AB , A

e log -.- -h e log .

en négligeant seulement des quantités finies, provenant de la petite différence e' — e, et de la courbure du segment.

< Le choix des longueurs AB, AC est arbitraire ; il faut seulement qu'elles soient finies par rapport à la longueur totale du fil : on les prendra toutes deux égales à la moitié de la longueur totale l du fil ; l'équation (1) deviendra

V = ne lop — ^ -H 2e log -Y

V = îie log

< Des considérations du même genre donnent à Téquation (2) une forme semblable

w = i log - . ») (*)

254. — On comprend que ces quelques mots aient soulevé des objections. Au fond, le segment AC doit être roctiligne comme Télément 2/. ; la charge et le courant i doivent y être uniformes sensiliiement comme dans 1 élément 2/. ; absolument rien ne permet de lui donner une longueur finie, comparable à la longueur totale du fil. si la charge et le courant y éprouvent d'un bout à l'autre dos variations relatives finies. Quand, donc, on voit étudier, quelques pages plus loin, la propagation dos discoîitinuités, sur une équation ainsi

I») Les notations ne sont pas identiques à ceUes de Kirchhoff. Voir cidestni.

232 PROPAGATION DK L^KLECTRIClTé

formée, il est impossible d'admettre que les résultats énoncés soient une conséquence, même grossièrement approchée, des principes adoptés au début du mémoire.

266. — Passons outre, pour ne pas interrompre Fanalyse du Mémoire de Kirchhoff, en nous réservant de revenir sur cette discussion.

Les quatre équations sont ainsi réduites à la forme simple

en posant

r \ds if àt /

L'élimination de trois des quantités, e, i, to, par exemple, se fait sans difficulté et donne pour V Téquation aux dérivées partielles

avec

tt* dt*

lit' ^

aV àt

fa* '

266. — Kirchhoff commence par remarquer que pour les fils métalliques des longueurs usuelles dans les laboratoires, le second terme est négligeable. Prenant pour exemple Tétalon de résistance étudié par Jacobi et par Weber, il trouve pour le coefficient -,- un nombre de Tordre de lo-' : ÛZ quand on mesure le temps en secondes.

Si donc on néglige tout à fait ce terme, le potentiel V se propage sensiblement avec la vitesse de la lumière le U long du lil, sans

CHArimB VII. — rROPAOATION AVEC CAPACITK ET INDICTION 233

amortissement. En particulier, une «liscontinuilï», coniîno celle qu'on pro<luil en introduisant ou supprimant brusquement une pile, circule indéfiniment le long du fil avec la vitesse û (en admettant qu'il y ait un moyen de rendre insensible la durée d'introduction ou <le suppression de la pile, par comparaison avec la durée de parcours total du circuit avec la vitesse de la lumière).

257. — Cette première approximation, qui nous montre qu'un circuit de quelques kilomètres peut être parcouru un grand nombre (le fois par Tonde électrique sans affaiblissement sensible, ne suffit pas; car plusieurs milliers de tours ne font encore que quelques centièmes de seconde. L'amortissement le plus minime, qui ne réagit pas sur la vitesse de propagation, suffit h tout éteindre en un temps à peine appréciable». Poussons donc l'approximation plus loin.

Une solution simple est

aver D'où

et approximativement

l — h± ini}

hr en négligeant ^2^^ •

La solution simple, mise sous forme réelle, est alors V = Ae-''^-osn(5±:On.

(lont ramortissement est indépendant de \dL pulsation n (^;.

258. —On peut donc ajouter des états périodiques d'amplitude et

Cl Le rôle industriel de plus en plus important des courants alternatifs a conduit à des dénominations conventionnelles acceptées des électriciens. La itrJriode étant T, la fréquence est »,, et la pulsation est ^p .

234 PROPAGATION DK l'ÉLBGTHICITÉ

de période quelconque, et prendre comme solution générale approxi^ ^ mative

/, et /i étant deux fonctions arbitraires.

Les deux ondes se propagent en sens inverse, avec la même vitesse D, en conservant leur forme, mais avec un amortissement commun à toute Fonde.

Des équations i, 2, 3, 4 simplifiées on tire facilement pour / Texpression

( ?^e-'"r/;(,-ûo-r,(*+û/)]

I + ï^ •■* / [^' (* - "') + A (» + û<}] ds

dont la seconde lif:ne est négligeable ù cause du facteur /r.

259. Réflexion aux bouts du fll. — Dans un circuit non fermé, si l'extrémité du f\\ s = o est isolée, Tintensité y est nulle : on a donc

Tintensité s'y réfléchit en changeant de signe, et le potentiel sans changer de signe.

Si l'extrémité est en communication avec le sol, ou pratiquement avec une capacité telle que ses variations de potentiel soient négligeables, on a au contraire

c'est le potentiel qui change de signe en se réfléchissant et Tintensité qui n'en change pas.

260. Examinons, h titre dMUustration, la propagation des discon> tinuités.

CBAPITRB VII. — PROPAGATION AVBC CAPACITÉ BT INDUCTlOIC 235

1* Circuit fermé, de longueur L Etat initial, courant permanent :

On supprime instantanément la pile. Discutant directement, sans pasï^r^oomme KirchhoU, par Tintermédiaire de la série de Fourier de période / ; nous avons d'après l'état initial

d'où

et par conséquent

/•, is - û/) = ? (- 5 H- 0^ -+. j?? ) o<s--Qt<l

h (* -+- ÛO = j (- « - Ci^ — gg) o < * 4- li/ < /.

Aussitôt que la pile est supprimée, le potentiel et l'intensité deviennent les mêmes aux deux bouts o, l du circuit, et Ton a, quelque

soit/,

/; et /i ont donc séparément la période ^ et sont complètement déterminés, puisqu'ils le sont déjà dans une période.

261. — Dans l'état initial, chacune de ces fonctions a une discon-

tinnité - à l'origine. Cette discontinuité - se propage symétrique-

230 PROPAGATION DE L*KLKCTRICITB

mont à flroite cl à ^aiic4ic de rorij^ine, en s*nllénuant dans \o rapport e"'*^ Au demi-parcours, à lepo<pic -rr, les deux discontinuités se rencontrent et s ajoutent un instant ; la discontinuité totale est à

ce moment Ee ^iî Après un tour entier, elles se rencontrent de nouveau à l'origine,

mais leur somme a encore diminué, elle n'est plus queEe" ^^ ; etc.

A un moment quelconque lés discontinuités séparent le circuit en deux parties dans chacune desquelles le courant est constant, et le potentiel est linéaire en s: mais Tune des parties est en avance d'une demie période sur Taulre.

Pondant la première période, par exemple, dans tout res]>ace .^, non atteint par la disrontinuiUS

1 intensité est encore ^r , et le potentiel — Es, Dans Tespace symétrique

qui n'a encon» été atteint que par une des ondes, on a

^- -'[(-'-£)-(-*'"* ni) «-'■') '■-;"[-(— iS)-(— "'-£)•-'■]

262. — Sans entrer dans plus de détails à ce sujet, on suit bien la marche du phénomène en se représentant la progression inverse et Taf faissement sinudtanédesdeuxdroites horizontales, avec le sautbniscjue en marche crcscîdier, pour le potentiel, et la progression des droites de mémo pente avec le ressaut en talus de rempart pour Tintcnsité.

II n'est pas plus difficile de suivre les modifications progressives lo long d'un fil télégrapliicino aux extrémités duquel se produisent des réflexions d'intonsité sans chaiigiMnent do signe.

Sans insister davantage, on voit, dans les cas où nous pourrons justifier les simplifications aventureuses de Kirchhoff, comment