Dans l'exemple du numéro précédent, les

198 PAML^U Sm LES FONDS PQBUCS

quaatîtés de tentes vendues de part et d'autre étaient égales» Il n'en est pas toujours aiosi ; et Toa Sait ooup Tont un marché à prisBe eootre la moitié à prime do quotité douUe.

4 Piefveaehèteds Paul 12000 fr.de rentes 3 poux lao fin courant à 72,50 dont 50, et lui revend 6000 £r. des mêmes rentes pour la même époque à 71 dont 1 • On demande les chances des deux spéculateurs.

S 6. Des prlnelpales Talenra négociées à la Bevvse. 622. Om.I€ÂT1<>MS TfE %k TILLB BB pAftfS. (NoUS pTOn-

drom pour exemple Temprunt de 50 millions cou* tracté par la ville de Paris en 1 852 ; les auto^ emprunts donneraient lieu à des problèmes analogues.)

En 1 852 j la ville de Paris j voulant contracter nu emprunt de 50 millions, a souscrit au profit <les prêteurs 50000 àbligations au porteur, de 1 000 fr« chacune, rapportant 50 fr« d'intérêts annuels, payables par semestre, les 1*' janvier et 1 "juillet.

À quoi taux place-t-on son argent en achetant ces obligations à 1045 fn?

625. Quel devraitétre le prix d'une obligation pour que l'acquéreur tirât 4 ^ pour 1 00 de son capital?

624. Un spéculateur adlièie 60 obligations de k ville de Paris k 1035 £r., et les ravend un mois z^hA à 1045 fr. ; on demande quel est sou bénéfioe, et i quel taux il a placé sou argent.

• 62S- Un capitaliste, propriétaire de 83 obligations de la viUle de Paris, ks vend k 1040 fr. naar adieter

ET Sm LES 0PÉB1TI01I5 Itt BOURSE. IM

^a 3 pour 100 au cours de 74,^ ; trois mois et demi ^près, il Tend BOB 3 pour 100 à 72,70 et rachète ses 88 ofoligatious à 103S. On drauade ce qu'il a gagné à eet arbitrage de Bourse, et à quel taux il a placé son •argent.

62 6 . Les obligations de la ville de Paris sont rembours ables au pair p»* 37 tirages au sort qui ont lieu les i '''' mai et 2 novembre de chaque année, jusqu'en no* Tombre 1 870 ; le remboursement des obligations dési- {[pées par le sort à cea tirages s'e£Cectue le T' juillet ou le 2 janvier suivants.

Indépendamment du remboursement au pair^ ]es 60 premiers numéros sortis gagnent des primes ainsi réparties :

i«f numéro wtû •«•••• «une priBi6>de 50000 fr.

:£• — ~ 0)000 3« — — . 15000 4« — — 10000 :5* et B% chacun -— ^000 7% 8% jtt8qu*au 12* indusivemeal, chacun» -^ , 30CD 13% 14% — 20» — — 2000

^0% une prime variable de 2175 francs à 3025, el dont la moyenne est*. •• .,,« 2500

Enfin, aux 1 3 premiers tirages, il ne doit être tiré que 60 numéros ; à partir du 1 4* tirage, correspondant au 1 ^^ mai 1 859, le nombre des numéros qui devroftt ^re tirés croît brusquement et va en s'élevant à ebaque tirage depuis i 522 jusqu'à 2673«

Gela posé^ on suppose qu'ua capitaliste soit portent

200 PBOBLËMES SUR LES FONDS PUBUC8

de 430 obligations^ achetées à 1045 fr., et qu'au 11* tirage, cinq de ces obligations soient désignées par le sort pour être remboursées, les rangs des numéros sortis étant le 3% le 17% le 28% le 41* et le &7\ On demande ce que gagnera ou perdra ce capitaliste.

627. Que gagnerait ou perdrait ce même capitaliste si, au lieu du 1 T tirage, il s'agissait du 37'.

628. On suppose qu'au 14' tirage, 50 obligations appartenant au même propriétaire sortent successivement, Tune la 20' et toutes les autres au delà de la 60*; on suppose en outre que ce propriétaire ne perde ni ne gagne à ce tirage ; et Ton demande à quel prix ses obligations ont été achetées.

629. On suppose qu'au 37« tirage, toutes les obligations soient entre les mains d'un même propriétaire, etqu'il les ait achetées au prix de 1060 fr.; et l'on demande ce qu'il perdra ou gagnera à ce tirage.

630. Que perdrait-il ou que gagnerait-il, s'il avait acheté ces mêmes obligations au prix de 1 065 fr. ?

651. On appelle probabilité d'un événement aléatoire le rapport entre le nombre des chances favorables à cet événement et le nombre total des chances.

D'après cela , on demande quelle est la probabilité pour le porteur d'une obligation de la ville de Paris, de gagner la prime de 50000 fr., au 1 3* tirage, au 1 5% au37*?

. 632. Lorsqu'un gain doit résulter d'un événement aléatoire, on appelle espérance mathématique le produit de la somme à gagner par la probabilité de cet événe-

ET SUR liES OPÉRATIONS DE BOURSE. 201

ment. On demande quelle est Tespérance mathématique résultant, pour le porteur d'une obligation de k ville de Paris, de la probabilité de gagner la prime de 50000 fr. au 13% au 15' ou au 37' tirage.

655. Quelle est la probabilité, pour le porteur d'une obligation, de gagner au 13'' tirage la prime de 20000 fr ., la prime de 1 5000 fr. , la prime de 1 0000 fr. ; et quelle est l'espérance mathématique correspondante à chacune de ces primes ?

654. Quelle est, pour le porteur d'une obligation, la probabilité de gagner au 13' tirage : Tune des primes de 5000 fr.. Tune des primes de 3000 fr., l'une des primes de 2000 fr., Tune des primes de 1000 fr.. Tune des primes de 500 fr. ; et quelle est l'espérance mathématique correspondante à chacune de ces primes ?

635. En adoptant 2500 fr. pour le montant de la prime variable accordée au 60* numéro sortant, quelle sera, pour le porteur d'une obligation, la probabilité de gagner cette prime; et quelle serait l'espérance mathématique correspondante?

636. Quelle est, pour le porteur d'une obligation, la probabilité de gagner l'une des primes, au 13* tirage ; et quelle serait l'espérance mathématique correspondante, si toutes les primes avaient .une valeur commune égale à leur moyenne ?

637. Quelle sera, pour le porteur de 400 obligations, la probabilité de gagner au moins la prime ^e 50000 fr. au 37' tirage ?

ses MOBLÈMES SOU LES FONDS PUBLKS

Quelle sera ta probabilité de gagner tiniquement eette prime ?

638. Quelle sera, pour le porteur de 100 obligationsy la probabilité de gagner an moins les six prettiières primes an 37" tirage ; et quelle sera la pn^Mibilité de gagner uniquement ees six primes ?

639. Quelle sera, pour le porteur de 1000 obiigatiens, la probabilité de gagner toutes les primes au 37* tirage ; et quelle sera Tespérance mathématique correspondante à cette probabilité?

640^. Si, dans une question de ce genre, on représente en général par N le nombre total des numéros qui restent à tirer, par m le nombre de ceux qui doivent être tirés au tirage que Von considère, on demande quelle sera, pour le porteur de N obligations, la probabilité 1® de gagner au moins un nombre p de primes; 2* de ne gagner que ces p primes déterminées.

641*. Quel devrait être le nombre des obligations réunies dans une même main pour qu'au 37* tirage le porteur eût autant de chances de gagner toutes les primes que de les gagner toutes à l^xoepticNa de la gremière ?

642. Actions de la Banque. — Le capital de la Banque de France se compose aujourd'hui de 91250

actions dont la valeur nominale est de 1000 fr. cha« «QQe..Le 29 janTÎer 1857, la valear réelle d une action était cotée 4160 fr.; quelle est, à ce taux, la valeur réelle de toutes les actions réunies?

ET Sirt LES mËRAlIOnS SE BOmSE. MS

643. (3ia€aa# des actions doane droit à nu ^vidende qui se paye par semestres, &ï janTier et es juillet. En 1 854, le dividende du 1 " semestre a été de 112 fr.y et celui du second semestre de 82 fr. En même temps, la "valeur réelle des actioias fi'est élevée jusqu'à 3000 fr. À quel taux a-t-on plaA^ son argent cette année-là en achetant des actions delà Banque à ce prix ?

644. La somme des dividendes payés en 1 853 s'est élevée à 1 54 fr. ; à quel prix aurait-il fallu acheter les actions pour tirer 6 pour 1 00 de son argent pendant <53tte année ?

643. Un capitaliste qui a acheté, en 1847, des actions de la Banque au prix de 3220 fr. , calcule qu'il a retiré pendant cette année-là 5 ^ pour 1 00 de son ar* gent ; quelle a été la somme des dividendes payés par action dans le courant de l'année ?

646. Fendant les 10 années comprises de -1845 à 1 854, les dividendes payés par action ont été les suivants :

t**iriBMStm.

S* ftrinBttrcu

En 1845

SS francs

75 francs*