CHAPITRE V OSCILLATIONS D UNE SPHÈRE
352. — La forme de corps vibrant dont Tétnde est la plus facile, est la forme sphérique, parce que les fonctions nécessaires pour représenter la distribution du champ sont connues depuis longtemps, et ont été étudiées d'une manière approfondie, par Laplace d*abord, et depuis, par beaucoup d'autres.
Rappelons d'abord les propriétés les plus élémentaires de ces fonctions.
Une fonction sphérique solide, ou fonction harmonique V est une fonction qui satisfait à Tcquation de Laplace
(i) AV = o
dans toutTespace.
Lorsqu'elle est homogène, de degré n, on peut la mettre sous la forme
et la fonction S„, ne dépend plus que des angles directeurs ; elle satisfait à Féquation
(2) r*ASn -+- n (n -f- i)S« = o
qu'on obtient facilement au moyen des équations connues.
A(UV) = UAV + a(gg + ...)-HVAU.
à\n dVn . dV»
CD — - 4- y — - 4- z — - = nV-.
CHAPITRB V. — OSCIL'.ATION d'uNK SPhIsRB 3I5
Lorsqu'on définit la position d'un point sur une sphère par sa latitude ( - — 6 j et sa longitude <p, la fonction S„ prend le nom de fonction de Lâplace, et est représentée par Y».
Celles des fonctions Y„ qui ne dépendent que de la latitude ( ' ~ ^ ) et non de la longitude, ou angle azimuthal, (p ont une importance spéciale ; on les représente avec Legendre, qui les a particulièrement étudiées, par Pn({Ji) en appelant {x le sinus de la latitude X.
La fonction générale Yn est
Y. = 2f ^ * (A,., cospç + B„, sinj,.?) (i - v'f *-^^|5^-
353. — Les équations des mouvements vibratoires amortis ou non prennent fréqueomient lorsqu'on met en facteur la fonction du temps e^S la forme (3) A* — a*4> = o
s' étant un coefficient qui dépend à la fois des propriétés caractéristiques du corps, élasticité, conductibilité, etc., et de la vibration particulière considérée, c'est-à-dire de d.
Pour des corps de forme sphérique, pleine ou creuse, les fonctions spfaériques de degré entier s'introduisent naturellement. Posons
* = RnV„.
l^n étant une fonction de r seulement et substituons dans Téquatien (3) ; au moyen des formules rappelées plus haut, on met facilement \n en facteur, et il reste iK)ur déterminer Rn
dr» r br
On peut donner à Tintégrale de cette équation diverses formes ; j'adopterai la suivante (M
(>) Cf. BuuoDiii.— Mouvements d'une sphère dans une atmosphère gazeuse ; vUintioiu propres de l'espace extérieur. Ann., Ch., Phys., II, 1894.
31 G PnOPAGATlOX DE l'ÉLECTRICITÉ
DuQs le couductcur, on a OU, avec toute l'approximation nécessaire en général :
a* = 471*6; dans risolani, au contraire, on a
364. Considérons maintenant une sphère très conductrice dans resjKice isolant indéfini. Si la sphère émet des radiations électriques, sans en absorber, un seul des deux termes de R„ intervient, le premier: en effet, une fois les dérivations effectuées, ce terme est le produit d'un polynôme de degré n en - par -^^ e"" *'* et., en prenant
cela nous donne le terme e \ ^7 purement émissif quel que soit 6.
355. — Adoptant la condition indiquée au chapitre n(n'* 309-310) que la force électrique dans Tisolant soit normale au conducteur, nous pouvons trouver le champ extérieur à la sphère d'une manière indépendante ; nous obtiendrons ensuite ce dernier séparément.
Mettant en évidence le facteur e^ dans les équations d'Ampère et de Faraday, celles-ci deviennent
0M,=^»-^; une quelconque des six grandeurs Ej..., M,, satisfait à l'équation
AU = a^n, avec les valeurs de a^ indiquées plus haut.
CBAPITM V. — OSGILLATiOM D*UNB SPH^RB
356. — La forme du corps permet évidemment l'existence de vibrations dont la force électrique est partout dans le plan méridien^ et la force magnétique peri)endiculaire au plan méridien. Pour les trouver séparément il faut donner aux étjuations une forme qui rende simple réquation à la surface, qui exprime que la force électrique tàngentielle est nulle.
Soit M la force magnétique indépendante do la longitude, on a
sin®
cos©
Fig. 54
puis, en appliquant la propriété des flux de
conrant qu'exprime Téquation d'Ampère Q),
au circuit formé de deux rayons vecteurs de même latitude, et de
deux circonférences, on obtient
OÙ l'on considère M comme une fonction de r et de 0.
357. — C'est donc la fonction M, qu'il faut mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs, Tun fonction de r, l'autre de 6, pour écrire l'équation à la surface de la manière la plus simple. Pour cela il faut dans M^ et M, mettre en facteur une fonction Y„, ce qui donne
M. = - A sin ? v/riry. ?!P»(li) r» e- + «' ^ ('?-— ) ,
M, = A C08 <p v^i — |ji
^ d[± dr» \f.n -f ij '
(1) Les trois équations d'Ampère conduisent au mcruc résultat plus péniblement en faisant le cliangcment do coordonnées.
318 PROPAGATION D8 t'élKCTRIGlTi
et, la force électrique tangentielle est nulle à la surlace de la sphère de rayon a, si Ion a
Cette équation détermine a et par conséquent la période et Tamortissement des oscillations de rang n correspondantes.
35S. — On trouve facilement la distribution initiale d'électricité correspondante. L'équation d'Ampère pour un élément de surface de la sphère donne la force électrique normale :
r« sin e Uizk 4- ^\ E, = - ^ (Mr sin 6)
ou, dans Tisolant (K = o)
La densité superficielle à un instant quelconque est donc
Si la force électrique normale interne est négligeable, ce qui est approximativement vrai à toute époque, puisqu'elle est de même ordre que la composante tangentielle, et rigoureusement vrai dans Tétat d'équilibre initial :
car réquation qui définit P» (k) est
comme on le déduit facilement de Téquation générale des Y^.
CHAPtVRB V. — OSCILLATION d'uNB SPHiRB 319
359. — Formons maintenant Téquation en a, pour rosdllation de rang n
— aair\ ^— aar
Pais
ne-^
(- a^ " ^) [^"'^' -^ n(n ^ (ac.)-- ' -^ ...
(n — m— i)! (m-+- i)! ^ ^ -h ... -f-(an4- i)?]
4-^rn(aaa)^-'-+-(n— i)n(n 4- i)(aaa)^-» -+-... -^ (n^m-a)l(m-^i)! (^*^) "^ -J
360. — Pour la première osdllation (n = i) Téquation est a V H- «a 4- 1 = o
d'où
On a d'ailleurs
Pi (f*) = l^y
le facteur de propagation est
2a ^ ' ' aa
320 PROPAGATION DE L*éLBCTRlGlTé
La période est
ÛV3' et le décrément logarithmique
Le rapport de Tamortissement à la fréquence est un nombre, indépendant du rayon de la sphère très conductrice.
Dans une sphère de matière peu conductrice, ce rapport dépendrait du rayon, et Ton pourrait évidemment réaliser des amortissements supérieurs à celui-ci ; mais l'amortissement moindre, c'est-àdire la vibration plus prolongée n'est pas réalisable au moyen de sphères.
