CHAPITRE VI L'enseignement des mathématiques

Au point de vue de leur rôle éducateur, on peut classer les sciences de la façon suivante :

1^ Les sciences naturelles, qui exercent Tesprit d'observation ;

2° Les sciences physiques et chimiques qui exercent à la fois l'esprit d'observation et le jugement;

3*^ Les sciences mathématiques, qui sont considérées comme des sciences exclusivement de raisonnement, mais que nous montrerons être expérimentales et devant être apprises d'abord d'une façon expérimentale.

L'enseignement des mathématiques est très développé chezlous les peuples latins. Ce sont les connaissances qui exercent chez eux le plus de prestige. Elles constituent le moyen de sélection employé pour recruter les candidats des grandes écoles. Les programmes d'admission à l'École Polytechnique ou à l'Ecole Centrale, roulent presque exclusivement sur les mathématiques, et l'enseignement y est surtout mathématique. Les démonstrations au tableau y remplacent entièrement les expériences.

ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES

Ce n'est pas ici le lieu de rechercher si l'aptitude aux mathématiques constitue une supériorité transcendante, comme pourraient le faire croire les pro-grammes d'admission aux grandes écoles. On montrerait aisément que c'est une faculté analogue à toute autre disposition pour un art ou une science quelconques.

Prétendre que le développement de l'enseignement des mathématiques, tel qu'il est donné par nos grandes écoles, fortifie le raisonnement et développe le jugement, constitue une assertion illusoire. Cet avis est, du reste, celui des savants qui sont le mieux à même de connaître les élèves adonnés presque exclusivement à ces études. Voici, par exemple^ comment s'est exprimé M. Buquet, directeur de l'École Centrale, devant la Commission d'enquête :

C'est par les mathématiques élémentaires, par la géométrie, que les élèves se rendent compte des choses, raisonnent. Quand on s'enfonce plus avant dans les mathématiques spéciales, on arrive à une certaine gymnastique de chiffres, de lettres et de formules, qui ne forme pas beaucoup l'intelligence, et pas du tout le jugement quand ils ne sont pas suivis d'explications qu'on devrait donner et qu'à mon avis on ne donne pas assez^ ou précédés d'études approfondies^.

Les mathématiques peuvent développer le goût des raisonnements subtils, mais il est fort douteux qu'elles exercent le jugement. Les mathématiciens les plus émin^ts ne savent souvent pas se conduire dans la vie et sont embarrassés parles choses les plus simples» Napoléon le constata quand il eut fait de Laplace, le plus illustre mathématicien de son temps, un administrateur. Voici comment il raconte lui-même l'aven* ture :

1. Enquête, t. II, p. 503. Buquet, directeur de l'École Centrale.

Géomètre de premier rang, Laplace ne tarda pas à se montrer adminislratour plus que médiocre. Dès son premier travail, nous reconnûmes que nous nous étions trompé. Laplace ne saisissait aucune question sous son véritable point de vue ; il cherchait des subtilités partout, n'avait que des idées problématiques et portait enfin l'esprit des infiniment petits jusque dans l'administration*.

Ce fut, on le sait, à un des plus célèbres mathématiciens modernes, qu'un facétieux escroc vendit, pendant plusieurs années, des autographes fabriqués de toutes pièces, de divers savants illustres, autographes qui furent d'ailleurs reproduits dans les comptes rendus de TAcadémie des sciences. Parmi les documents ainsi achetés par le candide mathématicien, il y en avait, paraît-il, de Cléopâtre et de Jésus- Christ! On peut raisonner parfaitement sur les quantités toujours très simples qui entrent dans une équation et ne rien comprendre à Tenchaînement des phénomènes.

Les mathématiques constituent une langue dont la connaissance ne développe pas plus l'intelligence que celle des autres langues. Un idiome ne s'apprend pas pour exercer l'intelligence, mais uniquement parce qu'il est utile à connaître. Or l'habitude d'écrire les choses les plus simples en langage mathématique est tellement répandue aujourd'hui qu'il y a nécessité pour les élèves d'apprendre ce langage, tout comme ils seraient obligés d'apprendre le japonais ou le sanscrit si tous les livres de sciences étaient écrits dans ces langues.

Le seul point important est de savoir comment on peut arriver rapidement à comprendre puis à parler la langue spéciale des mathématiciens. Les débuts

1. Cité parA.Rebierre, Mathématiques et Mathématiciens, 2» édition, p. 185.

ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES

seuls (le cette étude, comme ceux de toutes les langues, sont difficiles.

Il faut la commencer dès Tenfance, en même temps que la lecture et l'écriture, mais d'une façon diamétralement opposée à celle qui s'emploie aujourd'hui.

Elle doit s'enseigner par l'expérience, en substituant aux raisonnements effectués sur des symboles, Tobservation directe de quantités qu'on peut voir et toucher. Ce qui rend si difficile l'instruction mathématique pour l'enfant, c'est l'indéracinable habitude latine de toujours commencer par l'abstrait sans passer d'abord par le concret.

Si l'ignorance de la psychologie infantile était moins universelle et moins profonde, tous les pédagogues sauraient que l'enfant ne peut comprendre les définitions abstraites de grammaire, d'arithm.étique ou de géométrie, et qu'il les récite comme il le ferait pour les mots d'une langue inconnue. Seul le concret lui est* accessible. Quand les cas concrets se seront suffisamment multipliés, c'est son inconscient qui se chargera d'en dégager les généralités abstraites.

Donc les mathématiques doivent, à leur début surtout, s'enseigner expérimentalement, car, contrairement à l'idée courante, ce sont des sciences expérimentales. C'est une opinion que j'ai été heureux de voir défendre par un illustre mathématicien, M. Laisant :

Je considère, dit-il, que toutes les sciences sans exception sont expérimentales au moins dans une certaine mesure. En dépit de certaines doctrines qui ont voulu faire des sciences mathématiques une suite d'opérations de pure logique reposant sur des idées pures, il est permis d'affirmer qu'en mathématiques aussi bien que dans tous les autres domaines scientifiques, il n'existe pas une notion, pas une idée qui pourrait pénétrer dans notre cerveau sans la contemplation préalabic

PSYCHOLOGIE DE l'ÉDLCATION

du monde extérieur et des faits que ce monde présente à notre observation *.

Joignant l'exemple à la théorie, M. Laisant montre comment on peut, avec la règle, le compas, quelques morceaux de carton et du papier quadrillé, apprendre expérimentalement à un enfant une partie de l'algèbre, y compris les quantités négatives et une foule de connaissances géométriques, telles que Téquivalence du parallélogramme et du rectangle de même base et de même hauteur, l'aire du triangle, le carré de l'hypoténuse, etc. J'ajouterai qu'avec un ruban gradué et un cylindre, on peut lui faire trouver tout seul le rapport du diamètre à la circonférence et bien d'autres choses encore.

M. Duclaux, membre de l'Académie des sciences, a traité le même sujet dans un mémoire sur l'enseignement des mathématiques 2 et arrive à des conclusions analogues.

Ce savant pense, comme M. Laisant et nous-même, que c'est dès la plus tendre enfance, c'est-à-dire à l'âge où se créent certaines habitudes d'esprit, qu'il faut commencer l'étude des mathématiques, de la géométrie notamment. Il s'est rencontré avec le célèbre philosophe Schopenhauer, sur les dangers pédagogiques de la géométrie d'Euclide, livre que 2.000 ans de vénération respectueuse ont auréolé d'une autorité presque divine dans l'enseignement, et qui n'a guère réussi qu'à infuser chez des milliers d'êtres l'horreur intense de la géométrie. Voici comment s'exprime Schopenhauer :

Nous sommes certainement forcés de reconnaître, en vertu

1. Laisant, examinateur à l'École Polytechnique. L'Instruction mathéma^ tique, Revue Scientifique, 1899, p. 35*^