s/= .j/'+. r(i — cos MFF) is/-r if— r(i -f- cos MFF

et par conséquent, en désignant par F Tangle MFF',

'1 — 'i — — ^ cos F, jj + T^ = ^ .

380 PROPAGATION DB L'éLBCTRlCiré

L'amplitude de M, et de E, est indépendante de la distance r à rextrcraité ; elle ne dépend que de Tnngle F du rayon vecteur avec le fil lui-même. Pour la force magnétique M^ cette amplitude est

WTt F

proportionnelle à -r- cotg - , infinie le long du fil, nulle dans son prolongement.

Pour la force électrique tangente aux ellipsoïdes E,, l'amplitude

tlTZ F

est proportionnelle à -; cos ; nulle exactement sur le prolongement du fil (F = 7t) elle croît lorsque le rayon vecteur, partant du prolongement du fil, tourne pour se rabattre sur le fil ; le long du fil, elle est maximum, finie. Il semble que cela soit en contradiction avec la condition écrite à la surface du fil ; maisTexamen de la composante E, lève la contradiction.

Cette composante rayonnante E, a en effet une amplitude

2 sm —

en raison inverse de vV, très grande à petite distance du bout du fil, surtout le long du fil lui-même (F = o). La forcé électrique totale reste donc normale à la surface du conducteur, malgré les valeurs finies de E,,.

424. Nécessité d'une secoDde approzimation. — L'ensemble de ces résultats donne déjà une idée d'ensemble de la distribution du champ électromagnétique autour d'une tige rectiligne mince vibrante, avec sa période propre et dans le voisinage de son extrémité. — Toutefois, au conUict mémo de la tige, une certaine réserve est nécessaire. Nous avor l'équation complète

cessaire. Nous avons en effet effacé le dernier terme - — -,, de

dans l'examen du cas limite où % est nul. Mais, ce cas, où le fil est infiniment mince, n'étant pas rigoureusement réalisable, ^> sera

CRAPimi VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLUPSOÏOK DR RlÊVOLUTION 381

seulement très petit. Or les formules que nous avons trouvées pour

les intégrales du cas limite inonlrent que le second facteur ^

est généralement fini, — ce qui permet de négliger ce terme — sauf pour la fonction 8(,Siyiout près de la surface du fil. On a en effet alors

Jli^i) ^ L

qui devient infini pour cr, = o ou 5, = i .

Dans tous les cas réalisables, où la section de la tige vibrante est seulement très petite mais non nulle, % est seulement très petit, et au voisinage immédiat de la tige, la simplification de Téqualion en 8 n'est plus légitime]; il faut conserver Téquation complète, et rintégrale (73) dont nous avons déterminé dans ce chapitre la forme développée. La condition qui détermine les vibrations propres dé[)endant précisément de la fonction 6, la seconde approximation est tout à fait nécessaire, même pour les tiges les plus minces.

426. — Reportons-nous donc à l'équation (88), et dans celle-ci, posons comme seconde approximation

(ici) (i, = ~ -\-rfi\-\-t(i%,

dans le premier terme %, et seulement

dans les termes qui ont déjà en facteur r, et s. Il vient