On avu, wn n" 882, oomment cm peut cal
tSO PROBLfiMES
culer le capital équivalent à une rente viagère constituée sur ideux tètes jusqu*au dernier décès. Mais , si deux personnes dont les âges sont n et m veulent acheter une pareille rente, on peut se demander dans quelle proportion elles doivent contribuer à la formation de ce capital.
Pour fixer les idées, appelons Paul et Jacques ces deux personnes; et cherchons Tespérance mathématique qu'a Paul de toucher sa part de la rente a dans un nombre k d'années.
Paul ne peut faire à cet égard que deux hypothèses : ou Paul et Jacques vivront; et Tespérance qu'à Paul de toucher, dans ce cas, la rente fa, a pour expression
J.^.!^.^i=±t; (Voir le n* 877)
OU Paul vivra seul; et l'espérance qu'a Paul de toucher, dans ce cas, la rente a tout entière, a pour expression
La somme de ces deux espérances partielles forme Tespérance totale de Paul.
En opérant de même pour les autres années, il est facile d'en déduire la somme des espérances de Paul; on obtiendra de même, la somme des espérances de Jacques. Le capital à fournir devra être partagé proportionnellement à ces deux sommes d'espérances.
Cela posé , on suppose que Paul soit âgé de 53 ans et Jacques de 58 : que devront-ils payer l'un et l'autre
pour constituer sur leurs têtes, jusqu'au dernier décès, une rente viagère de 3000 fr. ?
888. Deux vieillards, âgés l'un de 61 ans et l'autre de 66, sont possesseurs d'une rente viagère de 4500 fr., constituée sur leurs têtes jusqu'au dernier décès. Ils vendent cette rente pour se constituer des rentes viagères séparées : quel sera le produit de cette vente ; comment devront-ils partager ce produit; et quelles rentes individuelles auront-ils en plaçant leurs parts séparément ?
889. Une personne qui veut constituer* une rente de 3600 fr. sur deux têtes âgées de 35 et de 45 ans, et jusqu'au dernier décès, s'adresse à une compagnie qui lui demande 70450', 10. En considérant les tables d'après Deparcieux comme l'expression de la vérité, on demande le bénéfice de cette compagnie.
890. JJne rente viagère sur deux têtes peut être différée d'un certain nombre t d'années. Sa valeur s'obtient en calculant la valeur qu'aura cette rente au bout de ce nombre.^ d'années, en en déduisant sa valeur actuelle , et en la multipliant par la probabilité que les deux têtes sur lesquelles la rente est constituée subsisteront encore dans t années.
On demande, d'après cela, T de trouver l'expression générale d'une rente viagère différée, constituée sur deux têtes jusqu'au dernier décès ; 2^ de calculer la valeur d'une rente de 1 200 fr. constituée sur deux tètes âgées de 38 et de 48 ans jusqu'au dernier décès, mais différée de 1 2 ans.
On suppose les intérêts calculés à 4^ pour 100.
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S 4. Des Mi««MiBees mrnr la i^e»
891. Les auurances sur la me <iiit le phn t>Tdiimremeot prar but de procurer certains SEvantages «os héritiers de rassuré; mais elles md eneore d'initrs& applications, ainsi ()u'on le Terra plus loîn.
Le calcul des assurances diffère du eakul des jrentas Tiagères en ce que ce dernier est fondé sur des probabilités de vie, tandis que le premier dépend des pnd»abilités de mort; en d'autres termes : le calcul des rentes viagères dépend de l'espérance mathématique du reatier, tandis que le calcul des assurances sur la vie dépend de Tespérance mathématique de Théritier ou de la personne, quelle qu'elle soit, qui doit profiter de l'assurance.
Pour trouver le capital P que devra payer une personne de rage n qui veut assurer à sa mort une somme S à Tun de ses héritiers , on raisonne de la manière suivante :
La prohabilité ijue l'assuré mourra dans la f" année est
