LES POLYNOMES DE BERNOULLI
6. Comme première application des formules générales que nous venons d'établir, cherchons à calculer la valeur de la somme
ipM (n) = 1" - x + 2* - l + • • • • + (n - lf - * ,
n et fi désignant des entiers positifs quelconques supérieurs à l'unité. .Suivant la notation adoptée plus haut, nous devons poser:
f(Z) =2""~1 , z = t + it,
f(t + it) = (r + itf-1=p(r, f) + iq(t, t) ,
d'où il suit, en usant de la notation habituelle
nw m (n — 1) ■ • • (» — i> + 1)
Ln ~ 1.2-.-V '
pour fi = 2k,
et pour [i = 2fc-f 1 ,
\<j(r,t)= GÏÏ^*-1<-(^«**-V + ... + (-i)*-1Cg* ' rr'-1.
Cela posé, appliquons d'abord à notre fonction z!'~l la formule (IV) du n" 3 en y remplaçant n par w — 1 , ce qui nous donne l'égalité
12 Eknst Lindelôk.
Multiplions par n et taisons n = 2k; il vient
VTc[q(n,t) q (0 , *)] ^{C^n^^t- Çf^n2*"4^ • • • + (- if C%I?nH*k-*)
= 4 {Cfln2k-2t~ 2 C^n2*-4 *8 + • • ■ + (- 1)* (* - 1) C^~* n2t2k~3\ , et par suite, en posant
(15) B, = éJr->^=*™ÏK. (" = 1^,.-.),
J i " ■ ' - 1 (2sr)2/ M n2v
nous trouvons l'égalité
2fcy2jt(n)=w -tn + CaiBln - C2'kB2n H |-(-l)t2t A i» ■
Pour // = 2fc+l, un calcul tout analogue nous donne
Nous arrivons donc à ce résultat, qu'en posant
P2i x)=x2k-kx2k-1 + C22lB1x2,'-2-C2*lBzx'i*-* + - ■ + (-lfG2%"-'£'Bi
T> , \ 2J- + 1 / 7 i M 2A- | ,t(2| r, 2k 1 Wt] t> „2i — 3 ,
P2k+l(x) = X -[k+2lX +CU + 1B1X ~C2k + lB2X +
fc + 1
on aura, pour tout entier n supérieur à l'unité,
11 est d'ailleurs évident que cette propriété détermine complètement les polynômes P, v).
Les polynômes (16) s'appellent polynômes de Bernoulli, et les nombres Bt , B2 , • • • définis par l'égalité (15) sont les nombres de Bernoulli.
Les expressions (16) mettent en évidence deux propriétés importantes des polynômes de Bernoulli. On trouve d'abord, en faisant x = 0 ,
et ensuite, en différentiant,
[P2\ ,ro (2k+l){P2k{x) + (-l)k+1Bk}.
T. XXXI
Quelques applications d'une formule sonvmatoire générale. 13
D'autre part, d'après (17), les égalités
P (n) - Ph (n- 1) = fi (n - l)""1 (p = 2 , 3 , • • •)
sont vérifiées pour tout nombre entier n supérieur à l'unité, d'où il suit qu'on aura
identiquement
(20) P„ (x) - P (x - 1) = i» (x - Vf-1 .
Pour x = l, on en conclut, en tenant compte des valeurs (18),
relations qui permettent de calculer par récurrence les nombres de Bernoulli et qui font voir que ce sont des nombres rationnels. La seconde de ces relations:
4+1(d4-hcjî'-cb!+>"+(-i)hic^=o.
est celle donnée par Moivre.
A l'aide de la relation (20) et des égalités
P21c{x)-P2h{-x) = -2lcx2k-\
qui se déduisent immédiatement des expressions (16), on trouve les nouvelles relations
On y serait encore conduit en appliquant notre formule (III), après y avoir remplacé n par n — 1 .
Ces relations montrent que le développement de P (.'■) suivant les puissances
de a? — — ne contient que des puissances de même parité que n . Cette nouvelle
forme des polynômes de Bernoulli s'obtient immédiatement par l'application de notre formule (VII), qui s'écrit dans le cas actuel, en changeant n en n — 1 ,
En posant, pour abréger,
on en conclut, suivant la parité de /' , N:o 3.
14 Ebnst Lindelôp.
iules nous donnent
Pour x=-q, ces formules nous donnent
Xi il mis enfin les formules ) Ptk(x)dx = (-lfBk,
qui sont une conséquence immédiate des relations (18), (19) et (21).
7. Appliquons enfin la formule (V) du n° 3, en y remplaçant n par » — 1, et en posant § = n — u (0 0<<1). Nous trouvons ainsi l'égalité
(24) ;nf„ (n) = (n-uf-2{i lV(<M) "5*i \-2/i j Q{n-uJ)dt.
où
ii (n u , £)(cos 2stu — e~ J — p (n — u, t)sin2sru
e +e~~ '-'-2cos2sru
D'après (17), le premier membre de l'égalité (24) peut être remplacé par /'(»). Comme le second membre est un polynôme en w, et comme l'égalité subsiste pour a 2 . 3 . ■ • • . il s'ensuit qu'on aura identiquement pour toutes les valeurs a
/' uf 2/i | q(Q,t) ?j'f +2(i[Qix.-u,t)dt,
lui Taisant x u, puis écrivant de nouveau x à la place de u , on en conclut, suivant la parité de (t ,
T. XXXI
Quelques applications (Tune formule sonniiafoire i/énéràle.
C"s 2sr
Je"
2 «-os 2srx
dt
' — 2 COS "-'.t./'
Ce sont les formules données par Raabe l).
Si, dans la première de ces formules, on remplace Bk par son expression
on trouve, après une réduction facile:
POA.(.r)= (- l)A'8/sin-.T./ I - .1 e
dt
2 cos 2stx
résultat qui est dû à Hermite2).
Comme l'a fait remarquer Hermite à l'endroit cité, cette dernière égalité met en évidence la propriété capitale du polynôme P2k(x), de garder dans l'intervalle
0<j;<;i un signe invariable, à savoir celui de (— 1) . de même (pie la seconde formule de Raabe montre que, dans le même intervalle, le polynôme P,t + j te) ne
s'annule que pour x = — .
En remarquant que les expressions
cos2sr.r
ei /
sin 2stx
e"" + c~' 2eos2«a: e +e — 2cos2*ras:
représentent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire du quotient
(cos 2nsr.r — i sin '2 n st c) .
on tire des formules de Raabe les développements suivants dos polynômes de Bernoulli:
-r> Air. 7 . V COS 2 //.Tri
/. ■ i . , . , ■ V"1 sin 2wnra
') Journal de CreUe, t. 42 pp, ils- 376. Jl Z6«. t. 79 pp. 339 344.
16 Ernst Lindelôp.
Ces développements ne sont valables que pour les valeurs réelles de ./• comprises dans l'intervalle 0</<l. Quant aux formules de Raabe, elles ne s'appliquent que dans la bande comprise entre l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point x = l. Ces droites sont en effet des coupures pour les intégrales figurant aux seconds membres desdites formules.
Désignons respectivement par P24 (x) et P2i.+1te) les fonctions réelles et périodiques de x représentées par les seconds membres des équations (25) ou (26), de sorte qu'on aura pour, e = 2 . 3 . • • • ,
I P (j') = P (x) dans l'intervalle 0<x<l, (27) { ' *
Pn (x + n) = Pfl (.») quel que soit l'entier n .
D'après (19), ces fonctions vérifient pour toutes les valeurs de x les égalités P^(x) = 2kFZk 1(.x),
P2'i+1(*) = (2fc + l) >P2k(x) + (- D* + 1P,J
En faisant fc = 1 dans la première relation (28), nous définirons une nouvelle fonction P, (x) ., P2 (x) , laquelle, en vertu de l'égalité P2 (.r) = x (x — 1) , jouira des propriétés suivantes:
I P ,,, = .,. pour 0<.>< l
( Pj {x + n) = Pj (a;) quel que soit l'entier n .
En différentiant la première égalité (26) et en faisant le = 1 , on trouve pour Px (x) le développement
~i sin 2nstx
