BOBINES CYLINDRIQUES. BOBINES SPUÉRIQUES

231. Phénomènes d'induction entre deux bobines ou à l'intérieur d'une bobine. — Considérons un courant circulaire et prenons dans le plan du courant les coordonnées polaires r et a. Soient F, et F^ les composantes du potentiel vecteur F suivant Ox et Oy. L'une quelconque de ces com^josantes satisfait à Téquation

fondamentale

AF, --4^;\ qui (IcviiMil ici

«V-F, I ^^V^ 1 o^Fj <V-F, , .

Pour cr courant, la force électroniotrice est perpendiculaire au

rayon vecteur : on a donc Fj = — F sin a ji = --J sin a

et

Fig.38

F^ = F COS a j\ =j' COS a.

Substituons dans Féquation ( i ) , il vient cVF 1 ùF 1 ., ^ <V^F . .

F peut-èlre une fonction de r et de z ; considérons pour le moment le cas où la bobine est illimitée et oii z n'intervient i)as; Téquation prend la forme connue

1 ôF 1 p , .

CHAPITRB V. — B0BINB8 CYLINDRIQUKS. UOBINBS 8PHKR1QUBS 209

qui a fK)ur intégrale

3 Y ^= ar -^ -—'- l ^ -rjdr -+- -^- / ^Tzjr-dr.

[^ Dans V espace intérieur au ci/lhidre, J ost nul: h est nul car F resie fini ; on a donc

Fo = a^r,

2:^ Dans le conducteur y il faut prendre l'expression 3) complète. 3 - 1 VexténHeur^ j est nul ; a est nul, car F est nul à Tinfini ; d'où

232. — Nous supposerons, comme au chapitro précédent, que j f-st indépendant de r dans ré|)aisseur du conducteur ; alors l'expression 3) devient, en intégrant depuis /'i, rayon interne du ccmducleur,

F = ar -+- ^ — aizjr (r - r^) + ^^ ^^jzil± .

Les conditions de continuité s'écrivent sans difficulté : Sur la surface intérieure

d'oii

F = a,r, = ar, -+- - I ' i

dF fj

On trouve de même i)Our la deuxièmi' surface >\ \ ff -='^'j{r, — r^)

Dans rintérieur de la section la force électroniotriccî varie avec r

210 PROPAGATION DE l'sLBCTRICITS

et il faudra choisir une moyenne. Mais, pour tenir compte de la n^sistance, on sera amené à prendre la moyenne par unité d'angle au lieu de la prendre par unité de surface.

233. Self induction d'une bobine. ~ Il est intéressant d'examiner le cas d'une bobine, c'est-à-dire de supposer le conducteur formé de couches ^conductrices séparées par des cloisons parallèles à la section droite, et des cloisons cylindriques, infiniment minces et très rappmchées. 11 faut alors déterminer pour la tranche comprise entre r et r -h dr^ qui contient un ensemble de ces spires, la force électromotrice totale dans cet ensemble de spires prises bout à bout.

Remarquons que dans ce cas nous nous rapprochons beaucoup de Funiformité de J, si Tépaisseur des spires est la même; car, comme elles sont i)arcourues par le même courant, J ne peut varier que dans la petite é[)aisseurde chacune.

Supposons qu'il y ait n spires par unité de hauteur de la bobine et par unité do longueur suivant le rayon ; dans Fépaisseur dr il y a ndr spires par unité de hauteur ; la longueur totale de ces spires est

2 T.r ndr.

La force électromotrice totale pour cette tranche est

— 2T.rndr — »

àl

ce qui donne pour la force électromotrice par unité de hauteur de la , bobine

— *-2T.n I Frdr,

/ »•/ — n' . I rJ — r/ »•» — r,*i ) '.

CRAriTRI V. — BOBIMIS CYLINDRIQUES. BOBINES SPHéRIQUBS 211

avec

D'autre part, i étant Tintensité du courant dans une spire, on a

j = niy il vient finalement, pour la force élcctromotricc elle*môme

— Li ^ est la force électromotrice induite par toute la bobine indéfinie, sur les spires comprises dans une hauteur 1 comptée sur l'axe.

Si, sans être infinie, la bobine a une très grande longueur A, cette expression reste très appnxrhée. La force électromotrice induite dans toutes les spires est alors sensiblement — ^L, --. //L, est le coofficient de self-induction approché L de la bobine entière, obtenu directement. 11 coïncide avec celui que Ton trouve par la considération (lu flux de force quand on calcule exactement ce dernier.

Mettons en évidence l'épaisseur '>\j — r, et le nond)re total de tours par unité de hauteur de la bobine :

Si Ton passe au cas où Tépaissour est très petite, mais où Von garde le même nombre de spires par unités de hauteur, on a en faisant r, == r^ dans la deuxième parenthèse

OQ, N désignant le nombre total de tours par unité de hauteur,

PROPAGATION DE L ELBCTRICITB

Si la bobine est très longue on a une valeur approchée du coefficient de self-induction en multipliant cette expression par la longueur de la bobine.

234. Bobines concentriques. — Kxaminons maintenant le cas où Ton a plusieui'S bobines, placées concentriquement ; il est inutile de faire de nouveaux calculs : il suffit de superposer on cba(|ue point les effets dus aux diverses bobines : prenons deux bobines de rayons r, et r^, Ri et Rj, de «lensités de couranlj* et J, et dont le nombre de spires par unité de longueur est n et N.

Dans Tcspace intérieur à la première bobine

Fig.39

Fq = 2Tv" (r^ — ri) r -+- arj R^ — Rj r.

Dans la première bobine

F, == 21ZJ (rn - 1 1- - J;^) -H îiirJ (R, - R, r.

Dans Tespnce compris entre les deux bobines

F, = uir; -^''-^ -+- ^'^•l (R. - R.) ^•

Dans la deuxième bobine

Enfin à Texlcrieur des deux bobines

r 3 ,j. 3 1{ 3 Il 3

235. — Si nous voulons avoir la force électroniolricc induite par