Une personne de 47 ans possède 35000 fr. de
capital ; quelle rente pourra-t-elle se faire en plaçant son capital en viager? On tiendra compte du droit de 5 pour 100 à payer pour frais de gestion.
863. A quel âge peut-on doubler son revenu en plaçant son capital en viager? On suppose les intérêts à 4 I pour 1 00 dans les deux modes de placement.
864. Une personne de 40 ans possède 2850 fr. de rentes 3 pour 1 00 ; elle les vend au cours de 66,30 pour placer le capital en viager. En tenant compte da courtage de ^ pour 1 00 à payer en vendant les rentes 3 pour 1 00, et du droit de 5 pour 1 00 à payer en plaçant le capital , on demande de quelle rente viagère jouira la personne dont il s'agit.
865. Un propriétaire qui possède des fonds placés en rentes 3 pour i 00 , veut constituer une rente viagère de 2400 fr. sur la tête d'un parent âgé de 59 ans. Le cours du 3 pour 100 étant à 65,40, combien faudra-t-il qu'il vende de ces rentes pour disposer du capital nécessaire, en tenant compte du courtage et du droit de 5 pour i 00 ?
866. Les compagnies qui s'occupent de rentes viagères , font ordinairement usage d'une table de mortalité plus lente que celle de Deparcieux. Voici l'une des tables les plus employées : elle est connue sous le nom de table de Hubbard; à côté des nombres de survivants de chaque âge, depuis 2i ans jusqu'à 90,
on a inscrit les valeurs de la quantité — ou K (889),
pour le taux de 4^ pour 1 00.
Âges.
Survivants.
Valeurs de A».
Ages.
Survivants.
Valeurs de A..
(On remarquera que cette table concorde avec celle du n^ 860 9 à partir de 71 ans).
On demande de déduire de cette table le capital
ÎTO PRWLtMBS
équivalant à une rente viagère de f 00 fr., sur une tète de 30 ans, de 40 ans, de 50 ans, de 60 ans, de 70 ans, de 80 ans, et.de 90 ans; et de comparer les résultats obtenu» avec ceux que douée l'emploi de la table du n'&60.
867. On peut comparer les deux tables d^une autre manière : en calculant , d'après chacune d'elles , la rente viagère produite par un capital de 400 fr. On demande de faire cette comparaison pour les âges de 30 ans, 40 ans, 50 ans, 60 ans, 70 ans, 80 ans et 90 ans.
868. Un employé place chaque année 120 fr. , à intérêts composés^ et au taux àe A{ pour 400; et à 55 ans , il place son capital en viager. Quel sera le montant de cette rente viagère , si les placements cmt eu lieu depuis Fâge de 25 ans?
Oo suppose que la compagnie qui se change de ser* vir la rente £asse usage de 1^ taUe de Hubbard.
869. Quelle somme Ssiut-il placer annuelkment, à intérêts composés, et au taux de 4 1 pour tOO, à partir de rage de 40 ans , pour disposer à 60 ans d'un ea« pital qui, placé en viager, {produise une rente de 3000 fr.
On suppose qu'on s'adresse pour cela à une compagnie qui fasse usage de la table de Deparcieux , et qa> compte les intérêts à 4 ^ pour 1 00.
870. Un employé a plaeé annuellement,, à4f pour 100, et à intérêts composés, savoir : 206^ h. à partir de l'âge de 25 ans , 300 fr. à partir de Tàge de
SUR LEâ RENTES Y1A6ËRES. 271
32 ans ^ 450 fr. à partir de Page de 39 ans ^ enfin 640 fr. à partir de Tâge de 47 ans. Arrivé à Tâge de 60 ans , il place son capital en viager ; de quelle rente jQuira-t-il le reste de sa vie ?
On suppose que la compagnie à laquelle il s adresse fasse usage de la table de Hubbard^ et prenne un droit de 5 pour 1 00 au moment du placement en viager.
971. On aeppelle rente viagère diff^ée y une rente qui ne doit commencer à être servie qu'tm certain nombre d'apnées après Tépoque du placement.
Supposons qu'une personne veuille jouir d^une rente viagère a, à partir de l'époque où elle sera âgée de n années. Soit n — t le nombre qui exprime son âge actuel ; les probabilités qu'elle aura d'atteindre les âges exprimés par n-f-1, n-|-2, etc., jusqu'à n-^k y que nous supposerons être le dernier âge inscrit dans la table de mortalité, seront représentées respectivement par
et les valeurs de Té'spérance mathématique de toucher la somme a aux époques dont il s'agit^ seront (voir le tf 8^9)
Le capital qui représente la rente différée sera la somme àe ces espérances ; et , en le désignant par C ^ wi pourra écrire *
OU
On demande y diaprés cela, quel capital une personne âgée de 45 ans devra placer actuellement pour jouir, à partir de Tâge de 60 ans, d*une rente viagère de 1 800 fr.
On suppose, que Ton se serve de la table de Deparcieuxy et que le taux de Tintérèt soit 4 j pour 1 00.
872. Une personne âgée de 37 ans place 50000 fr. actuellement y pour jouir à 55 ans d'une rente viagère. On demande quelle sera cette rente.
On suppose que Ton fasse usage de la table de Hubbardy et que les intérêts soî'ent calculés à 4| pour 100.
875. Une rente viagère peut être temporaire, c'està-dire qu'il peut être convenu qu'elle ne sera servie que pendant un temps déterminé ( en supposant , bien entendu , que la personne qui doit en jouir vivra un nombre d'années suffisant ).
Une personne de 28 ans voudrait se faire une rente viagère temporaire de 2400 fr. jusqu'à l'âge de 50 ans; de quel capital doit-elle disposer pour cela?
Pour résoudre cette question, on remarquera que si au capital cherché on ajoutait celui qui est nécessaire pour constituer une rente viagère de 2400 fr. différée jusqu'à l'âge de 50 ans , la somme devrait donner le capital nécessaire pour constituer une rente viagère immédiate de 2400 fr.
On suppose qu'on fasse usage de la table de DeparcieuXy et que le taux de Tintérét soit 4 ^ pour 1 00.
874. Une personne de 39 ans peut disposer d'un capital de 25000 fr. , avec lequel elle voudrait se faire une rente viagère temporaire^ jusqu'à l'âge de 55 ans; quel sera le montant de cette rente ?
On suppose qu'on fasse usage de la table deHubbard^ et que le taux de l'intérêt soit 4 { pour 100.
875. Une rente viagère différée, au lieu d'être constituée par le payement immédiat d'un capital , peut aussi être payée par annuités , lesquelles restent ac-* quises à la compagnie dans le cas où la personne qui doit jouir de la rente viendrait à décéder avant l'époque fixée.
L'annuité qu^il faut payer dans ce cas est précisé-' ment égale à la rente temporaire dont on jouirait en versant immédiatement un capital égal à celui qui est nécessaire pour constituer la rente digérée. Seule-' ment , il faut bien remarquer que le payement de l'annuité commence une année plus tôt que la rente temporaire à laquelle on la compare, puisqu'elle devra être payée au commencement de la première année , tandis que la rente ne le serait qu'à la fin de cette année même.
On demande quelle annuité devrait payer une per^ sonne de 34 ans pour se constituer, à partir de 60 ans^ une rente viagère de 3600 fr.
On supposera qu'on fasse usage de la table de Dc^ parcieux, et que le taux de l'intérêt soit 4 { pour 100< pROBL. i s
274 nouJttEh
876. Si Vonployé dont il est question au n"" 868 , au lieu de placer aunuellaneat 120 £r. à intérêts composés chez un banquier ou de toute autre manière, les edt plaeés entre les mains de la compagnie màme à laquelle il comptait s^adressw pour se constituai à 55 As une rente viagère , on donande quelle ^ été cette rente , les conditions du problème étant du resta les mêmes qu'au numéro eité*
877. Une rente viagère peut être constituée sur deux tètes; c'est-à-dire que, dans ce cas, la compagnie à laquelle on s^adresse s'engage à servir la rente tant que les deux personnes désignées sont vivantes.
Les rentes viagères sur deux tètes donnent lieu à des questions et à des calculs analogues à ceux qui précèdent; il n'y a de différence que dans l'évaluation des probabilités.
Soit n rage d'une des deux personnes considérées^ et v^ le nombre des vivants de cet âge ; soit de même m l'âge de la seconde personne et u^ le* nombre des vivants de l'âge m.
Les probabilités , pour la première personne , de vivre encore 1 an, 2 ans, 3 ans, etc.^ sont exprimées respectivement par
ffnrH ^Wt ^mt* ^-f-
Les probabilités y pour la seconde personne , de vivre encore i an, 2 ans, 3 ans^ etc., sont exprimées de même par
U^ îâ-^ Um
B'après ks^ règles du ealeiil dis pttribdbildtés, as l'on :fiBditiplie Cl» fractÎQOft r«apectkv€SQ)Bitt> par les peécé^ ^à&aieB, ka produits^ ;
^n+l'^m+l Vn+i'^^m+i Vn+8.^m+8 ^
-eqprimeraii le» probablités que les éein: persomes <lmit il ft a^t seront eocore mantes dans i an, 2 ane^ ^ ans^ etc.
En mettant ces probabilités à la place de
— î — • — « eic««*
^ans la formule du b^ 999^, on obtiendra Texpression <lu capital C équivalent à une rente viagère cl constituée sur deux tètes dont les âges sont n et m^ On trouvera ainsi :
la &érie entre parenthèsea doit être prolongée j[usqu'à la limite de la table da laoftalité ^ c'est-à-dire jjasqu'à ce que Tua des facteurs qui figurent aur numérateur ^oit nuL £n posant
^^'^~v^.uJl (1+r) "t" d+r}^ "T" (1+r)' i----JLlJ
on pourra écrire
et Ton voit que A^^^ est le capital équitaknt à une rente viagère de 1 fr. sus deux tètes dont les; âges afont .n et m.
On demande de calculer les valeurs de A^^ , d'après la table de Deparcieux , pour deux tètes dont les âges diffèrent de 5 ans, de 1 ans et de 30 ans, en supposant que la plus jeune ait au moins 20 ans , et en adoptant 4 ^ pour le taux de Tintérèt.
878. On demande ce que vaut actuellement une rente viagère de 4800 fr. sur deux tètes âgées , Tune de 60 ans, Tautre de 50.
879. Deux époux âgés , Tun de 50 ans , Tautre de 45, veulent vendre une propriété estimée 40000 fr., pour en placer le produit en viager sur leurs deux . tètes ; quelle rente se feront-ils de la sorte ?
880. Un père, qui a 30 ans de plus que son fils, a calculé qu'une rente viagère de 6000 fr., constituée sur leurs deux tètes , vaudrait actuellement 67878 fr. On demande Tâge du père et celui du fils.
881. Deux vieillards, unis par des liens de parenté, et âgés, Tun de 57 ans, l'autre de 62; jouissent d'une rente viagère de 5000 fr. constituée sur leurs deux tètes. On demande s'il y aurait avantage pour eux à aliéner cette rente pour en placer le capital, par parties égales, en rentes viagères sur chacune de leurs têtes?
882. Une rente viagère constituée sur deux têtes peut être payable jusqu'au dernier décès} c'est-à-dire que la compagnie qui s'est engagée à servir la rente , doit la payer tant qu'il y aura une des deux tètes vivante. Dans ce cas les probabilités doivent être évaluées d'une autre manière. '
La probabilité pour une personne âgée de n années de vivre encore pendant un an étant, d'après les notations du n* 877,
la probabilité contraire , ou la probabilité , pour cette personne, de mourir dans Tannée sera, §uiyant la règle des probabilités.
De même , la probabilité pour une autre personne de mourir dans l'année sera
La probabilité que les deux personnes mourront dans Tannée est le produit des deux probabilités particulières, c'est-à-dire
6t par conséquent la probabilité contraire, c'est-à-dire la probabilité que Tune au moins des deux personnes vivra encore au bout de Tannée, est
ou
On trouverait de la même manière que la probabilité que Tune au moins des deux personnes vivra
278 PR0BLÈRS
encore an bout de 2 aiiB, «t exprimée par
Vn.Um
que la probabilité que Tune au moins des deux personnes vivra encore au bout de 3 ans, a pour ^xpies-^ sion
et ainsi de suite.
Si l'on remplace j dans la formule du n"" 859 , le» probabilités
^iH-l ^ii4< ^«-H ^4^
par celles que Ton vient d'obtenir, le résoltat se cem* posera de trois séries de termes qui, d'après les nota* tiens adoptées, pourront s'écrire
La quantité entre parenthèses se compose du •capital équivalent à une rente de 1 fr. sur une tète âgée de n années, plus le capital équivalent à une rente de i fr. sur une tète tgée de m années, moins le capital équivalent à une rente del fr. sur deux tètes âgées l'une de ii et l'autre de m années.
On demanda, d^apiès x^la, la vaienr actuelle d'une rente viagère de 4500 fr. constituée sur deux tètes âgées, l'une de 58 ans, i'aittre de 58, jnqa'au dotnier déûès de ces deux tètes»
SUR LES lŒKTES VIAGÈRES. Î70
88*3. Un père^ âgé de 55 ans, place une somme de 60000 fr. en viager sur sa tête et snr celle tle «on fils, âgé de 25 ans ^ jusqu'au dernier décès de chacun d'eux ; quel sera le montant de la rente viagère ?
884. Deux époux âgés Tun de 59 ans, Tautre de 49 f jouissent chacun d'une rente viagère j qui est de 1800 fr, pour Tun et de 1200 fr. pour Tautre. Ils veulent convertir ces deux rentes viagères en une seule constituée sur leurs deux têtes jusqu'au dernier décès de chacun d'eux; quel sera le montant de cette rente unique ?
fi8S. Une rente viagère peut étne constituée sur deux tètes égales^ c'est-à-dire du même âge.
Par un calcul analogue à celui du n"" 877, on trouve que le capital équivalent %, une renie viagère de 1 fr. sur deux têtes égales a les valeurs suivantes :
ijgea. Valeurs de Aj,,,,,
fô ie,-549
t)n demande quelle reiîte viagère produirait un tsapital de 50000 fr. placé sur deux têtes de ^5 ans.
886« Que produirait le même capital, placé en rente viagère «ur les mêmes têtes, jusqu'au dernier décès ?
