AF

Itemarquons que nous n'avons pas ici à nous préoccuper de l'isolant, car la force électromotric^' étant parallèle à la surface de séparation, il n'y a pas de charges superficielles.

F Dc dépend que de x, de sorte que l'équation aa) su réduit à

àX' fit

220 PROPAGATION OB l'ÉLBCTRICITÂ

242. — Sup])osoiis «l'abord quo la dôcroissaiicc se fait sans oscillations. F est donne \mv une exponentielle décroissiinte de la forme

on devra avoir

Ye-"

La solution est de la forme

F = (a sin X V/4-/.0 -h B cos x V^4^) e~ ^^•

Il n'y a pas de facteur exponentiel on .v; il n'y a par conséquent pas de localisation superficielh* du courant dans le conducteur; la force électrique est parallèle à la surface du conducteur, quc^lle que soit la rapidité de la variation daus le temps.

A Textérieur, — (dans la théori(% que nous développons actuellement, et pratiquement lorsque la variation n'est pas trop rapide^ réquation est

AF = o

dans Visolant, ce qui donne comme solution, à cause de la continuité d(» F et de sa dérivée normale, à la surface de séparation a: = o,

puisque F ne peut dépendre que de v et de /.

oF On éviterait Taccroisscment indéfini de F et de , avec la dis-

tance œ au plan limite, en supposant A nul. ce qui mettrait le maximum de la force électromolrice et du counmL dans le plan .?• ^= o et dans les plans .r :-^ — r. — 'it., — ?,::, etc. Mais ce serait une solution illusoire tle la difficulté, car elh» reparaîtrait pour la seconde face d'une lame conductrice dont l'épaisseur ne soit pas un multiple

'Ww>

Los données du problème, avec l'extension indéfinie de la lame

CHAPITRB VI. DISTRIBU riO>l SPOXTÀMBK Dl) COUR A HT 221

dans los deux sens, laissant le courant ouvert, m\ nous pcrmeltcnt I>.i< il'aclu'vor la déterminai ion ; i*' (lui se passe à l'infini resie «MKore susceptible de conventions indéiHîndanles.

243. — Considérons inaintennni le <*as nii F est périodique, et j»r«'nons

réquatiun devient

dont rîntéjindo

X = (A -r Mi) e ''''"'' \ '^'

; :-- (A -h HO e ' ' N' '*' •tonne on prenant les t<*rine> réels

L'impossibilité d'un coiu^ant indéfiniment croissant avec la distance, nous oblige à ne prendre que les termes de la seconde ligne si le rondu<:teur s'étend indéfiniment du coté des v positifs. Cela, indéi)en- (lauiment de toute considération du champ extérieur qui conduirait auv mêmes difficultés lointaines dans l'espace, que le cas précédent. Le courant péricxlique se lo«'alise donc au voisina;:e de la surface du ronducteur; mais la force électriiiue est encore [mrallèle à la surface du conducteur, quelque court*' (juc soit la période T.

244. — La conclusion apparaîtra avec plus de force encore si nous considcrons une plaque d'épaisseur limitée i//, de part et d'autre du

222 PROPAGATION DK L*ÉLBGTRlCITé

plan X = o. Dans ce cas, si le champ lointain et inconnu ne s*y oppose pas, la distribution doit (^tre 8>Tnélrique par rapport au plan médian, ce qui donne

F = cos -^- X

et dès que la période T est un peu courte eu égard à l'épaisseur, lexposant ù la surface*

rend les parenthèses énormes par rapport à leur valeur au mUieu.

Ex. : Cuivre ^- = -^ (C. G.S.) T; = ^*; h =^ i'"' ; 1 600 ^ ^ * 800 *

les parenthèses valent zt 23 environ, à la surface: au milieu, leurs valeurs sont 1 et 0.

245. — Le cylindre indéfini conduit à des conclusions analogues. Dans le cylindre conducteur, Féiiuatiou est

et (toujours dans Tétat actuel de notre théorie) elle se réduit à

dans risolant.

1*» Le courant décroît exponentiellement.

F = Re-^

d'où

àr^ r or ^

CaAPlTRB VI. — DISTRIBUTION SPONTÀNés DU COURAKT 223

dont rinU'gralc finie à Tôriginc est (L. U. Cli. V)

L'allure générale de la fonction de Bessel Jq, est alternante, maximum pour r = o, au centre du fil ; en prenant cette valeur centrale pour unité, les autres maximum de plus en plus rapprochés de la surface sont de plus en plus petits ; mais leur décroissance se ralentit de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne de Taxe (fig. 12. p. 96). Le i' maximum est 0,22 ; le 16" 0,11 ; le 5o' o,o63.

Le premier changement de signe se produit pour la valeur 2^0 ; le second pour 5,52, le 3* pour 8,65, le 4' pour 1 1 ,79, etc. Suivant la rapidité de chute de la force électromotrice, et le diamètre du fil, celui-ci peut donc être parcouru à ses différentes profondeurs par des courauts alternativement de sens contraire ; le courant superficiel peut d'ailleurs être de même sens que le courant total, ou de sens opijosé.

k = .\ . Soit e = ^^

Ua seul sens de courant. Zone extérieure inverse de la Z4*>ne centrale. Zùne extérieure de môme sens que la zone centrale, avec une zone intermédiaire opposée.

246. — L'intérieur du conducteur étant tout entier à distance finie, la répartition du courant y est déterminée indépendamment du champ extérieur. Celui-ci, 'dans les conditions de notre théorie) est donné par

F = (ciog(^)4-D)e-^«

avec

Ex. :

Cuivre

8/Ki

l)r.-J„(Rv/4^R0) et

Même difficulté à Tinfini que pour la lame plane.

PROPAGATION DE L'ÉLBGTRICITé

247. — Le cas où la force électromotrice est périodique a fait l'objet crétudes numériques approfondies à cause de son importance industrielle, et il est bien connu. Remplaçant

l)ar

ait .

nous obtenons pour la solution

R = Jo('-

8r.'Ai

Les deux fonctions X, Y <le la variable

.r...rry/^'

ont été étudiées et calcuUfes numériquement par les soins de

Fi^ 4-1

TAssociation Britannique. Toutes deux croissent extrêmement vite en valeur absolue avec .r, aprrs avoir changé de signe une seule fois. La figure 4^ indique leur allure.