n. 2-N '> .^ ''-' l\, — U, . l = MJ
Le coefficient M, de ! est le mémo que relui de i dans la formule précédente.
Le résultat est évidemment applicable approximativement à deux bobines de même longueur axiale 11, très ^'rantle. et donne alors
M -- 2^NIL 2-;i ''•' "■ '^ H, — U, .
La nature d<'s raisonnements ne p(?rmet évidcmmeni pas de sup- [)Oser les l)obine8 d'inégale longueur.
236. Remarque. — La inélhode eni|»loyée a donné les coefficients dïnduction propre L et d'induction mutuelle M sans ainbi- ^'oîté. Pour trouver L, on em|)loie souvent sans précaution suffisante la remarque suivante :
214 FROPAGATION DB L^ELBCTRICITÉ
Le coefficient d'induction propre peut être considéré comme la limite vers laquelle tend le coefficient d'induction mutuelle de deux bobines quand elles se rapprochent indéfiniment, ce qui est exact ; et on passe à la limite sur la formule de M, or M est toujours calculé en supposant que les bobines sont extérieures Tune à Tautre ; et ne permet pas de supposer qu'elles se pénètrent ; de. sorte qu'en faisant R z= r dans M, le coefficient d'induction propre qu'on en déduit est faux.
237. Bobines minces. — Revenons à ces coefficients et prenons le cas où l'épaisseur est petite ; dans ce cas on peut parler sans ambiguité d'un rayon moyen 7\„. Pour une bobine de longueur h le coefficient d'induction propre est sensiblement
Or la quantité entre parentlièses représente la longueur du fil embobiné par unité do hauteur : si X est la longueur totale du fil sur la hauteur h, ce coefficient pourra s'écrire
Ce résultat est d'auUmt plus précis que le rapport -- est plus grand.
De même, on obtient -pour le coefficient d'induction mutuelle de deux bobines de même longueur axiale très grande H, dont la bobine extérieure a pour rayon moyen R,„, pour longueur de fil A, et la bobine intérieure* a pour rayon moyen r,„, et pour longueur de fil X,
^11 II
238. Bobines sphériques. — En coordonnées sphériqucs r, 0> «p, l'équation de chacune des trois composantes Fi, F^, F3 suivant Or, Oy, 0^, devient
d=^F 2 ôF 1 d*F . 1 d^F cos e c>F
z n: ~^' ,.:» «:.»•» lï
,v-- '^ r i»' )•- siii - .15* ^ >•-• i>e- ^ ;•» sin 6 dO
CHAPITRI ▼. BOBINES CYLIMDRIQUBS. BOBINBS SPHéRIQUBS 215
Supposons que le courant soit circulaire autour de Taxe polaire, et que sa densité soit proportionnelle h sin et fonction quelconque de r, mais non de o.
/ j\ = ff sin 0. cos o,
! Ji = — ff î^in 0. sin ©,
Les trois équations en F peuvent alors être réduites à une seule, en adoptant la même répartition
F| = Ci sin 6 cos -?, F, = — (i sin sin ^p, F3 = o
qui donne un potentiel G sin au point r, 0, ^^ .
G ne dépendant plus que de r est déterminé par Téquation
d*G 2 Mi 2 ., ,
àr* r dr t* ^^
Dans l'espace isolant intérieur à une sphère de rayon ri, l'intégrale est
Go = ar.
Dans rintervalle conducteur entre deux sphères de rayons /*, et r„ où le courant g^ est connu, Tintégrale continue avec la précédente est
et si ^ est constante, comme nous le supposerons dans la suite,
G| = ar -r ^ ^, — j-^—Q y ^ {r - rj.
Enfin dans l'espace isolant extérieur
216 PROPAGATION PB L*ÉLBCTIIICITé
Les conditions de continuilé de G et de *^ ' à travers les sphères r. et r^ donnent
D'où finalement
239. — Celte distribution de densilos de courant est réalisable en embobinant entre les doux sphères un fil (de grosseur variable avec 6, s'il doit remplir exactement tout Tintervalh*' parcouru par un œurant uniforme, dont le nombre de tours n h travers un centimètre carré de sectitm mc^ridienne est proportionnel à sin :
« = N sin 6.
Doii
7ii = 2si sin
(]et enroulement met un nombre de tours constant dans chaque tranche d'épaisseur i com[)tée suivant Taxe polaire ; c'est Tenroulement connu do la bobine splu^rifiue à cham|) magnétique intérieur constant; mais dans ce cas il ne remplit pas tout Tespcice compris entre les deux sphères.
Comme reiiroul(»ment se fait nécessairi^ment avec un fil de diamètre constant, nous supposons ])0ur la suite (pie le fil laisse des interstices de plus en plus grands en approchant des piMes ; il est évident que les conclusions ne seront compatibles qu'avec de petites épjiissenrs r. — >•,.
CHAPITRI ▼. — BOBINB8 CYLINDRIQUES. BOBINES SPBÉBIQUBS 217
On obtiendra la force éloclroniotric<» totale par Tintôgralc E =: — -, / / n sin 0. •;• r,r sin 0. NsinO. rdrclfi
dont rolénient est le |)n)diiit de trois facteurs : le potentiel par unité «le longueur du fil, G sln 6 ; la longueur d'un tour de fil airr sin 6, et 1»* nombre de tours de fil (U* 1 eléinonl de surface correspondant, \ sin rdrd^.
Effectuons les quadratures, il vient
E == N ^-;. \. >r. ^ .Nf-V 'VV + -^V L . L ^' àt S J I 10 'X :> J iV
en [losant
Le nombre total N de tours de fil est X (;•/ -— >'i-)- La longueur totale du fil est
On a donc
X = ttX -^ - • = rX '-.^- -« :r^ -t- >v, 4- r-^).
ce qui, dans le cas d'une épaisseur 1res petite, se réduit h
«•Il d(?signant par r,„ et i,„, deux rayons moyens, dont l'expression analytique est un peu différente.
240. Deux bobines sphériques concentriques. — Notant I»ar un accent la quantité //' qui définit la densité de courant dans la
218 PROPAGATION DB L*ÉLBCTRlCITâ
sphère extérieure, de rayons r/, )\\ on a, dans les cinq domaines o, a, 4 isolants, i, 3, conducteurs, par simple addition des termes qui proviennent des deux sphères :
G* = Ç [^\ - '-i ff-^ Ç "V - n'j g'.
^*-'3" """p—^^ 3 4r^ ^' Posant
nous obtenons facilement le coefficient d'induction mutuelle des deux bobines,
M =. 1 / Y !)•/ — r/; X' sin 0. 27rr sin 6. N sin 0. rdrrfe
ou
ou en api)elant N' le nombre total de tours de la bobine extérieure, et X la longueur de fil enroulé sur la bobine intérieure
formule exacte, quelles que soient les é[)aisseurs des deux sphères, pourvu que Tenroulement soit conforme à la théorie [n = N sin 6], La simplicité de ces formules exactes pour L et M montre qu*il y aurait avantage à construire les étalons sous cette forme sphérique ; Teuroulement théorique est facile à réaliser sous faible épaisseur.
CIIAPITRK VI DISTRIBUTIOxN SPONTANKK DV COLIIANT
241. — Au lieu de nous donner la distribution de J dans Tespace d(»nnons nous la loi de F dans le temps :
Soit un conducteur plan parcouru par un courant dans le sens
perpendiculaire au plan de la ligure, et compris entre deux isolants.
On a toujours
AF = - i^J,
La force électromotrice résultant de l'induction
oF.
nous supposerons qu'il n'y a pas d'autre force électromotriciî.
Alors
àt
et par suite
