Quelques applications d'une formule sommatoire générale
1. Étant donnée une fonction analytique f{z) de la variable complexe z = t-\-ii, nous allons considérer d'abord la somme finie
^lf{v) = f(ï) + f(2)+-.. + f(n),
en supposant la fonction /'(?) holomorphe dans une aire T comprenant le segmen.1
1 n de l'axe réel.
Tout point d'affixe entier, étant un zéro du premier ordre pour la fonction
sinsrz, sera pour l'expression -5- logsin sr.e ncotgxz un pôle du premier ordre
au résidu 1. Les termes de la somme ci-dessus sont donc respectivement égaux aux résidus de la fonction
(1) st cotg m • I '(:)
aux points 1 , 2 , • • • , n , et par suite, en prenant à l'intérieur du domaine T un contour fermé G enveloppant ces points 1 . 2, ■•, n. mais laissant en dehors tout autre point dont l'affixe est un nombre entier, on aura, d'après le théorème de Cauchy,
X t'iv) = 2Ï j /I(:) COfcg 3tzdz '
l'intégrale étant prise le long du contour C dans le sens direct.
Pour transformer cette expression, nous laisserons nous guider par remarque bien simple, qu'en faisant fendre ,: vers l'infini suivant une droite quelconque qui n'esl pas parallèle à l'axe réel, la fonction
. cotexz
2 Ebnst Lindelôf.
tendra vers — 1 ou vers + 1 . suivant que le coefficient t de la partie imaginaire de z tendra vers x ou vers — x> . Ceci nous conduit à poser, dans l'intégrale
(3) . cotg si s — — 1 — „,.- — pour t > 0 , t f - ■ - — ]
et
(4) — cotg*r2 = 1 + ., . pour ^<0.
àsissons désormais le contour G symétrique par rapport à l'axe réel, et liions par «y'/î la moitié supérieure et par uy"p la moitié inférieure de ce contour, « et p étant ses points d'intersection avec l'axe réel, compris respectivement entre 0 et 1, et entre n et n + 1 .
Cela posé, en effectuant la substitution indiquée ci-dessus, le second membre de l'égalité (2) devient
■J^—dz-f J}f! dz.
■>) 1 \ f(z) dz - ; r t(z) dz + r -j^- dz - r
Mais ici une première réduction se présente de suite. En effet, comme la fonction / r est holomorphe à l'intérieur du contour C, on aura
I f(Z)dz=\f\T)dT.
\ fu)dz=\ f{z)de=[f(r)dT
La somme des deux premiers termes de l'expression (5) se réduit donc à I f(r)dr, et par suite l'égalité (2) peut s'écrire:
m f.m=fmdr+[ -4M—d*+[ „/« *,.
D'autre part, comme les chemins ay'/ï et a y" fi sont symétriques par rapport ixe réel, on peut mettre la somme des deux derniers termes de cette expression la forme
ay*j3
.'„..■„. le ' — 1 e "•' — ]
T. XXXI
Quelques applications il' une formule sommatoire générale.
d'où il suit inversement
| f(<e + it)=p(*,e)+iq(v,t), I /'(r ~it)=p(r,t)-iq(T,f),
P(*,t) = l [f(r+it) + f(T -it)\.
2 (*,() = §i[f(t + it)- f{r~it)] .
Après des réductions faciles, nous arrivons finalement à la formule :
Y /'(") = i f M d* + 2 / [P(r , t) d%~ Q (r , 1) dt\ ,
ay'/J
où P et Q désignent les expressions
p (t , t) (e2,T( cos 'Istr — l) — q (t , /) e2" ' sin "i^rr
e —2e cos 2.tt+ 1 q (t , £) (e2"' cos 2^tt — l) -\-p (t , <) e"'T( sin 2srr
2 e " cos 2jtt+ 1
Lorsque t est égal à v ou à r + 0 , i' étant un entier, ces expressions se réduisent aux suivantes:
2. La forme qu'il convient de donner au contour C dépend de l'application qu'on vise. Pour celles que nous avons en vue, il sera commode de choisir poui ce contour un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes des coordonnées (et toujours symétrique par rapport à l'axe réel). Pour abréger, nous désignerai] rectangle par Rti ?, « et (i ayant la même signification que ci-dessus.
Le contour d'intégration ainsi choisi, la formule (10) devient:
b (13) V /■(,■) J/'ItlJri i' f[Q(P, » <,>("■ t)]dt 2 j !'\t . ô)dr,
d désignant la demi-hauteur du rectangle Ra /}.
| ËBNST LlNDELÔy.
te formule suppose essentiellement que les nombres « el (î sont compris
les limites 0 <«< 1 , n< |S<% + 1 . Si une de ces limites est atteinte,
le rectangle Ba T. passant par un point singulier de la fonction (1), ne saurait
servir de contour d'intégration dans l'égalité (2), à moins qu'on ne fasse subir
à son périmètre une déformation, de manière à éviter le point en question. Nous
effectuerons cette déformation en effarant de part et d'autre du point singulier un
petil segment du côté de S . qui y passe, puis en reliant les extrémités du contour
ouveri par un demi-cercle, ayant le point singulier pour centre et tourné de
que ce point suit intérieur ou extérieur au contour fermé, suivant qu'il figure
ou non parmi les points 1 , 2 , • • • , n .
Pour fixer les idées, supposons p. ex. « = ] , fi = n. Dans ce cas, nous remplacerons la partie du contour Et n qui est voisine du point 1 , par un petit demicercle tournant la convexité vers la gaucho, et la partie voisine du point n par un i cercle tournant la convexité vers la droite, comme l'indique la figure ci-dessous.
i + iS
J(+i£ ;i+ieL
Revenons maintenant à la formule (2), en prenant comme contour d'intégration C celui que nous venons de dessiner, et cherchons vers quelle limite tend l'intégrale du second membre lorsqu'on fait tendre le rayon s des demi-cercles vers zéro. A cet effet, nous allons considérer séparément les diverses parties dont se compose cette intégrale.
On voit d'abord que la partie relative au demi-cercle gauche tendra vers la
moitié du résidu de la fonction (1) au point e=l, c'est à dire vers — /'(l).
De même, l'intégrale le long du second demi-cercle tendra vers le demi-résidu
Pour le reste du contour, nous nous servirons des égalités (3) et (4). Les parties constantes dos expressions figurant aux seconds membres de ces égalités donnent naissance aux termes
T. \x XL
dont
Quelques applications d'uni formule sommatoire générale.
.', ff(t + it)dt et !, jf{T-i*)dT,
la somme tend vers J f (r) dr, lorsque * tend vers zéro.
Enfin les secondes parties de ces mêmes expressions, par un calcul analogue à celui qui nous a conduit à la formule (13), et en tenant compte des égalités (12), nous donnent la somme
ô •2 j Pir.Ô d*+2Ï[q(n,t) q(l,t)] J,
dt
D'après (9) on a identiquement
L'expression sous le dernier signe intégral demeure donc parfaitement continue pour £ = 0, et par suite, pour avoir la valeur vers laquelle tend cette intégrale lorsque * tend vers 0, on n'aura qu'à égaler sa limite inférieure à zéro.
Somme toute, en choisissant le contour d'intégration comme il a été dit, et en taisant tendre * vers zéro, on tire de (2) cette nouvelle formule:
(14) £ f(v) = ± [f(l) + f(n)] + | fit) dr + 2 f[q (n,t)- q (1 , t)] ^J, — + 2j P(<r, è)d* ,
1 lu I
laquelle s'applique dès que la fonction f(z) est holomorphe pour Kr <n, — â<t<ô.
3. Supposons maintenant que la fonction donnée f(z) soit holomorphe pour tout point de la bande parallèle à l'axe imaginaire, définie par l'inégalité 1 't :>*. (f quelconque), et admettons en ou' ri que ia condition
{A) lime-2*1" \f(* + it)\ = 0
est vérifiée uniformément pour les mêmes valeurs de t.
Dans ces conditions, la formule (14) restera valable quelque grand que suit <). et lorsque à tend vers l'infini, le dernier terme de son second membre tendra vers zéro, comme le montrent les égalités (9) et (11). L'avant-dernier terme tendra donc vers une limite finie et déterminée, ei par suite on obtiendra la formule suivante:
(I) 2]/>> = \ \t'[U +" /"«»»l-r |/'r llT- 2f[g(n,tf) q (1 ,t)] -j^-
Remarquons de suite que cette formule reste encore valable si, les autres conditions étanl vérifiées, la fonction f{z) prend wm valeur finie et déterminée aupoint N-.o 3
t, ERNS'J I.in UKi.r'ir.
i . sans y être holomorphe. Pour s'en assurer, on n'aura qu'à recommencer la démonstration qui précède, avec cette modification qu'on retourne, dans la ligure ci-dessus, le demi-cercle gauche du manière à laisser le point z = l en dehors du contour d'intégration. — l ne remarque analogue s'applique évidemment au point ./• = n .
Si les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées pour a<r<(i, on peut de même taire tendre <> vers l'infini dans l'égalité (13), et on obtient ainsi la formule
(11) £/» = /Y tod* +2/ [Qtf,t) Q(a,t)]dt.
En modifiant ou en combinant entre elles les deux dernières formules, on peut en déduire plusieurs autres. Parmi ces formules, nous citerons les suivantes, dont nous aurons à faire usage plus loin, et qui sont valables sous certaines conditions qui résultent clairement de ce qui précède, sans qu'il soit nécessaire d'y insister davantage:
(III) 2/"'> - !,|/'<"> f (0)] + [ f (t) d* + 2 J [g (« ,t) - q (0 , t)] jf * ■
(IV) £ /'"'> - 2 [/<" +]) + AO)] + / f M <lT + * \ Vl (n+ 1, $ - q (0, t)] -j^~
(V)V/'(»')= J- f{0) + f f(r) dt •' 1 q «.,/) -.j^-- +2 I Q(it,t)dt (n</ï<« + l). •^ - .' ./ e — 1 .'
, 1 (\'II) £/•(><) = | /-Mi,. f f if(r)dT-2jq(0,t)~^-2Jq{n + ^,t)^~-
4. En serrant davantage les hypothèses, supposons maintenant que la fonction f(z) soil holomorphe dans tout le demi-plan t>1, que la condition (A) soit vérifiée uniformément pour 1 <r<n, quelque grand que soit », et qu'on ait enfin
(B) lira | ' J" ' /IT + //1 d* = 0.
Dans ces conditions, les formules (I) et (VI) ci-dessus subsistent quelque grand oii l'entier », et lorsque n tend vers l'infini, la seconde de ces formules nous donne
T. xxxi.
(I)' 2if(v) = ^f(l)+f fi*)dr-2J g(l,f)^#-^,
si la série du premier membre est convergente, et, si cette série diverge, (la)' limjy/»- if(*)d*\ = ±f(l)-2fq(l,t) 2gf •
On trouve de même, sous des hypothèses analogues à celles qu'on vient d'énoncer,
(II)' J^f{v)= l f(*)dr-2J Q(a,t)dtt (0<o<l),
(III)' £/'(") = " 2^'(0)+| /'<T"/T-2/ g(0,Q a^f^.
formules qui s'appliquent lorsque la série £ f(v) converge; en cas de divergence de
cette série, elles seront remplacées par des formules analogues à (I a)'.
Enfin, en retranchant l'égalité (I) des égalités (I)' ou (I a)', nous obtenons
(1)" £/»=£/» + \ fW+l ftod* - 2 I q(n,t) ..j"
ou
(la)" lira !£/>)-/ V(*M* =£/■(.') +lf(n)-Jf(T),lT •'! <t(n,t) **
suivant que la série £ /'(v) est convergente ou non, et de même, en retranchant
(II) 'l<j (TI)', et en admettant que la série en question converge,
(II)" £/» = £/» + \f{*)dr- 2 [Q(p,t)dt (n<0<n + l).
Dans ces dernières formules, l'entier n peut être pris arbitrairement grand. Il est d'ailleurs évident que. pour une valeur donnée de n, ces formules subsistent dès que les quantités f(l), f(2), • • • ,f(n) sont finies et que les conditions énoncées au début de ce numéro sont vérifiées, pour 1rs formules (1)" el il a " dans le demiplan r>n, et pour la formule (II)" dans le demi-plan t>0.
5. Jusqu'à présenl nous avons constammenl supposé la fonction /'(:) holomorphe pour tout point de la région donl le contour nous a servi comme contour
8 Ernst Lindelôf.
d'intégration. Mais il est facile île voir comment se modifient les formules qui précèdent, dans les cas où la fonction /'(:), tout en restant uniforme, présente à l'intérieur de la région considérée un nombre limité de points singuliers.
Suppos cette dernière condition, ainsi que la condition [A), vérifiées p. ex. dans la bande a<r<(l (0< « < 1, w< (î<i! + 1). et, afin d'énoncer notre résultat
une forme bien nette, admettons en outre qu'aucun des points singuliers de f(e) compris dans cette bande n'est situé sur l'axe réel.
Reprenons alors les considération- du n° 1, en choisissant comme contour
d'intégration C un rectangle Ba , dont on aura pris la hauteur assez grande pour
qu'il renferme tous les points singuliers de f(z) intérieurs à la bande envisagée.
Dans l'hypothèse actuelle, l'application du théorème des résidus nous donnera, au
(2), la formule
£/» = à I f(z)cotgxzdz-S,
8 désignant la somrru des résidus de la fonction sr cotg x z « f(z) relatif* aux points singuliers de f(z) compris dans la bande a<r<0.
L'intégrale figurant au second membre de cette formule pourra encore se mettre sous la forme (5), mais le raisonnement qui suit doit être modifié. En effet, on trouve maintenant, au lieu de (6), les égalités suivantes:
/ f(z)dz= \f(r),lT 2stiS\
j f(z)dz=[f(<c)dv + 2sriS",
S' et S" désignant les sommes des résidus de la fonction f(z) relatifs aux points singuliers de cette fonction compris respectivement dans les moitiés supérieure et inférieure
de la bande envisagée.
Les autres raisonnements n'éprouveront aucun changement, et nous arrivons donc finalement à ce résultat que la formule (II). dans l'hypothèse actuelle, doit être remplacée par la suivante:
£/» jf(T)dt + 2J [Q{p,i) -Q(a,t)]dt-{S + xi(S'-S")},
S, »S". S" ayant la signification indiquée ci-dessus.
Les autres formules que nous avons établies plus haut subironi des modifi-
ition ni.;
T. xxxi
Quelques applications il' une formule sommatoire générale. 9
Après que nous avions à peu près terminé nos recherches, autant que nous l'a permis le peu de temps dont nous avons disposé pour la composition du présent Mémoire, et que nous avions rédigé les pages qu'on vient de lire, nous nous sommes aperçu que quelques-unes des formules que nous venons d'établir ont été connues, et même depuis longtemps, par les géomètres.
Des cas particuliers de ces formules ont été signalés déjà par Poisson x), dans un Mémoire remarquable daté de 1813.
D'autre part la formule (I)' p. 7 a été donnée, sous une forme légèrement modifiée, en 1823 par Abel2), qui y arrive même par deux voies différentes, mais en laissant de côté la question de la convergence. — Il semble d'ailleurs que Plana aurait découvert cette formule trois ans avant Abel, par un calcul également formel G).
On conçoit d'ailleurs que Cauchy 3), dans ses recherches sur les intégrales définies et dans ses applications de la théorie des résidus, a dû nécessairement rencontrer des formules du genre de celles qui nous occupent ici.
Citons encore un Mémoire de Schlômilch 4) de l'année 1848, où se trouvent développés des résultats qui rentrent comme cas particuliers dans nos formules générales.
Cependant, il semble que la formule d'ABEL soit restée à peu près inaperçue, ou tout au moins sans application, jusqu'en 1889, date à laquelle Kronecker, à la suite de ses recherches sur les formules sommatoires 5), s'en est occupé et en a donné pour la première fois une démonstration rigoureuse. Son Mémoire 6), d'un style très condensé et d'une notation assez compliquée, ne contient que peu d'applications et ne paraît pas avoir attiré sur la formule en question toute l'attention qu'elle mérite.
') Second Mémoire sur la distribution d< VÊlectricité h la surface des corps conducteurs {Mémoires de l'Institut de France, Année 1811, II).
2) Oeuvres complètes (rédigées par Holmbob) t. II; n:o VII: L'intégrale finie 2* a> (as) exprimiez par une intégrale définie, simple; n:o X VIT I : Resolution de quelques problèmes h l'uni' d'intégrales définies.
3) Voir par exemple son Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques {Mémoires de l'Institut de France. Année 1823), ainsi que la Note des E.crccs ,/,■ Mathématiques (Année 1827) intitulée: Usage du calcul des résidus pour la sommation ou la transformation des séries (Oeuvres complètes, 2° série, t. VII, p. 345 .
4) Développement de deux formules sommatoires Journal de ',,//,. t, VI pp. 125 130).
'') Sitzungsberichte der Akademie der Wissenscliaflen vu Berlin, L885, II, pp. 841—862, et 1889, 11. pp. 867-881.
•) Bemerkungen liber die DarsteUung von Reihen dwrch Intégrale Journal à\ CreUe, t. 105, pp. 345- 354). Ce Mémoire contient quelques notices bibliographiques intéressantes, auxquelles nous renvoyons le lecteur.
10 Ebnst Lindelôf.
Dernièrement M. J. Petersen l) a démontré de nouveau la formule d'ÂBEL, à ce qu'il semble sans connaître le Mémoire de Kronecker, et en a donné quelques applications intéressantes, auxquelles de notre côté nous avions été conduit également.
Si, malgré tous ces travaux, nous publions ici nos recherches, c'est d'abord parce que nous osons croire que notre exposition est à la fois plus simple et plus complète que celle des auteurs cités, mais surtout parce qu'il nous semble qu'on ne s'est pas rendu compte de tout le parti qu'on peut tirer des formules en question pour la théorie des fonctions et notamment pour le prolongement analytique. Nous osons espérer que cette opinion sera justifiée par les développements qui suivent, bien que le temps nous ait fait défaut pour épuiser, même approximativement, notre sujet.
Nous ferons d'abord voir que nos formules entraînent comme conséquence immédiate les propriétés si intéressantes des polynômes de Bernoulli.
Nous en ferons ensuite l'application aux formules sommatoires et en particulier à la formule d'EuLER, et nous obtiendrons pour le terme-reste de cette dernière formule une nouvelle expression qui est, dans certains cas, plus avantageuse que celles données par Poisson et Jacobi. — Cette application a été indiquée en passant par M. Petersen, mais nous pensons que l'importance en justifie une discussion plus complète.
La troisième application, qui nous semble particulièrement intéressante, est relative au prolongement analytique des séries de Taylor.
Dans la dernière partie de ce travail, nous appliquerons nos formules à la fonction £ (s) de Riemann, dont les propriétés s'en déduisent avec une grande facilité. Nous terminons par l'exposition d'une méthode très simple pour le calcul des zéros de cette fonction, méthode qui conduit sans trop de travail à des résultats numériques assez exacts.
'i Vorlesungen iiber Funktionstheorie, (Copenhague 1898).
