SUR LES TABLES »E MORTALITÉ. M
-4i»is laquelle (c désigne l'âge que Fosi coasidère, et j/ la vie moyenne corret^ondante.
En comparant cette formule avec celle du n"" 855^ ^n demande à quel âge la vie moyenne est égale à la vie probable.
848 ^« A quel âge la vie probable surpas8e-t«^Ue la vie moyenne l"" de 5 ans; 2"" de 4 ans ; 3"" de 3 am; 4^de2 ans; 5* de 1 an?
849 ^. A quel âge la vie moyenne est-^lfi les f| de la vie probable ?
1^^. Cencevons que^ dims une population staticmnaire, le nombre des naissances annuelles soit de 12B6. Si toutes ces naissances avaient lieu le même jour, chaque année, la somme des nombres de survi- Tants de chaque âge, inscrits dans la table de' Depar-* «ieux, exprimerait la population totale.
Mais les naissances, ainsi que les décès, devant être supposés uniformément répartis dans le cours de chaque année, le nombre des enfants de à 1 an est b moyenne arithmétique entre le nombre des naissances et le nombre des survivants de 1 an; le nombre des individus de 1 à 2 ans est la moyenne arithmétique entre le nombre des survivants de 1 an et le nombre des survivants de 2 ans, et ainsi de suite. La somme de toutes ces moyennes forme la population totale.
Oiî demande cette population totale^
B51. On a vu,*au n** 796, que la population de la France en 1 856 était de 36039364 habitants. En supposant que la table de Deparcieux exprime exactement
l'état de la population à cette époque, on demas^ quel était le nombre des individus de 20 à 21 ans.
852. Dans cette même année 1856, le nombre des jeunes gens inscrits sur les listes du recrutement était de 305500. On demande dans quel rapport étaient les populations masculines et féminines de Tâge de 20 à 21 ans?
853. Quel était, en 1856^ le nombre des individas âgés de 54 à 55 ans ?
854. Quelle était, en 1856, \sl population majeure^ ou le nombre des individus âgés de 20 ans et plus?
855. Quel était, en 1856, la population masculiDe en état de porter les armes, c'est-à-dire la population masculine de 20 à 55 ans? (On supposera que les nombres exprimant la population de chaque âge se partagent également entre les deux sexes.)
856. Quelle était la population majeure de la ville de Paris en 1 856, époque où sa population municipale était de 1 1 30488 habitants ?
857. Quelle était, en 1 856, la population mascuUne en état déporter les armes, dans la ville de Lyon, dont la population communale était de 255960 habitants?
858. Les registres d'une commune constatent qu'en 1856 il y avait 247 jeunes gens appelés à satisfaire à la loi du recrutement; quelle était, à cette époque, la population de cette commune?
5 8. Des resles viftsères.
839. On sait qu'une rente viaghre est une somme payée annuellement à une personne jusqu'à Tépoque de sa mort. Si Ton veut connaître le capital que représente une rente viagère, on peut employer les considérations suivantes.
Nous avons déjà dit que le produit d'un gain plus ou moins probable par la probabilité de l'obtenir constitue ce que Ton appelle Y espérance mathématique relative à ce gain ; et l'on a vu, au n** 857, que la probabilité, pour une personne de l'âge n d'atteindre l'âge n' est le rapport entre le nombre des vivants de l'âge n' et le nombre des vivants de l'âge n. Gela posé, soit V„ le nombre des vivants du même âge que la personne dont il s'agit; soit v^ le nombre des vivants d'un âge plus avancé d'une année , v„^3 celui des vivants d'un âge plus avancé de 2 années ; et ainsi de suite, jusqu'à v„^j,f qui représentera le nombre des vivants de l'âge le plus avancé qui figure dans la table de mortalité. Soit A la rente viagère, a le capital que l'on cherche, et r l'intérêt annuel d'un franc.
La somme a qui doit être payée au bout d'une année, a pour valeur actuelle, d'après les règles des intérêts,
la probabilité, pour la personne dont il s'agit, de vivre encore un an est d'ailleurs
i6« PROiUns
Tespérance mathématique correspondante a donc pour expression
La somme a qui doit être payée au b^ut de 2 années, a pour valeur actuelle
O+rJ»'
la probabilité, pour la persosme tpii doit la toodii^, dis TÎrre encore 2 ans, est d'ailleurs
Tespârance mathématique corvespoBdaBte est iIobc 6X« l^iméepar
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(1 + r/ Vn
On verra de même que l'espérance mathématique correspondante à la somme a qui doit être payée au bout de 3 ans est
(1 ^fff r, '
et ainsi de suite; jusqu'à Tespérance mathématique correspondante à la somme qui doit être payée dans k années , laquelle a pour expression
La somme des espérances mathématiques ainsi obtenues forme Tespérance totale , ou la valeur actuelle
SUR LES IfiHnS TUGËRES. M7
de la rente yiagère ; on doit d<mc avoir
(1+r)' Vn '^{i+rr f>n'T"\*- "•"{TP?-
OU
p g r ^n+l I Vn+% I I t)^> 1
OU bien
€yB désignant par S« la quantité entre parenthèses.
On demande^, d'après cela, quel capital représente une rente viagère de 4 200 tr., sur la tète d'une per« aoune âgée de 90 ans , les intérêts étant calculés kU{ pour 1 00.
