RÉSISTANCE DTJN CYLINDRE. — ÉLECTRODES DIVERSES
99. — La régularité de toutes les expériences sur les fils cylindriques, sans précautions spéciales pour le mode d'attache, montre qae la distribution uniforme du courant dans la section droite s'établit d'elle même. Ainsi toutes les irrégularités variables avec le mode d attache des fils ne se font sentir qu*à une petite distance des nœuds oa sommets. C'est un résultat expérimental que la théorie mathématique doit aussi nous fournir, en le complétant par une détermination, au moins approchée, de la valeur de ces variations dans divers cas. On peut se donner la distribution des densités de courant dans une section droite d'un fil indéfini et chercher la distribution des potentiels à une distance quelconque. On peut encore se donner deux distributions de densité identiques aux deux extrémités d'un cylindre de longueur finie et chercher la distribution dans une section droite intermédiaire.
Nous prendrons comme coordonnées la distance z, comptée sur Taxe, la distance à l'axe r.
Les conditions à satisfaire sont
AV = o à l'intérieur du cylindre ; dV
àr
= à la surface du cylindre ou 7' = a ;
— '* V "^'^ ^^^ fonction de r donnée, sur Ja base
94 PROPAGATION DB l/sLSCTRICITi
Le changement de variable donne pour la première équation
100. — Supposons, en particulier, que tout est symétrique autour de Taxe du cylindre ; comme q n'intervient pas, l'équation de Laplae« devient
La solution la plus simple, est
indépendante de r ; qui correspond à la distribution de courant, uniforme dans toute la section, à toute distance
On a facilement une infinité d'autres solutions simples de de Laplace : Téquation, en posant
(3) ^ = ^*V ce qui donne
(4) V = R(Ae^-4-Be-^"),
Cette expression est le produit de deux facteurs dont Tun ne dépend que de z et l'autre que de r, ce qui permettra de satisfaire facilement aux conditions à la surface.
R est une fonction de r que nous définirons en substituant l'expression (4) dans Téquation (a) ce qui donne
101. — Ce type d'équation a été étudié par Bessel et leai solutions
CHArmC IT. — llfattTAirCt d'un cylindre. iLICrilODBS DIVBIISKS 95
portent le nom de fonctions de Bessel. Dans Téquaiion (5), R ne dépend qne du produit Xr, et si l'on pose
Xr = Xf on trouve Féquation dont Bessel désigne la solution par Jq :
on aura alors
et par suite
On pent trouver nne solotion de l'équation (6) développée suivant les puissances itaires de x, ce qui donne à l'origine
i = oa donc une valeur maximum que nous prendrons égale à i ; il suffira de multiplier par un facteur numérique à déterminer dans chaque cas.
La fonction J présente des oscillations dont Tamplitude décroit indéfiniment; elle a une infinité de maximum et de minimum, une infinité de racines réelles, dont aucune double, qui tendent à s'espacer d'une manière uniforme.
