^280' ®^ l'espérance malhématique correspondante
5000* X 2 est — 49280" » e'est-àrdire 0',203..., ou environ C.ao.
Pour les primes de 3000 fr., il y a six chances favorables, pour le même nombre total de chances ; la probabilité de gagner
une de ces primes est donc ^~, et l'espérance mathématique
correspondante est -^g^, c'est-à-dire 0',365..., ou environ C,36.
Pour les primes de 2000 fr., il y a huit chances favorables; la probabilité est donc j^^^ et l'espérance mathématique ?^Q^X?^ c'est-à-dire 0',324..., ou environ 0^,32.
Pour les primes de 1000 fr., il y a quatorze chances favorables •
la probabiUté est donc ^^^, et l'espérance mathématique
"49280 '* <î'^l-^-dire 0^,284..., ou environ 0^,28.
Pour les primes de 600 fr., il y a 25 chances favorables; la
probabilité demandée est donc -^^^j et l'espérance mathéma-
lique correspondante est ^^g^ , c'est-à-dire 0',253..., ou environ 0',2ô.
6SS. Pour cette prime , il n'y a qu'une chance favorable sûr
SOLDT. DES PROBL. Ig
274 SOLUTIONS IMSS PMBLËMES
49280; la probabilité de gagner la prime est donc rgâggi etr
2500' pérance mathématique correspondante est Âgôgn* ^'^st-à-dire
0',0607..., ou environ 0^06.
636. 1"* II y a soixante chances &vorables sur 49280 ; la pro-
habilité est donc , ^^^^.
La somme de toutes les primes est 168000 fr. (voy. le n"* 6S9};
168000' leur valeur moyenne est donc — j;jr— » et, par conséquent, l'espérance mathématique correspondante à la probabililé consi- , . , ., 168000' ^ 60 168000', „ , ., ,
dérée serait -^^x^g^ ou -^g^, en effectuant les cal-
culs, on trouve 3',408....
*2*> On peut obtenir d'une autre manière la probabilité et l'espérance mathématique demandées.
Pour abréger récriture , représentons par n le nombre 49i80 des numéros restant à tirer à partir du 13* tirage. Le nombre total des chances que peut offrir le tirage de 60 numéros sur n est le nombre des arrangements de ces n numéros 60 à 60,
c'est-à-dire n(»— 1) (n — 2)...(n— 58)(» — 59)0-
Le nombre des chances défavorables s'obtiendra en mettant à part le numéro de Tobligation considérée, c'est-à-dire en diminuant d'une unité le nombre total. des numéros, et en calculant le nombre des arrangements 60 à 60 des «—1 numéros restants, ce qui donne
Le nombre des chances favorables est donc
n(»-l)(w--2J...(n-68) (n-59) - («-l)(nr-2);(»-3)...(»-.59)(a-60),
et, par conséquent, la probabilité demandée est exprimée par
ninr-l) (71— 2),,.(n-^8)(n^9) *
OU bien , en effectuant les divisions autant qu'il est possible,
ou enfin, en réduisant,
n Voy» noire Algèbre élémentaire^ 2* édiUoil, n» Hi,
SUR LES 0«ÎRATiONS D£ BOURSE. 373
L'^péranee malhématique peut aussi s'obtenir en remarnant qu elle est la somme des espérances calculées aux n*» 6Sfl à W5 • c'est-^Hlire 3',407.... (La différence d'un millième enire cette mi leur et celle qui a été obtenue par la première méthode prônent de ce que toutes les espérances calculées aux n~ 652 h ««»< ont été obtenues par défaut.)
657. V Le nombre des numéros qui restent à tirer au 37« ti rage est 2673. Si, pour abréger récriture, nous représentons ce nombre par N, le nombre total des chances sera le nombre des arrangements de N objets 60 à 60, c'est-à-dire
Pour former toutes les chances favorables, il suffira défaire occuper la première place par l'un des 100 numéros appartenant au porteur considéré , et de mettre à la suite tous les orangenaents des N— 1 numéros restants pris 69 i 69. Le nombre des chances favorables sera d<mc
La probabilité demandée étant le rapport du nombre des chances favorables au nombre total des chances , elle s'obtiendra en divisant l'expression [2] par Fexpression [1], ce qui donne
"N" ^^ 2673' ou encore 0,037411...
Remarque. Cette probabilité est 100 fois plus grande que celle que nous avons obtenue dans le cas où la personne dont il s'affit n'était porteur que d'une seule obligation (fiZî); on aurait pu prévoir ce résultat.
2» Le nombre total des chances demeure le même ; mais le nombre des chances favorables diminue ; car, pour les former il faut bien, comme tovA à l'heure, faire occuper la première place à l'un des 100 numéros appartenant an porteur; mais il ne faut mettre à ta saite que les arrangements 59 h 69 des numéros qui ne sont pas entre les mains de ce porteur, c'est-à-dire les arrangements de N — 100 numéros 69 à 59. Le ïiombrc des chances favorables sera donc exprimé par
et, par conséquent, la probabilité demandée sera le quotient de l'expression [3] par rexpression [1].
Si l'on voulait calculer directement ce quotient, on trouverait
276 SOLUnONS MS MOILÊHBS
pour le dhridende on Dombre de 204 diiilres, et, pour le diriseiir, on nombre de 906 chiffres; le calcol ne peat donc èfare eflèdné que par le secours des logarithmes, et il e&t encore asseï pénible.
Le logarithme du dividende est égal à 2 , plus la somme des logarithmes des nombres consécutifs depuis 2673 — 100 jusqa*i 2073 — 158, c'est-à-dire depuis 2573 jusqu'à 2515; on trouve, pour ce logarithme, 200,9249351.
Le logarithme du diviseur est la somme des logarithmes des nombres consécutifs depuis 2673 jusqu'à 2673 — 59 , c'està-dire depuis 2673 jusqu'à 2614; on trouve, pour ce logarithme, 205,3301997.
En retranchant ce second logarithme du premier, on trouve, pour le logarithme du quotient cherché , 5,5947354.
Le quotient lui-même, c'est-à-dire la probabilité demandée, est donc le nombre correspondant 0,000039!^....
Remarque. Celte probabilité est moindre que la précédente, ainsi que cela devait être, puisque le nombre des chances favorables est moindre.
638. 1* En conservant les notations du numéro précédent, on a vu que le nombre total des chances est exprimé par
N désignant le nombre 2673.
Pour former toutes les chances favorables, il faut faire occuper les six premières places par 6 des numéros appartenant au porteur considéré, ce qui fournit un nombre d'arrangements
exprimé par
puis, à la suite de ces groupes, il faut mettre tous les arrangements des N— 6 numéros restants, considérés 60—6 à 60—6, ou 54 à 54, ce qui fournit un nombre d'arrangements marqué par
en sorte que le nombre des chances favorables est exprimé par
La probabilité demandée est le quotient de l'expression [2] par l'expression [1], c'est-à-dire en dtant les facteurs N — 6, N— 7,
M — 8 , . . . , N — 59 y qui deviennent communs au numérateur et au dénominateur,
ou
En effectuant les calculs par logarithmes, on trouve pour le logarithme du numérateur 11,9336278; et pour celui du dénominateur 20,5595551. Le logarithme du quotient est donc
et la probabililé demandée est le nombre correspondant à ce logarithme, c'est-à-dire
2"* La différence entre ce second cas et le premier consiste en ce que, à la suite de chacun des arrangements 6 à 6 des 100 numéros appartenant au porieur , il faut mettre les arrangements 54 à 54, non plus des N — 6 numéros restants, mais bien des numéros qui restent , lorsque du nombre N on retranche les 100 numéros du porteur. Le nombre des chances favorables est donc exprimé par
et la probabililé demandée est exprimée par
Nous avons vu au numéro précédent, que le logarithme du dénominateur est 205,3301997. Le logarithme du numérateur s'obtiendra en faisant 1* la somme des logarithmes des nombres consécutifs depuis 100 jusqu'à 95, ce qui donne 11,9336278; 2" la somme des logarithmes des nombres consécutifs depuis 2673 — 100 jusqu'à 2673 — 153, ou depuis 2573 jusqu'à 2520, ce qui donne 183,9205194. Le logarithme du numérateur est la somme de ces deux sommes, c'est-à-dire m,854l472; et le logarithme du quotient est par conséquent 10,5239475.
La probabilité demandée est le nombre correspondant à ce l<^rithme, c'est-à'-dire 0,0000000003341.
Remarque, Cette probabilité est moindre que la précédente, ce
278 SOLUTIOnS DES nnLËXfiS
qui 4le?ait être, puisque le nombre des chances favorables e^ lui-même plus petit.
639. Pour former les chances favoraUes, il faut faire occoper les 60 premières places par 60 des numéros appartenant an porteur considéré; le nombre de ces chances est donc le nombre da arrangements de 1000 objets 60 à 60, c'est-A-dire
Le nombre total des chances est d'ailleurs exprimé par
formule dans laquelle N représente le nombre 2673. La probabilité cherchée a donc pour yaleur
Le logarithme du numérateur est ia somme des des nombres consécutifs depuis 1000 jusqu'à 941, c'est-à-dire
Quant au dénominateur, on a déjà va que son logarithme est
Ainsi le logarithme du quotient est
et la probabilité demandée est le nombre correspondant à ce logarithme, savoir
quantité moindre qu'une unité du 26* ordre décimal.
Quant à Tespérance mathématique correspondante, eUe est le produit de 168000 fr. par cette probabilité, c'est-4li-dire
0,00600000000000000000129..., quantité moindre qu'une unité du 20» ordre décimal.
640"^. Le nombre total des chances sera le nombre des arnogements de N objets m à m, savoir
1^" Pour former les chances favorables , il faut faire occuper
SUR LES (MftATIWS K fiOUBSE. 279
lies p i^aces déterminées par p nuiiiérM pris paraii les n noméros du porteur, ce qui fouruit d'abord uu nombre d'arrangements ^ marqué par
Puis, il faut faire occuper les «» — p autres places par m — p numéros pris parmi les N — p numéros restants, ce qui fournit un nombre d'arrangements marqué par
et comme à chacun des arrangements p ip on peut faire correspondre l'un quelconque des arrangements w — p à m — j?, le nombre des chances favorables sera le produit des deux expressions ci-dessus^ c'est-à-dire
n(»— l)(n— 2)...(n— p+l)X(N— p)(N— p— Î)...(N— m + 1), en sorte que la probabilité demandée sera exprimée par
Cette formule se simplifie, attendu que les facteurs N — p, N — jP — 1 , etc. jusqu'à N — »» -f- 1 , se trouvent à la fois au numérateur et au dénominateur; en les supprimant, il reste peur la probabilité demandée :
N(N — 1) (N — 2J, . .(N —p + ly
2* Le second cas diffère du premier en ce que les arrangements m—phm—p doivent être formés , non plus avec les N — p numéros restants , mais uniquement avec ceux qui n'appartiennent pas au porteur et qui sont au nombre de N — n. Le nombre des chances favorables est donc dans ce cas
n(it— 1). . .(n— p+l)X(N— »)(N— «-1). . .[(N— n^— («»— i>)+l]et la probabilité demandée a pour expression
r,, n(n— l)..,(«-^+l)X(N— ») (N—n^l)...[(N--nM»t— />)+!] ^^ N(N — 1)(N — 2)...(N — w + l)
Si m est moindre que n 4- 1 1 on aura successivement
- N + «»<N-hn + l, d'où N — n <N — »+l;
dans ce cas, tous les facteurs du numérateur à partir de N — m seront moindres que le plus petit facteur du dénominateur; ces facteurs ne pourront donc pas être supprimés. Si au contraire m est plus grand que n -}- 1 et qu'on ait
k étant un nombre plus grand que 1, on en déduira
et lous les fadeurs depuis N — m + * jusqu'à N — «» -}- 1 pourront être supprimés comme communs aux deux termes ; dans ce cas, l'expression de la probabilité demandée se réduira à
n(n^1). . .(n~p-H).(N~n-^) (N-w-A;-l). . . [(N~nMwi-j?)+t] ■ N(N - 1) (N - 2). . . (N - m + * + 1) "
n (n-l)...(n-j)+t) (N-tn) (N-m^l). . ,[(NT--n)--(iii— p)+l]
641''. La probabilité de gagner toutes les primes est exprimée
par
La probabilité de gagner toutes les primes à l'exception de la première sera exprimée parla formule (A) du numéro précédent, dans laquelle il faut attribuer à p la valeur 59 et à m la valeur 60.
Pour que cette formule coïncide avec la précédente, il faut que le facteur (N — n) qui suit (n — /? + 1) l"i soit inférieur d'une unité, ce qui exige qu'on ait
N — n = n — p, d'où n = i(N + p),
ou, en mettant pour N et jp leurs valeurs ,
Dans ce cas, le facteur N — n est le dernier facteur du numérateur, car N — n et [(N — «) — (»»— p) + 1] se réduisent à la même valeur, puisque m — p est alors égal à l'unité.
La probabilité que l'on considère a par conséquent pour ex-'
pression
quantité qu'il serait facile de calculer par logarithmes comme dans les numéros précédents.
SUR LES OPÉRATIONS DE BOURSE. 2St
64SI. Actions db la banque. La valeur demandée est le produit de 4100 fr. par 91250, c'est-à-dire 3746725000 fr.
645, Puisque 3000 fr. ont rapporté 112' + 82 fr. ou 194 fr. , 100 fr. rapporteraient 30 fois moins, c'èst-à-dire 6^,466... ou environ 6^47.
