Revue Scientifique, 1899, p

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du principe de contradiction, que cequ'Euclide démontre est bien tei qu'il le démontre ; mais nous n'apprenons pas pourquoi il en est ainsi. Aussi éprouve-t-on presque le même sentiment de malaise qu'on éprouve après avoir assisté à des tours d'escamotage, auxquels, en effet, la plupart des démonstrations d'Euclide ressemblent étonnamment. Presque toujours, chez lui, la vérité s'introduit par la petite porte dérobée, car elle résulte, par accident, de quelque circonstance accessoire; dans certains cas la preuve par l'absurde ferme successivement toutes les portes, et n'en laisse ouverte qu'une seule, par laquelle nous sommes contraints de passer, pour ce seul motif. Dans d'autres, comme dans le théorème de Pythagore, on tire des lignes, on ne sait pas pour quelle raison ; on s'aperçoit, plus tard, que c'étaient des nœuds coulants qui se serrent à l'improviste, pour surprendre le consentement du curieux qui cherchait à s'instruire ; celui-ci, tout saisi, est obligé d'admettre une chose dont la conlexture intime lui est encore parfaitement incomprise, et cela à tel point qu'il pourra étudier l'Euclide entier sans avoir une compréhension effective des relations de l'espace; à leur place, il aura seulement appris par cœur quelques-uns de leurs résultats... A nos yeux, la méthode d'Euclide n'est qu'une brillante absurdité ^

M. Duclaux qualifie très justement Touvrage d'Euclide de livre « terriblement ennuyeux, méticuleux, pédant et qui subtilise surtout». Il montre Tabsurdité de vouloir démontrer des vérités qu'on saisit par intuition, telles par exemple celle-ci : un côté quelconque d'un triangle est plus petit que la somme des deux autres — proposition connue du plus humble caniche, qui sait fort bien que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre. Pourquoi vouloir démontrer à l'enfant que deux circonférences de même rayon sont égales? L'élève s'apercevra parfaitement tout seul que si après avoir tracé une circonférence avec son compas ouvert, il en fait une seconde sans changer l'écartement du compas, il tracera la même courbe que la première fois. « Rien

1. Le monde comme volonté et comme représentation, t. î, p. 76.

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n'est plus pitoyable, conclut M. Duclaux, que renseignement de la géométrie. Voici plus de trente ans que je fais passer des examens du baccalauréat et que je constate cette décadence. Je ne crois pas qu'il y ait en ce moment plus d'un élève sur \ingt qui ait le sentiment net de la méthode euclidienne. C'est bien la peine de Tavoir suivie, et vraiment je crois que l'enseignement secondaire ferait bien d'y renoncer. »

Peu d'auteurs ont tenté de présenter les mathématiques sous forme concrète, ou du moins de n'arriver à l'abstrait qu'après être passé par le concret Il faudrait, il est vrai, avoir presque du génie pour réussir à écrire un livre qui conduirait l'élève par des méthodes expérimentales de l'enseignement primaire jusqu'au calcul infinitésimal. Un tel ouvrage n'ayant aucune chance d'être adopté dans les écoles ne sera certainement jamais écrit.

Pour qu'il puisse l'être, les pédagogues devraient d'abord essayer de se faire une idée de la psychologie de l'enfant, qu'ils ne soupçonnent guère, à en juger par lueurs méthodes d'enseignement. Seulement alors ils pourraient comprendre l'absurdité de commencer l'enseignement de toutes choses, langues, mathématiques, etc., par l'apprentissage mnémonique de règles et de symboles abstraits, alors que l'intelligence de l'enfant — et sur ce point beaucoup d'hommes restent longtemps enfants — ne peut saisir que le concret. -

Le principe général de tout ce qui précède : donner la notion expérimentale des choses avant d'expliquer les transformations de leurs symboles, ne s'applique

1. Je ne vois que quatre auteurs à citer. Macé pour Tarithmélique, Clairaut pour la géométrie, Lagout, ingénieur en chef des Ponis et Ciiaussces, pour l'algèbre et la géométrie, et Laisant pour l'enseignement général des mathématiques.

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pas seulement à renseignement primaire des mathématiques, mais bien à l'enseignement secondaire et même supérieur. Il existe une méthode, la méthode graphique, qui a transformé Tart de l'ingénieur et qui permet de représenter les diverses phases des phénomènes, les variations des grandeurs, et révèle, tout aussi bien aux mathématiciens qu'aux élèves, les, relations voilées sous les symboles.

Une grandeur quelconque, force, poids, durée, température, etc., peut s'exprimer soit par des chiffres ou des lettres équivalentes, soit par des lignes. L'expression par des chiffres ou des lettres représente les méthodes numérique et algébrique, l'expression par des lignes, la méthode graphique. Quand il s'agit de traduire, et surtout de comparer les rapports et les changements de grandeurs variables, la seconde est à la première ce que serait la carte d'un fleuve à la description en langage ordinaire des sinuosités de ce fleuve.

Rien n'est plus facile que d'amener un jeune élève à comprendre par la méthode graphique les principes fondamentaux de la géométrie analytique, qui ne fait que traduire les relations existant entre les coordonnées d'une courbe. On montre très facilement, d'une façon expérimentale, qu'une courbe quelconque est graphiquement déterminée quand on connaît la distance de plusieurs de ses points à deux axes fixes, perpendiculaires l'un à l'autre. Il sera bien aisé ensuite de faire saisir que le géomètre, Tastronome, le géographe, l'architecte, n'emploient pas d'autre méthode que ce procédé graphique pour déterminer sur la carte la position d'un point quelconque. 11 suffit de montrer expérimentalement que

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la position d'une partie quelconque d'un objet est déterminée sur un plan quand on connaît ses distances horizontales et verticales à ce plan. On explique alors à Télève que le nom seul de ces deux longueurs, dites coordonnées, varie suivant les choses auxquelles on les applique. En géographie, les deux coordonnées d'un point s'appellent longitude et latitude; en astronomie, ascension droite et déclinaison; en géométrie analytique, abscisse et ordonnée. Sous des noms différents, c'est exactement la même chose.

Si rélève arrive en réfléchissant, à voir qu'avec l'emploi de deux coordonnées on ne donne que deux des dimensions d'un même objet, c'est-à-dire la longueur et la largeur, mais non son épaisseur, il sera bien simple de lui montrer expérimentalement que la troisième dimension des corps, la hauteur d'une montagne par exemple, peut être représentée également par la méthode graphique. Il suffira de lui indiquer avec un verre d'eau et un corps solide quelconque plus ou moins immergé comment se construisent les courbes dites d'égal niveau, avec lesquelles sont fabriqués les plans en relief et qu'un enfant peut apprendre facilement à construire.

Les équations et les formules par lesquelles les mathématiciens expriment les relations entre les diverses grandeurs, constituent un mode de raisonnement très abrégé", très utile à connaître, mais qui présente, surtout au début de renseignement, Tinconvénient de faire perdre de vue la nature des faits sous les transformations des signes qui les représentent.

Les résultats de là méthode graphique sont fort différents. Elle donne aux grandeurs des valeurs figurées, dont l'aspect est frappant, et dont il est

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facile de saisir les relations, alors même que ces relations ne pourraient être traduites que par des équations d'une complexité extrême. Sans doute de telles lignes sont, elles aussi, des symboles, mais ces symboles figurés ont une clarté que les chiffres ou les lettres ne sauraient offrir à l'esprit^

Appliquée à la recherche des relations des diverses grandeurs entre elles, la méthode graphique possède sur l'expression algébrique ^t numérique une supériorité incontestable, et il serait fort utile de l'introduire dans l'enseignement des mathématiques élémentaires. On leur ôterait ainsi cequ'elles ont parfois d'empirique et d'abstrait. Loin de développer l'aptitude à raisonner, les mathématiques, telles qu'on les enseigne, produisent souvent un résultat tout à fait contraire.

La plupart des raisonnements mathématiques sont d'ailleurs d'une très grande simplicité. C'est uniquement la difficulté de manier des formules, dont on ne saisit pas le sens pendant la série de leurs transformations, et l'impossibilité de considérer les choses en elles-mêmes, qui rendent ces formules d'un emploi

1. On confiait les applications de la méthode graphique à la statistique. Elle a été aussi, bien que trop rarement, appliquée à l'histoire. Elle y remplacerais utilement bien des pages de littérature. Je citerai comme exemple de cette application le graphique construit autrefois par Minard et destiné à représenter les pertes de l'armée française dans la campagne de Russie de 1812. Il constitue plus concise, la plus éloquente et la plus instructive des pages d'histoire que je connaisse. L'armée française, au moment où elle franchit le Niémen, est représentée par un ruban qui va en décroissant toujours dans la proportion des pertes qu'elle subit. La large bande du départ n'est plus qu'un mince filet au retour. Ce tableau montre tout de suite combien sont erronées les idées qu'on se fait souvent de cette campagne, en répétant que ce sont les froids et la neige qui anéantirent la Grande Armée. La vérité est que plus des trois quarts en étaient détruits avant que la retraite lût commencée. Des 422.000 hommes qui franchirent le Niémen, et dont 10.000 à peine devaient le revohc, 322.000 hommes étaient morts avant d'arriver à Moscou, et, quand les grands froids commencèrent, des 100.000 repartis de Moscou, il en restait à peine la moitié. Le froid n'eut donc àt sévir que sur des débris, et sans son action, la campagne n'en fût pas moins restée un des plus grands désastres des temps modernes.

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compliqué. « Ce qui a pu faire illusion à quelques esprits, dit le grand mathématicien Poinsot, sur cette espèce de force qu'ils supposent aux formules de l'analyse, c'est qu'on en retire avec assez de facilité des vérités déjà connues, et qu'on y a pour ainsi dire soi-même introduites, et alors il semble que l'analyse nous donne ce qu'elle ne fait que nous rendre dans un autre langage. »

La simplicité des raisonnements mathématiques est prouvée d'ailleurs par ce fait que l'on construit des machines peu compliquées ^résolvant aisément les plus difficiles problèmes de l'algèbre et du calcul intégral. (Résolution des équations, quadrature des surfaces, etc.) On ne voit pas d'autres sciences où le raisonnement direct pourrait être remplacé par les opérations d'une machine.