CHAPITRE VI. — CABLKS. ÉTAT VARIABLE
de rupture intérieure. M. \Vliit<»lioiise, ayant rru C4)mprendre renoncé, mais n ayant pas du tout compris la théorie, rrut pouvoir rontrr'iler la théorie de lord Kelvin rn employant trois fils couverts iéparéineat de gulta, et placés côte à coU; ! 11 obtint naturellement des résultats imprévus, dont lord Kelvin n*eut pas grand peine à indiquer Torigine.
149. — Les durées de propagation calculées par Lord Kelvin dans les tableaux précédents se rapportent à un câble hypothétique. In des câbles les plus longs qui avaient été posés à cette époque (i856 était celui de Varna à Balaklava. d'une longueur de 4oo milles. Mais il avait été employé, sitôt achevé, et cm avait fait peu de mesures techniques ; or il était néces.saire de calculer pour ce cable le,s coefficients de l'équation; les capjicités étaient bien connues par d»î5 mesures éleclnjstatiques (Lord Kelvin prenait 2 comme pouvoir inducteur spécifique de la giitta- percha^ ; mais dans notre équation entre /*. la conductibilité connue seulement en unités électromagnétiques. Le passage d'un système à Tautre était impossible à celte é[j<)que et Lord Kelvin indique à Stokes à ce propos, qu'il a Tintention de mesurer le rapport des unités (Q^ , ; quelques mois après paraissent les expériences de Weber et Kohlrausch qui déterminent ce rapport et Lord Kelvin en tire aussitôt parti : dans le câble de la mer Xoire la durée théorique do propagation du maximum pour un contact de durée très courte est o%ii7; il en déduit que pour un câble de 2 4"» milles cette durée si?rait de 4%'^ et il en conclut la rapidité de transmission des signaux à travers rAtlanlique, qu'il sera pu>sii)le d'atteindre au moyen des api)areils qu'il avait déjà imaginés, et qui sont encore aujourd'hui parmi les plus surs pour les transmissions lointaines.
150. Potentiel variable à 1 origine. — V„ — / 0- L'intégrale (19;
qui donne, à partir de l'état neutre, l'effet dim contact prolongé
140 PROPAGATION DB L'ÉLBCTRlClTi
depuis t = avec une source au potentiel i, permet de tormer facilement la solution du nouveau problème.
Une variation — ^ d-: du potentiel à l'origine, produite à Fépoque t, ajoute à Teffet de la diffusion de Tétat qui régnait à cette époque -, une variation
dx
{.--(fv/i^t;>)].
si Tétat neutre régnait à Tépoque o, nous aurons à Fépoque t :
qui contient la variable t, à la fois sous le signe d'intégration et en limite de Tintégrale, tant que le potentiel à Torigine n'est pas devenu constant.
En un point quelconque, l'intensité du courant est :
en tenant compte de Texpression (18) de la fonction S.
151. Débit donné à rorigine. — Si nous dérivons Tintégrale (19), par rapport à a?, nous obtenons une nouvelle intégrale, l'équation différentielle étant linéaire :
(") v=i[,--=«(?v1)]~Àv/|--S-
Le potentiel initial dans l'intégrale : 191 était nul partout, sauf pour 0? = ; il en est de même pour Tintégrale obtenue en dérivant par
CHAPITIIK VI. — CÂBLK8. AtàT VAIIIABLB 141
rapport à X. Quant au potentiel à Torigine, il passe brusquement, pour < = o, de zéro à Finfini, pour décroître ensuite suivant la loi
Llntensité du courant
'- <M7* hx
est égale, en vertu de l'équation différentielle à laquelle satisfait la parenthèse, à
ii3)
et la (pantité totale qui a traversé la section a;, de o à t, est
fi4)
^',* = -,[.-,e(fv/ï)].
A 1 origine, en particulier, nous savons donc que la quantité totale émise passe brusquement de o à — va Torigine du temps, et reste ensuite constante. La solution 22^ nous donne donc Teffet de la transmission instantanée d'une quantité — 7 d'électricité, l'origine du fil x = restant ensuite isolée.
Une émission de courant suivant la loi
i = ^{t\ donnera donc un potentiel
Ainsi sont complètement résolus les cas plus importants au point
142 PROPAGATION DIS l'ÉLBCTRICITB
de vue pratique, ceux où Toa se donne la force électromotrice ou IMntensité du courant à Forigine.
Depuis les premiers mémoires de Lord Kelvin, l'étude des mêmes problèmes a été poursuivie par les ingénieurs des télégraphes, en tenant compte des fuites. On trouvera un résume des résultats obtenus dans ie a* volume du Traité d'électricité de M. Vaschy.
152. — Une des questions que Lord Kelvin a examinées est celle de l'influence que peuvent avoir Tun sur Tautre plusieurs fils distincts placés à l'intérieur du môme câble. Si Ton veut envoyer dans une ligne plusieurs dépêches à la fois, faudra t- il prendre plusieurs câbles ou dans le même câble plusieurs fils isolés Tun de Tautro? Ce dernier cas est de beaucoup préférable au point de vue économique, mais au début Lord Kelvin ne croyait pas qu'il fut possible d'assurer suffisamment l'indépendance des fils pour éviter des perturbations ; nous nous contenterons de poser la ((uestion et d'indiquer la forme des solutions.
Supposons que nous ayons deux fils seulement, de conductibilité /.i ^t /.t ' ^'^^ sur une très grande étendue est au potentiel Vi, l'autre au potentiel V,. L'excès d'électricité qui entre sur celle qui sort est :
pour le premier câble /, — 5^ pour le deuxième câble /j — ^
C'est cette quantité d'électricité qui sert à les charger l'un par rapport à l'autre et à l'armature ; nous admettrons que la notion de capacité subsiste encore avec la même valeur qu'en électrostatique. Or, on sait que l'on a
M. :- Y.V. + ru(V, - V,) M, = T.V, + r,.(V. - V,).
CHAPITBI VI. — cXbLBS. ÉTAT VARIABLB i43
Noos aurons par suite ici
Pour intégrer ce système d'équations aux dérivées partielles, multiplions les équations par des constantes a, et a^ et ajoutons ; il vient
On pourra, de deux façons différentes, déterminera, et a, de façon à avoir la même fonction dans les deux membres : il suffit de poser
3) il^J = '^^ ::= 'l
7i^i -^ ïij«i — ïis^i Y2«2 -+- ÏHÛ2 — Tl««l
ce qui donnera une équation du second degré en /; aux deux racines correspondront des équations de la forme
"^ i>a7* fît
équations semblables à celle que nous avons déjà intégrée et où u' et u' sont des combinaisons linéaires de V, et Y^ ; nous n'aurons plus qu'à combiner les intégrales générales de u' et u" pour trouver l'expression de Vj el celle de V,.
153. — Supposons, pour simplifier, les deux câbles identiques et semblablement placés ; alors
144 PROPAGATION DE L^LBCTRICITÉ
En ajoutant et retranchant les équations i^i i nous aurons
X è (V> - V') ^ -^ ^-l (V. - V.) + T.. .^(V. - V,)- Nous aurons des solutions de la forme
154. — Supposons que le fil (2) étant toujours en communication avec le sol aux deux bouts, nous établissions le contact du fil y à Torigine avec une pile et que nous maintenions c^ contact : il suffira dans les équations (5) de prendre la même fonction (19) pour (f et ^' : en effet à l'origine,
Vi -f- Vj prend la valeur 1 pour ^ = et la conserve, V, — V3 prend la valeur 1 pour < = et la conserve.
Par suite Vj prend à Torigine la valeur 1 et la conserve. Vo garde toujours la valeur o. On a donc
Pour que Tindépendance des deux fils soit suffisamment assurée il faut évidemment que y 4- Y12 diffère peu de y; c'est-à-dire que la capacité Yu d'un fil par rapport à l'autre soit négligeable devant sa capacité y par rapport à Tarmature.
On voit, pour ainsi dire intuitivement, qu'il faut pour cela que Fangle sous lequel un fil est vu du centre de l'autre soit une petite fraction de Fangle 2r. sous lequel on voit de ce point Fenveloppe elle-
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CHAPITHK VI. - CAHLK. ÉTAT VAHIABI.fS 1 4*>
même ; cette condition est facile u réaliser on éloignant suffisamment l^s fils l'un do Taulre.
155. — Dans toute cette théorie des cAbles nous avons, avec Lord Kelvin, regardé le phénomène de charge du cAhlc comme étant le plirnomène capital ; c'est ce qu'avait clairement établi Faraday (*) par ses observations do i854 dans la Tamise, quelques mois avant le début des recherches de Lord Kelvin, provoquées par une lettre •le Stokes du lO Octobre i854. On pourrait se demander maintenant dans quelle mesure il est raisonnable de supposer que Tarmature S(î maintient au pot^întiel zéro, tout en se chargeant à sa surface intérieure autant que le fil lui-même. La légitimit*» de cette hypothèse provient évidemment de ce que Tarmature est en communication directe avec Feau de mer qui Fentoure, qui par son étendue indéfinie oppose une résistance incomparablement moindre aux courants que le fil fin de cuivre. Dans un mémoire de 1877 (*), Kirchhoff a amorcé cette élude ; considérant le conducleur cylindrique, l'isolant annulaire et la mer indéfinie tout autour, Kirchhoff a formé les solutions simples de la forme
