On vend, moyennant une prime de 20 fr

par 1000, des lingots d'argent au titre de 0,960, pesant ensemble 8*^,500, et l'on emploie le prix de la vente à acheter des piastres d'Espagne à 5', 50; que faudra-t-il ajouter pour parfaire le prix d'un nombre entier de ces pièces, et quel sera ce nombre entier ?

462. On vend, à 19,75 déprime, un lingot d'argent^au titre de 0,920 ; et , avec le produit de la vente, on achète 500 piastres mexicaines à 5', 55 ; on demande le poids total des lingots.

465. On vend, à 20^,20 de prime, des lingots d'argent pesant ensemble 11^,632; et, avec le produit de la vente, on achète 90 aigles d'Amérique à 25', 90; on demande le titre des lingots.

464. Un banquier achète des piastres mexicaines à'5',45, et 20 jours après il les revend à 5', 55; on demande à quel taux il a placé son argent^ et quel est son bénéfice total si le nombre des piastres est de 600.

, PROBL. 10

146 mOBLÈlES

465. Un banquier vend 400 souverains d'Angleteire i 25'y35 et achète des piastres espagndles à 5',Aft» Deux mois après , il revend ses piastres à b\69 et raichète 600 souverains à 25',20. On demande quel est soik bénéfice, et à quel taux il a placé sud argent

466*. Un banquier vend, à 2 pour 1000 de prime, 2 kilog- d'or au titre de 0,950, et, à 20 pour 1000 de prime, 3 kilog. d'argent au titre de 0,900 ; il emploie le iMToduit de la vente, sauf 27 centimes, à aciieter dm quadruples à 84',90 et des piastres à 5',40. Quelque temps après , il revend ses quadruples à 85',50 et ses piastres à 5',70, et il gagne sur le tout 88',50» On demande combien il y avait de quadruples et cornbien il y avait de piastres.

^ •• De riniévét trilmpla «< des ««nii^tiMi eonrAHls

467. On sait que V intérêt d'une somme |dacée pendant un certain temps est ce que rapporte cette aenme pendant ce temps, et que l'intérêt de 1 00 fr. pendant un an, ou 360 jours, est ce que l'eii nomme le tauo» de Fintérèt.

Si l'on appelle a la somme placée, t le taux et n le nombre de jours, l'intérêt de 100 fr. pendant 1 an

étant ty l'intérêt de 1 fr. sera 100 fois moindre ou -r^r l'ûttlérét de a franes s'dbtiandra en multipliazit par a, ce qui donne ^; Hntérêt pour 1 jour sera 360 fois moindre, c'est-à-dire^^; et enfin l'intérêt pour

n joues s'obtiendFa en multipliaat par nj en sorte que si Ton nomme i Tintérèt; on aaca

atn r^-i

c'est-à-dire que, pour obtenir l'intérêt, il faut multiplier le capital par le taux et par le nombre de jours, et diviser le produit par 36000. Cela posé, on demande l'intérêt de 2400 fr. pendant 175 jours, le taux de Tintérêt étant successivement 6, 5, 4 ^, 4 et 3.

468*. Quelle est la somme qui, placée au taux t^ peadaat 1 jour importerait 4 franc d'intérêt ?

Faire l'applicatLGm de la règle obtenue, au cas où le taux de l'intérêt est 6, 5, 4 J, 4 ou 3.

469*. Si Ton représente par d le quotient de 36000

par le taux t, la valeur de ce taux sera , ; et si l'on

met pour t cette valeur dans la formule (1) du n^ 467, le facteur 36000 disparaîtra et il restera

Dans le calcul des intérêts le prodtiif de la somme a par le nombre de jours n est ce que l'on appelle le nombre^ et le quotient d de 36000 par le taux »e nomme le diviseur fixe / en sorte que pour cd)tendT l'intérêt, il n'y a qu'à diviser le nombre par le diviseur fime. (Ce diviseur reste fiœe en effet quand le taux reste le même, ce qui a effectivement lieu dlans un grand nombre d'opérations de banque.)

On demande de calculer l'intérêt de 2400 fr. peu-

i 48 PROBLÈMES

. dant 1 75 jours par la méthode des diviseurs fixes, aux taux de 6, 5, 4 ^, 4 et 3.

470. Au lieu de diviser an par d^ on pourrait le multiplier par ^, c'est-à-dire par le quotient qu'on obtient en divisant Tunité par le diviseur fixe, quotient auquel on donne en conséquence le nom de multiplicateur fixe.

On demande 1 ° de calculer le multiplicateur fixe pour le cas où le taux est Tun des nombres 6^ 5, 4 1, 4 ou 3;

2** De calculer l'intérêt de 2400 fr. pendant 1 75 jours par la méthode des multiplicateurs fixesy et à ces différents taux.

471. Les praticiens 9 au lieu d'employer dans tous les cas la méthode des diviseurs fixes ou celle des mwitiplicateurs fixes, trouvent plus prompt de calculer d'abord l'intérêt à 6 p, § par la méthode du diviseur fixe. Si le taux est 5, ils retranchent du résultat 1 sur 6, ou le sixième de ce résultat.

Si le taux est 4 1, ils retranchent du résultat 1 ^ sur 6j ou le quart de ce résultat.

Si le taux est 4, ils retranchent du résultat 2 sur 6, ou le tiers de ce résultat.

Enfin y si le taux est 3, ils retranchent du résultat 3 sur 6/ ou la moitié de ce résultat.

On demande de calculer par cette méthode l'intérêt de 2400 fr. pendant 4 75 jours à ces différents taux.

472. On demande quel est l'intérêt d'une somme à 6 p. ^ pendant 60 jours.

473. Il résulte de la solution du problème précédent un moyen de simplifier encore le calcul des intérêts à 6 p. f • On emploie pour cela la méthode des parties aliquotes, qui consiste à calculer d'abord l'intérêt pour 60 jours, et à subdiviser ensuite le nombre de jours donné en parties qui soient des multiples ou des sousmultiples de 60, en sorte que les différents résultats puissent se déduire aisément les uns des autres en multipliant ou en divisant par de petits nombres.

On demande de calculer, par cette méthode, l'intérêt de 2400 fr. à 6 p. ^ pendant 175 jours, qui se décomposent en 1 20 -|- 40 -[- ^ -|- 5.

474. La méthode reconnue la plus expéditive par les praticiens pour calculer l'intérêt d'une somme à un taux déterminé, pendant un nombre de jour donné, consiste donc :

A prendre le centième de la somme donnée, ce qui donne l'intérêt à 6 p. ^ pour 60 jours.

A en déduire, par la méthode des parties aliquotes, l'intérêt à 6 p. § pour le nombre de jours donné;

Enfin, à en déduire l'intérêt au taux donné, d'après la marche indiquée au n"" 471.

On demande de calculer ainsi l'intérêt de 4681 ',50 à 4 ^ p. ^ pendant 227 jours.

47 5. On demande de calculer de même l'intérêt de 391 9',40 à 5 ^ p. ^ pendant 1 49 jours.

476. Il peut arriver qu'un commerçant, porteur de lettres de change à diverses échéances , les remette à un banquier pour obtenir en échange un effet unique,

f»0 PROBLÈITES

indiquant la même somme totale et produisant le même intérêt total ; il s'agit alors pour le banquier de détevminer Téchéance qu'il convient de fixer pomr que ces conditions soient remplies ; c'ecrt ce que Ton afq[K^ Yéchéance commune^ et qu'on pourrait appeler avec plus d'exactitud'e Yéchéance moyenne. On Tobtient par cette considération que^ puisque rintérèt total doit êtne le même, la somtne des nombres doit »aBsi être la même pour le billet unique que pour les effets réunis.

On demande, d'après cela, de déterminer Yéchéance commune, dans le cas où le commerçant remettrait au banquier le 1*' juillet daux effets seulement, Fon de 3600 fr., payable le 22 août, Vautre de 2860 fr., payable le 27 septembre.

477. Un oemmerçant remet à un banquier., le 21 mars, cinq effets à diverses échéances, savoir :

Un effet de 1870 francs payable le 30 mars.

91-8 — ^ 3 avril.

— 2Û00 — 29 avriL

— . 500 — 15 mai.

— 1200 — 7 juin.

et obtient en échange un seul effet énonçant la m^e semme totale et produisant le même intérêt total; trouver l'échéance de cet effet unique, c'est-à-dire Yéchéance commune ou moyenne , et donner la règle générale à suivre pour résoudre ce genre de questions.

478. On sait que si deux banquiers, ou négociants, sont en relations d'affaires, chacun d'eux en tient note par des écritures régulières. Soient Pierre et JacquBS les noms de ces deux banquiers, ou négociants ; Pierre,

par exemple^ ouvrira un compte à Jacques , dans lequel il portera au débit, c'est-à-dire dans une colonne epéciale placée à ^uche du compte, les valeurs qu'il aura lirrées à Jacques, et au crédit, c'e8t4-dire dans nme autre colonne spéciale placée à droite^ tes valeurs que Jacques lui aura remises.

On sait encore que pour connaître^ à un jour donné, Ta situation respective des deux intéressés, il faut faire la balance du compte, c'est-à-dire additionner les valeurs portées au débit, additionner de même les valeurs portées au crédit, et retrancher la plus petite somme de la plus grande. Cette différence, qu'on appelle solde^ s'écrit au-dessous de la colonne qui avait donné le plus petit résultat, afin de rendre les deux sommes égales. Si le solde est ainsi porté au débit, cela indique que les valeurs remises par Jacques l'emportent d'autant sur celles que Pierre lui a livrées, ou que le compte se solde à l'avantage de Jacques. Le contraire a lieu si le solde a dû être porté au crédit.

Si les valeurs livrées mutuellement sont susceptibles de porter intérêt, il faut y avoir égard dans le compte,

e'est-à-dire qu'il faut faire la balance des intérêts et en porter le solde au débit ou au crédit de Jacques, selon que les intérêts des valeurs livrées à Jacques l'emportent sur les intérêts de celles qu'il a remises à Pierre, ou que ces deïniers l'emportent sur les premiers.

Nous supposerons d'abord que les valeurs se réduisent à deux, savoir : 1** une somme de 4800 fr. livrée à Jacques par Pierre le 7 mars, et portant intérêt à 6 p. § j 2* un billet de 5680 fr. remis par Jacques et

i 52 PROBLÈMES

payable à Tordre de Pierre le 29 avril. On admet que, par suite de leurs conventions réciproques, les valeurs remises par Jacques ne portent intérêt qu'à 5 pour 1 00 ; et Ton demande de faire le compte* de Jacques à la date du V juin (sans avoir d'abord égard à la forme particulière qu'il est d'usage de donner à ces comptes).

479. Nous supposerons, en second lieu, que les valeurs mutuellement remises soient les suivantes :

1* Une somme de 2400 fr. fournie par Pierre le 4 juin ;

2« — 500 • — 25 juin ;

3* Un billet de 3400 fr. remis par Jacques et payable à

Tordre de Pierre le 17 juillet;

4* Une somme de 1800 fr. fournie par Pierre le 9 août;

5* Un billet de 660 fr. remis par Jacques et payable à

Tordre de Pierre le 28 août ;

et Ton demande de faire le compte de Jacques à la date du 1*' septembre, en supposant toujours que le taux de l'intérêt soit 6 pour 1 00 pour les valeurs fournies par Pierre, et 5 pour 1 00 pour les valeurs fournies par Jacques.

480. Lorsque, pour faire le calcul des intérêts, à porter soit au débit soit au crédit, on suit pas à pas l'ordre de date des remises , on emploie la méthode connue sous le nom de méthode hambourgeotse ou méthode à échelles. D'après les usages commerciaux , le compte du numéro précédent se présenterait alors sous la forme suivante :

o co

co co

ff*

'o co