X,Y--4N,('^) +... +(-.)" *PN
Dans le cas limite actuel, on peut facilement déduire des formules de récurrence 77 (n° 404) la valeur exacte du numérateur. On doit
382 PROPAGATION DE L'éLBCTRICITé
y faire en effet, non seulement 5," = i, mais en outre % = o, ce qui les réduit à
{m -H i) G. + , ~ aOG. = —^ (mG« - aOG.^t) et
On eu tire, pour m = i
aG^ — 2OG, = 0.
et par conséquent, de proche en proche
(m H- i)G^4.i — 2O Gm=:o d'où
puis
Jm = 8 G„,i — G,„ = — ^ j ^ Gi.
Cette expression portée dans le numérateur, lui donne la forme
i nV . Sn^r^ 1 (an::/)'» — »
•2 6 2. 4Î ami
qui, multipliée par 4^i^«, devient
(an:: «y (anre)* (anm)"'
OU
2nTu -. -3j- ^ -^
Il reste donc
Représentons par ')V la dérivée de % par rapport à 6^ :
=:N3 + 2N,eM-3N,e*-f- ..
lo
CBAPnHB VI. OSCILLATIONS DANS UN BLLIPSOIOE DB REVOLUTION 383
Il vient enfin
Cette seconde approximation fait apparaître l'amortissement, proportionnel à T,.
Remarque. — Les valeurs de pour les vibrations propres des tiges minces sont déjà tellcuiont jurandes (pu; les développements tels que (92) arrêtés aux termes en 0^ ne donneraient aucune idée du r«'*snltat. L emploi de ces développements doit être limité aux problèmes qui ct)mportent de petites valeurs de 0, tels que la vibration produite dans la tige par des ondes extérieures très longues.
426. — Donnons d'abord le tableau numérique des amortissements :
= ojuo
i,ai
1 i,''7*^ 2/167 0,8000 -f OiO'itx'i — o,ooQ2 -f 0,0001 3 — o,o(KKK)33 = 0,820") o,Gi
2 3, i|iG ^.tt'K) 0,071 -}-<», 077 |- o,ooi — 0,002
4 6,383'j 39,478 o,r)i9 — o,09'| -J- t»,o6i -f <>.ï3(» j 7,8rj39 61,^)8;') o,5i3 — <»,io|) — o,o35 ti 9.42^8 88,836 o,5oy — 0.II9 -f- o,02'|
7 io,r,<).V» i30,(jo3 o,r>07 — o,r<.') — 0,018
8 i2,.'i»;*>4 157,91 î o.riof) — o,i3o -j- 0,011
9 14.1371 199,859 o,5o4 — o,i33 — 0,011 i."ï,7o79 246,74 oo,5o3 — o,i3") -|- o.ooj)
11 est difficile d(i dire à (luel degré sont approchés les amortissements ainsi calculés ; les valeurs de 0* ( — n-7:-,- .) sont tellement grandes que la c(»nv(»rgcncc arithmétique est peu accentuée, surtout pour n égal à 3 et à 4 ; et on peut se demander si la série 71/ dont nous avons calculé les i^remiers t«îrmes est bien eiïeclivement convergente pour ces valeurs de 0^ (,)uoiqu'd en soit, Tamoitissement des oscillations de rang pair, (nond)re de lignes nodales) est toujours plus grand que celui des oscillations de rang impair voisines. Il semble y avoir une limite eonmiune, probablement voisine de i,î5, pour n très grand.
384 PROPAGATION DB L iLBCTRIClTé
Donc, quand on s'arrête aux termes proportionnels k-^y la Ion- ' gueur de Tintervalle des foyers comprend encore un nombre exact de demies longueurs d'onde ; Ténergie émise devient sensible' en même temps que -n, et il en résulte un amortissement dont nous donnons ci-dessus les valeurs.
Quant à la relation entre r, et e, on s'en fera une idée par le tableau suivant :
r, 0,0775 0,0944 0,l'io4 0,167 0,272
^'•i£ 10~" 10"* lO~' 10"' 10**
où v'28 est la valeur approchée du rapport du diamètre équatorial de la tige à sa longueur.
Précisons par deux exemples : celui d'un fil de 10 mètres de long et de 0,1 millimètre de diamètre et celui d'un large tube de même longueur et de 10 centimètres de diamètre :
loa
lag
o,ri9
o.ofia
on voit par là dans quelle énorme proportion il faut augmenter le diamètre des ellipsoïdes allongés pour doubler Tamortissemenl.
Cet amortissement est d'ailleurs encore très appréciable puisque même pour un fil fin, l'amplitude de la vibration fondamentale est réduite au tiers après une trentaine d'oscillations seulement (').
(») Résultats de M. Abraham, (Wied. Ann. 1898, n» 11). — De rinlégrale — inexacte à mon avis, voir p. 355j — que M. M. Abraham a donnée pour Texlérieur, il a déduit, par un mode de calcul très artificiel, 168 résultats suivants, que je crois devoir ci 1er ici, bien que méritant aussi peu de confiance que l'intégrale d'où ils dérivent.
Première approximation (p. 4*>2. W. A.) Posons pour les ellipsoïdes allongés
6, pelit axe do Tellipsoîde;
dAHTRB VI. OSCILLATION» DANS UM BLLIPSOÏDB DB REVOLUTION 385
427. EUIpsoïdes de même période que la ligne des foyers. -Les formules (93). (94) sont des ïiolations valables pour tout l'espace fn n est pas extrêmement voisin de la ligne des foyers. Elles montrent plusieurs propriétés curieuses, dont je vais indiquer quelquesues.
Autour de la ligne des foyers, il y a dans Tespace une infinit<^ d'ellipsoïdes, de dimensions finies, dont la forme peut différer aussi ftû que Ton veut de la forme sphérique, le long desquels E^ est nul pour une vibration de rang déterminé.
Pour la vibration de rang n impair, tous ces ellipsoïdes sont don* nés par
nrzs. Q A' -f- 1 , ^
ces i = 0, .^, :rrr . ^ A* -h I > W.
Poar ceux de rang pair,
k désignant un nombre entier.
f, dintaoce du centre au foyer ; T.', diffère peu de \ t».
6=5 (ai:î — 9,74 <).
= ? {vRî — (j,a3 T,' , n = a
e = ]? azi — (9,«<> + '1 log n) t.', /i > a
Deuxième approximation (p. 4^4 ^V. A.)
I a»î — q.74V— 4 7/tV- „
. I 4i;i — 6.a3 t/ — lo/,^ T.'t
= j rT:5,:i-r. / ' ''-''
Ged résultats diffèrent, comme on voit, OuiisidrrubkMnent ile CiUix donnés daos le texte.
386 PROPAGATION DK L'BLBCTRIGlTé
On peut donc construire un conducteur ayant la forme d'un quelconque de ces ellipsoïdes, au moyen duquel on réalisera exactement pour la vibration n corres|K)ndantc le champ extérieur que donnerait lu li^ne des foyers, dette vibration a un amortissement rigoureusenient nul. (]e nuMne ellipsoïde jouitenc(»redela môme propriété iK)ur toute la série des vibrations harmoniques n = u^k' d'une certaine vibratron principale Mq. Mais pour toutes les vibrations propres dont, le rang n'est pas compris dans la série n^k'j le champ n*cst plus donné par les formules 9^ et 94 ; et la longiieur d*onde n*est plus; une fraction exacte du double de la distance des foyers; Tamortissenient n'est pas nul.
Le fait vraiment curieux, c'est que la valeur de «, pour ces ellipsoïdes peut être aussi fjrande (|uc Ton veut, et que, par conséquent, ces cllipsoûles peuvent différer aussi peu que Ton veut de la sphère. (]ela concorde bien avec lu remarque que nous avons faite au sujet de la distribution des amortissements et des i)ériodes propres- des vibrations des sidières (n" 365).
428> ^ De lu résulte aussi une autre indication : Partant de la vitesse de propagation des fronts d'ondes transverses toujours égale à la vitesse de la lumière, on aurait pu croire, que dans les corps de révolution, la longueur d'ontlc diffère peu d'une fraction exacte de la longueur tolalc de la méridienne. Bien que la considération des fronts iVonde n'ait i^as de rapport direct avec les vibrations proiires, il est curieux de consliiter que la longueur de la méridi<mnc des eHii)soïdc8 presque sphériques peut être incomparablement plus grande que le produit du rang de la vibration i)ar sa longueur d'onde.
Dernière Remarque. — La péiîode et l'amortissement de la vibralion de rang n d'ellipsoïdes homofo(*aux ne varient pas dans un sens toujours le même à mesure que l'ellipUcité dimuiue.
La ])ériode cl l'amortissement sont des fonctions oscillantes de reUiplicité.
Il serait curieux de connaître les ellipsoïdes d'amortissement maximum, ■ ceiix de |»ériode maximum ou minimum; de savoir aussi,
CBinTRB ¥1. — OSC!LLATIONS DANS UN BLLIPSOÏDB DE REVOLUTION 387
li la période -^ est un maximum, uq minimum, ou une période moyenne. Tout cela suppose un ensemble de calculs numériques considérable et coûteux, car cela parait bien difficilement abordable dn seul point de vue analytique.
