CHAPITRE VI cAbLKS. — ÉTAT VARIABLE
124. — Le problème général de la propagation des variations de (totentlel électrique dans les conducteurs est très difficilement abordable ; maïs il se simplifie lorsque le conducteur principal est un fil très long, entouré de très près par un autre conducteur au potentiel zéro, qui sépare le fil de tout autre système électrisé ; Tensemble du fil et de son enveloppe conductrice, uniforme sur des longueurs de plusieurs milliers de fois leurs dimensions transversales, est alors soumis seulement à des influences locales, et n'est exposé à aucune action directe des parties lointaines du circuit. Cet ensemble, fil et son enveloppe conductrice séparés par un isolant solide, qui porte le nom de « câble » se comporte comme ayant une capacité électroitatiqxie déterminée ; c'est ce qu'a admis lord Kelvin dans ses études ^ théoriques sur les câbles, dès i855, au début môme de cette indus- ^We, études qui ont eu une si capitale importance pour le dcveloppc- ^aeot de la télégraphie transatlantique.
^0Q8 commencerons par justifier cette vue au moyen de considéjmkm» empruntées à M. Vaschy (1888), qui montrent que Tapproxi- Imion obtenue est certainement meilleure encore que ne l'indique [lie vue rapide du problème.
ttS. — Considérons donc un état dans lequel — peut être consî-
àX
>^ comme uniforme sur une longueur considérable x du fil. '^letnbe isolant, les équations du problème sont
V =rr — A^;
118 PROPAOàTION DB L'éLBCTRICTI^
sur la surface du fil conducteur, de rayon R, ; sur la surface extérieure de l'isolant, de rayon R^, qui est la surface intérieure de l'armature
V = o; et entre les deux cylindres concentriques
AV :r= o.
On satisfait aux deux dernières conditions en prenant
et à la première en dclcnninant B par rc(]ualion -Ax = B.rlog^',
ce qui donne
log^
126. Forme des surfaces de niveau. — Pour a? = o, V est nul quel que soit r ; la surface d(* uiveau va normalement du câble à Tarmature extérieure.
Les autres surfaces sont données par
elles ont comme méridiennes les courbes indiquées sur la figure 17 ; qui toutes se rapprochent de l'armature e.xlérieure à laquelle elles sont asymptotes.
CBAPITRB VI. — CÂBLK8. ^AT VAllUBLB
Cherchons sous quel angle elles coupent le fil conducteur : on a à la surface du fil conducteur
Ax 1
log
Tangle a <iue fait la langonlc à [la courbe avrc la direction de Taxe
est donné par
'>V „ , R, , rfr 55^;^R;
or
Cette tangente est infinie pour a? = o et décroit avec une extrême
Fig.l7
R rapidité : car le facteur -*- devient très vite excessivement petit :
par exemple, avec R, égal à 3 fois Ri, ce qui donne log ,»• = 1,09
la tangente est de même ordre de grandeur que-*; pour un fil d'un millimètre de diamètre, Tanglc s n*est déjà plus que d*une ou «Jeux minutes à un mètre de distance de l'origine
Les surfaces de niveau partent donc tangenticUemcnt au conducteur à une fraction de degré près. Ce sont sensiblement des cylindres
i20 PROPAGATION DR L'iLBCTRlCmE
parallèles à la fois à Tenveloppe et au cable comme dans le cas d*un cylindre en équilibre électrique au milieu du cylindre qui Fentoore.
127. Capacité.— Dans ces conditions on peut s'attendre à ce qu'il devienne légitime d'introduire la notion de capacité -par unité de longueur, qui était absurde pour un fil placé dans un isolant de grande étendue. En effet la densité à la surface est
^ ' àr
en supposant le pouvoir inducteur spécificjue de Tisolant égal à i . On peut écrire
4~li"!^ = j^ '
ll,l0gj^l
La quantité d'électricité par unité de longueur au point d'abcisst* '• est
.il-' lOg J' 2ll^ lOg 1^^
Il y a une relation do proportionnalité entre la charge et le potentiel, ce qui permet de définir une capacité par la relation
•illMogj^* "'
C'est précisément celle que l'on trouve en électrostatique.
Un point à remarquer c'est que cette valeur est applicable tout le long du cable, y compris le point où le potentiel est égal à celui de l'enveloppe et où la surface du niveau est une section droite.
128. — Donc, dès que le potentiel est devenu linéaire sur des longueurs très grandes par rapport au diamètre, *— ^ petit par
1 à\ rapport à „ , nous pouvons introduire la capacité électrostatique
CHAMTRI VI. — CÂBLBS. ^TAT VARIABLE 121
et nous en servir dans tx)U8 nos raisonnements ; les tout premiers instants sont ainsi seuls exclus. En généralisant le résultat du raisonnement fie M. Vascliy, nous prendrons pour capacité, celle diî problème d'équilibre correspondant môme quand le fil sera evi-eiitré.
L'ensemble des équalions du champ extérieur au fil se résume dès lors dans l'équation de charge superficielle :
s'il n'y a pas de fuites ; en éliminant / entre cette équation et Tocjuation tirée de la loi d'Ohm
I équation de propagation de Télectricité dans le cable est
129. Fuites. — La notion de fuites, si confuse dans le problème général, quand il s'agit d'échanges mal définis entre le conducteur et l'isolant qui l'entoure, fait place, pour les cAbles, à une notion beaucoup plus simple, celle de courants dérivés allant, à travers l'isolant iin[)arfait, du fil conducteur à Tenveloppe qui lui fait face. Dans Télat permanent, et même dans Tétat variable, si l'isolant 71 absorbe pas réleelricité, la densité électrique dans l'isolant, même parcouru par le courant dérivé est nulle, et le problème de la distribution du potentiel reste le môme que précédemment ; la notion de capacité înbslste, et de plus, d'après les considérations générales du n° 86 le courant du fil à l'enveloppe est égale à /r'Cj,V, en appelant toujours C^la capacité géométrique [)ar unité de longueur du fil dans son enveloppe et k la conductibilité de l'isolant.
122 PROPAGATION DB L'éLBCTRICIli
La perte d'inteusité par unité de longueur dans le fil, — ^^., fournit
maintenant à la variation de charge de la surface du fil, C '-y , et au courant dérivé à travers Tisolant A-'C^V, ce qui donne
ai p ^Y
..^^Cll H-A-'CoV,
ou, en employant les unités électromagnétiques de mesure, comme nous le ferons toujours par la suite
ai K p <>V
.c/:; H-A-'CoV
iP est le carré de la vitesse de la lumière dans le vide ; K est le pouvoir inducteur spécifique de Tisolant par rapport au vide.
130. — L'équation du potentiel le long du fil devient alors, en éliminant t, entre cette équation et celle de la loi d'Ohm
Les propriétés de Tisolant sont malheureusement encore plus com» pllquées que celles que nous traduisons en lui attribuant un pouvoir inducteur K et une conductibilité / ' ; mais Fétude expérimentale de Vabsotytion électrique par Tisolant n'ayant encore révélé aucune loi susceptible d'expression mathématicjue, nous ne pouvons nullement en tenir compte dans la théorie.
L'équation :
est la même équation différentielle qu'Ohm avait obtenue. Mais les coefficients d'Ohm avaient une signification toute différente de ceux-ci.
Ici .. C(, est un coefficient de charge superficielle ; tandis que le
CHAPITRI VI. — CABLKS. KTAT VARIABLE ' 123
coefficient correspondant d'Ohm était un coefficient de charge par unité de volume, correspondant à une propriété hyi>othétique du mé • tal au lieu d*une propriété géométrique, dans laquelle n^intervient que K, pouvoir inducteur spécifique du milieu extérieur.
131. — Pour tout phénomène défini par des équations différentielles linéaires, Tinfluence de Tétat initial et celle d'une modification locale peuvent être étudiées séparément ; l'addition des deux solutions convenables, Tune avec modifications locales imposées en fonction du temps, l'autre avec un état initial simple, fournit la solution pour le cas général.
Nous pouvons donc distinguer deux cas types :
l' Etat initial donné en x ; loi du retour à Téquilibre.
2' Etat initial d'équilibre : modification locale donnée en fonction ilu temps ; loi de la propagation.
C'est ce second problème, qui dans le cas des câbles est le plus important.
Ecrivons Véquation sous la forme
/.) représente la conductibilité du câble kr.K^ ;
?, celle de l'isolant kC^ ;
*;. est la capacité du câble ^^ C^,
132. Solutions simples. — Etudions d'abord les solutions simples de la forme
' <'t ^ satisfont à Téquation
yy = Y? -i- 'h doii
124 PROPAGATION DB L'éLBCTRlClTÉ
La vitesse de propagation correspondant à cette solution est
1° Supposons a réel, ? et w le sont aussi et Texpression précédente montre que la vitesse w est réelle ; elle croît avec la conductibilité du cûble ; elle dépend de la valeur de a c'est-à-dire de la forme de la courbe exponentielle au temps o ; elle varie en sens inverse de la capacité y-
2"^ Examinons le cas plus général où a et ^ sont des imaginaires quelconques ; soient
a = a, 4- ta,, P = P, + i>2.
L'équation (3) devient
133. — Cas particuliers : La disparition de Tétat troublé est progressive sans oscillation, si 3^^ est nul, ce qui exige que Tune des deux quantités a^ ou ai soil nulle aussi ; cela arrive si Fétat initial développe dr.ns le sons des x csl purement exponentiel (a, = o) ou s'il est purement oscillatoire (ai =: o).
(a) a, = 0. Examinons d'abord ce dernier cas. Quelle que soit la période en longueur, la solution est donc toujours de la forme
(5) V = A r T cos a,.r.
L'amortissement comprend deux termes :
- ? t Le premier e T dépond du rapport des fuites à la capacité, et il
est indépendant de la longueur d onde.
