LA FORMULE SOMMATOIRE O'EULER ET LES FORMULES ANALOGUES
8. Nous montrerons dans la suite de ce travail que les formules générales établies plus haut sont d'une grande importance pour l'étude des propriétés des classes étendues de fonctions analytiques. Mais pour le calcul effectif d'une somme donnée, il est préférable de transformer ces formules, en développant en séries les intégrales définies qui y figurent. Les développements ainsi obtenus seront certainement pour la plupart divergents, mais en revanche ils jouiront, dans bien des cas, de cette propriété curieuse et intéressante, qui pour le calcul est en somme la seule importante, que leurs termes successifs, ainsi que le reste de la série, vont rapidement en décroissant jusqu'à un certain terme, de sorte qu'on pourra souvent atteindre un résultat, très précis en ne calculant qu'un petit nombre de termes.
11 s'agit de développer les intégrales suivantes:
('l(r.t) ,''/ ■ f'/ir,/) j!\ -, [VIT. t)dt, J e l .' e -+- 1 ' «/
où
q (r, t) (cos '2jrt — e~ ""') + /' (r, t) sin 2srr
e^' + e- — 2cos2jtt
On y arrive en appliquant la formule de Taylor aux expressions p(r,t\ et qi*,t), considérées comme fonctions de la variable /, ce qui donne:
djp(*,0), . . dik 'y/ir,(i, f ' d2kp(*,0t) fk
Erns t L indel 5 F.
n i i 9' désignanl des nombres positifs compris entre 0 et 1, et A, V des quantités dont les modules ne dépassent pas l'unité1). Or les égalités (9) permettent d'exprimer les dérivées des fonctions p et q à l'aide de celles de la fonction donnée fie), et en effectuant le calcul, on trouve ainsi que les développements qui préaï peuvent se mettre sous la forme:
7'r.^^/^r,/-C;T,'!, + /Pr,1T,^', -■■• + '- 1'""'^ g^-'+^W.
&A-UJ
En substituant l'expression de q(t, t) qu'un vient d'écrire dans la première intégrale ci-dessus, et en tenant compte des égalités (15). on obtient le développement
dt B.., B2f'"(T)
t (ri * ' .
(32) 2Jq&,t>7J{ j = §7"(*
2A (2fc-l)! "*" *'
le reste 7?, étant égal à
i'' /■/■|/^+» IT Mtt'/,+/<"+«'(T i«',,|';/ l'.
li!.' V — 1
Supposons '-n particulier qu'on ait, pour toutes les valeurs réelles de t, (33) fC"+V + «')|<-MrM+i<«),
3^2/ i ,Tl désignant une quantité finie positive qui pourra varier avec r; il vient
B, < J»+i Jfat|1W.
' (2Jfc + 2)! '
On trouve de même, en usant de la notation (23), pour la deuxième intégrale considérée ci-dessus le développement
' Voir G. Darboux, Sur les développements en série des fonctions d'uni seule variable [Journal • h Mathématiques pures et appliquées, 1876, p. 291).
T. XXXI
F . dt B[,t B'2f'"(.r) „t-igtr""w^B
-J î(t'^==2/w-Tir+-+(-1) 21c m-in + "
(2fc + lj!j L' ' V** + l
et enfin pour la troisième intégrale, en se servant des formules de Raabe.
2J « (T' « dt = 2 / ,T) - 4 3!" + 6 -5! + ( X) 2T 01-1)!
- p> W / W + "2" / (T) - -V 2T + " ' ' + ~2F- 0*=ïj ! + B«
où
f Rk(q) (cos 2*rr — e~ 2l") + Bk (p) sin 2.tt A ,Y e2,rt + e 2:r'-2cos2.TT
Bj.(p) et 22^ (g) désignant les expressions (31).
9. Appliquons les résultats qui précèdent à la formule 1I1 p. 5, que nous écrirons, en changeant légèrement la notation,
(35) ^ /'d') = g [/"(m) -f /'mi] + / /'iti «!t + 2 I [g (n, t) — q (m, *)J -f^i ,
m et w étant des entiers quelconques (m<?n. En se servant de l'égalité (32), od peut mettre cette formule sous la forme suivante
(36) î>)=4r/ +m]+Jmd«+ij-if-l£f- 1;:;, Ç - j./,.
où l'on aura, en posant pour abréger f21' ll\n + it\ - f'2k "' l)(m + ï£) = #>(£),
* (2fc-fl)!j L e -1'
A' et 6' ayant la même signification qu'au numéro précèdent.
La formule (36) est la célèbre formule sommatoire cI'Euler. L'expression (37) du reste est dans certains cas plus maniable que celles données par Poisson ei Jacobi, sur lesquelles nous aurons d'ailleurs bientôt l'occasion de revenir.
Dans le cas où l'hypothèse (33) est vérifiée pour r = wi et pour r - n, on peul déduire de l'expression (37), à L'aide de l'inégalité (34), pour le module du reste l>', la limite supérieure suivante:
20 Ebnst Lindelôf.
(38) I>\ <(2jfc+èî[Jf» + i(w) + 3f3.+1(»)].
Rappelons les conditions dans lesquelles est applicable l'égalité (35), d'où nous avons tiré la formule d'Eui.En:
La fonction f(z) doit être uniforme et holomorphe en tout point s dont l'abscisse t est comprise dans l'intervalle m < r < n ; de plus, l'égalité (.4) p. 5 doit avoir lieu uniformément pour ces valeurs de t.
Si la fonction f(p), tout en vérifiant les autres conditions, présente à l'intérieur du domaine considéré un nombre limité de points singuliers, dont aucun n'est situé sur L'axe réel, on doit, d'après n° 5, retrancher du second membre de l'égalité (35) l'expression S-\- sriiS' — S") , S, S', S" ayant la signification indiquée p. 8. Donc, dans les mêmes conditions, la formule (36) doit être remplacée par la suivante:
V;,,., I |/.'(//n + /(//1|+ i fiT],/r- {S + aii(S' -S"))
,4-il 2v (2V-D! | *
le reste Bk étant toujours donné par l'expression (37). Soit par exemple à calculer la somme
n'etn", désignant des entiers positifs. On fera dans la formule ci-dessus m = — n',
n — n", f(z) = -ï — - — r-s = ; , , -w ï =r, d'où il suit facilement
si lf- entiers w'etn" sont assez grands, cette formule donnera une bonne convergence, comme le montre l'inégalité (38).
10. Il est intéressant de faire voir comment se rattachent les expressions qu'ont données Poisson et Jacobi du terme-reste de la formule (I'Euler, aux considérations développées dans la première partie de ce travail.
Reprenons à cet effet la formule (7), en choisissant comme contour d'intégration G un rectangle Rm n, modifié dans le sens qu'indique la figure de la page 4, el écrivons
T. xxxi
Zkxiz
Par un raisonnement tout analogue à relui du n° 2, nous obtiendrons ainsi la formule V f{V\ = - l/'mn + /'(wi| + I /'iti c/t + 2 V I /'iti eus 2 vsttdv
'f. -Ê*Tl ,,
( r , , 1 e (ft
En développant la dernière intégrale, on pourrait en tirer une formule sommatoire analogue à la formule d'KuLER, mais les coefficients des dérivées ne seraient plus des nombres rationnels.
Lorsque k tend vers l'infini, le dernier terme de la formule ci-dessus tend vers zéro, de sorte qu'on obtient
(89) \f(v)= - |/'u/n-f /'<«>]+ | /'iti i/t+'.'V I/ITI ciis-.'r.TTi/r .
Or on trouve successivement, en intégrant par parties,
2 I / '(T) COS 2 VJTT r/T — ■- 2 /'' iTI ' — il ' T
'- I 7 2-1 I > /'," COS 2 l'.TT
Vi,,^' "»' "> "H,l "J/ W (2^ '/T'
, r.„ eos2vsrr , . /\. „, sin2r.TT , 2 rw-75 — ^-^T=2 / / W~ .> , '/r
rJl'.T)*" ' . J (2V3l)4
et ainsi de suite, et en tenant compte des égalités (15), on arrive donc finalement à
la formule
uo, y/» \\f 4/-.«.]-r/V.r.^. vj, i,r '.(;■/"' ";:;.'■;, ! ; R<
où
22 Ernst Lindblôf.
C'esl la formule d'EuLEK avec l'expression du reste donnée par Poisson1).
En intégrant par parties et en tenant compte de la seconde équation (26), on peut mettre l'expression Rk. sous la forme
(42) ^^(oTTTil/7- .'T1^ 'V"/r-
/'., , j (t) étant dérini par les égalités (27): mais d'autre part la première équation (28) nous donne P.-, t, + x (t) = - , - P.2 k + 2 (t) , de sorte que nous obtenons, en intégrant encore une fois par parties et en tenant compte des égalités (18) et (21),
(43) *--ôémj~p»+*wf9k+*w*'-
C'est, à la notation près, l'expression donnée par Jacobi2).
Citons encore la formule suivante qui constitue, pour ainsi dire, une première étape vers la formule d'EuLER:
44 1 ]£/»= ., [f(m) + f(.n)]-\- //cnr/r + f~Pl(?)fXr)dr.
Kn remarquant qu'on a, d'après la définition même, P,(r) = T— v — — pour v < t < v -4- 1 , et d'autre part
j(r r- .'j/'itk/t^' [/(„) + /(»+ 1)] ff(T)dT,
on vérifie immédiatement que cette formule subsiste dès que la fonction /'(t) et sa dérivée première sont finies et continues dans l'intervalle de ma ».
D'une manière générale, on constate que l'algorithme des polynômes de Berxoulli et les règles ordinaires de l'intégration par parties réduisent la formule d'EoLER à une simple identité, lorsqu'on y prend le reste sous la forme (42) ou (43),
') Mémoire sur le calcul numérique des intégrales définies (Mémoires de l'Institut tic France, innée 1823, pp 571—602 .
2) De usa legitimo formulae Maelaurinianae {Journal de Crelle, t. XII pp. 263—272, 1*34).
T. XXXI
Quelques applications <£une formule sommatoire générale. 28
à condition que f(r) et ses dérivées jusqu'à l'ordre 2l~-\-2 soient finies et continues dans l'intervalle de m à n .
Admettons que la fonction /'(t) et ses dérivées soient continues pour r>m. et supposons en outre que la somme V /'(»') et l'intégrale \ f{r) dr aient des valeurs finies. Alors l'équation (44) nous donne, pour n = x ,
Si l'on admet en outre que les dérivées /'' m ,/'"' m ••• ,/'(2<~1' in tendent vers zéro lorsque r tend vers l'infini, on obtient de même, en faisant tendre n vers l'infini dans la formule (40), et en se servant de l'expression (43) du reste Rk .
(46) 2fW = \fM+jfM4r+2{- l'ri'-^rlr formule qui nous sera utile plus loin.
SUR LE PROLONGEMENT ANALYTIQl'E DES SERIES DE TAYLOR.
11. Les formules générales établies dans la première partie de ce travail fournissent un moyen très commode pour l'étude des fonctions définies par les séries de la forme 2anx*, où aH est une fonction analytique de l'indice n. N'ayant pas le temps de développer ce sujet intéressant dans toute sa généralité, nous nous placerons dès le début dans un cas bien déterminé, et d'ailleurs assez général, où nous allons retrouver, par une voie beaucoup plus directe, et sous une forme plus précise et souvent aussi plus générale, une grande partie des résultats établis par M. Le Roy dans son beau Mémoire, intitulé: Sur les séries divergentes et les fonctions définies par un développement de Taylor1).
En écrivant la fonction donnée sous la forme
(47) /■'.-■.=£ cp
un X
nous admettrons relativement à la fonction <f les hypothèses suivantes:
1" (p (z) est une fonction analytique de Invariable complexe z = T-\-it,holomo)phe ik, m tout point : tel que r •() [sauf peut-être à l'origine, où il suffit que (p (2) prenne une râleur finie et déterminée)-,
2" le nombre positif t étant donné aussi jn-t/t qu'on le voudra, on peut trouver un autre nombre positif 5 tel qu'en posant z = pe%^ . on ait
<f 1 s 1 < el '' pour - <t/'< * , p>R*).
Pour appliquer les formules dont il s'agit, on doit poser f(z) = tp(z)x' et déterminer les fonctions p(r,t) el q(r,t) à l'aide des équations (9). En écrivant
') Annules il, lu Fut elle d,s Sciences <lt Toulouse, -' Série, Tome 11, 1900.
- Il suil de cette hypothèse que le rayon de convergence de la série 47 r*t au moins
;il ;'i un.
T XXXI
on trouve
Quelques applications d'une formule sormnatoirt générale 25
(f (T + it)=Pi (r, t) + iqx (t, t) , (p(t — it)=Pi (t, t) — iq, (t, tf),
I 7' (t. é) = »t{Pi (r,*)cos(noga;) — ?!(*, *) sin (Hog a:)) . | q(r,t) = xT{p1{<r,t)sm(tlogx) + qi (t, t) cos (t log a:)} •
Cela posé, on conclut immédiatement de l'hypothèse 2° que la condition (A) de la page 5, tant que x est réel et positif, est vérifiée uniformément pour 0 < r < n , quelque grand que soit n.
D'autre part on aura, pour les mêmes valeurs de x,
| é~2"Ui\f(r + it)\dt < 2xTJ e 2!r< • £ ^ + ,'dt, où l'on peut faire tendre « vers zéro lorsque r tend vers l'infini. Comme on a
j/r* + t*<<r}/2 pour 0 < t < t, et /t2 + *2 < i j/2 pour t > t, le second membre de l'inégalité précédente est inférieur à la somme
2xT e"Vf fe-2*idt + 2xT J e-2*t+£tl/* dt,
dont les deux termes tendent vers zéro pour lim t = ce, si l'on impose à la variable x la condition 0<x<l. Pour ces valeurs de x, la condition (5) de la page 6 est donc vérifiée, et par suite nous pouvons appliquer la formule (III)', qui nous donne
(49) F(x) £ <p (n) x" \ 9 (0) + H (x) + I(x) , avec
(50) H(x) = -2j \lh (0, t) sin (f log s) + j, (0, *) cos (/ log x)} j^r~x ,
(51) 2»= | y (T)xTdr.
Pour arriver à la formule (49), nous avons supposé 0<./<l. Mais comme les deux membres de cette formule sont des fonctions analytiques de -. elle subsistera dans tout domaine où ces fonctions sont holomorphes.
12. Étudions d'abord l'expression E{x). En posant x = réie, on trouve
smf/h^Ol^+V'"'. coB(flog'aO 'V («50),
26 Ebnst Lindelôp.
I ea tendant vers zéro lorsque t tend vers l'infini. Comme les expressions
Pi(0, t) el 2i(0,t) . d'après l'hypothèse, croissent moins vite queee ' . quelque
■ . on en conclut immédiatement que l'intégrale (50) et sa dérivée par
l'apport à x sont des fonctions finies et continues pour — 2-t < 0 < 2sr, r>0,
d'où ce résultat:
L'expression ïï(x) définit une fonction analytiqut de la variable x rc'H qui est holomorphe pour tout point du domaim
Il s'ensuit encore, d'après l'égalité (49):
La différence F(x) I(x) est holomorphe pour tout point du domaim (52), dt sorte que I" /onction F(x) y ad met précisément les moine* singularités </ue Vexpression I (.<■).
La fonction H(x) peut se développer en série suivant les puissances entières et positives de la quantité x — 1, série qui sera convergente pour x— 1 < 1 , et dont les coefficients se déduiront facilement de l'intégrale (50). Le terme constant de cette~série s'écrit par exemple
Mais pour le calcul effectif, il vaut mieux substituer dans l'expression ïï(x) (l + u\
\-} -j , don log x = 8 (« + g-+ -g
On obtient ainsi un développement procédant suivant les puissances entières et positives de la quantité
e1 représentant H(x) pour tout point du domaine (52) 1).
ons maintenant tendre x vers zéro avec un argument déterminé compris entre — 2jt et 2x. L'expression I{x) tendra évidemment vers zéro, et par suite l'égalité (49) nous donne
1 ; i i 14 de notre Mémoire: Remaraties sm un pnnctpi général de la théorie des fonctions analytiques Tome XXIV de la présente série de publications)
T. XXXI
(53) WmH[x) = -<p(0).
D'autre part, si Von admet que l'intégrale f| qi(0,t)\-r a un sens (a étant un nombre
positif quelconque), condition qui est toujours vérifiée lorsque tp (z) est holomorphe à l'origine, on voit facilement que l'intégrale
qt (0, t) cos (t log x) -^ — - J e — 1
s'évanouit lorsque x tend soit vers 0, soit vers co avec un argument déterminé, de sorte qu'on aura dans les deux cas
HmH(x) = limj— 2/2?,. (0,0 sintflogœ) .,','
Or, en remplaçant x par , on trouve que la limite vers laquelle tend l'expression
entre parenthèses, lorsque x tend vers zéro avec l'argument 0, est égale et de signe contraire à la limite vers laquelle tend cette même expression lorsque x tend vers l'infini avec l'argument — 6. Comme la première de ces limites, d'après (53), est'
égale à ,, <f> (0), la seconde devient donc — ,-,<? (0), et par suite nous obtenons (54) limH(x) = ~ — ip(0).
13. Passons maintenant à l'étude de l'expression (51), que nous écrirons, en
changeant la notation de la variable d'intégration,
(55) I (f (z) x ds .
Tant qu'on effectue l'intégration suivant l'axe réel positif, cette expression n'a de sens qu'a l'intérieur du cercle x =1, où elle définit une fonction analytique / holomorphe partout, sauf à l'origine qui en est un point critique.
Mais il est facile d'étendre le domaine d'existence de cette fonction I(x) en dehors du cercle de rayon un. Prenons en effet, dans l'expression (55), comme chemin d'intégration non pas l'axe réel positif OA, mais an rayon OB issu de
28 Ernst Lindelôf.
l'origine <> el formant avec cet axe un angle ip compris entre ——et -, comme l'indique la ligure ci-dessous. En pesant comme plus haut z — pclxi>, ./■ = relf>, on
aura sur le rayon OB
a , loe r cos ii> — e sin i/>)
• i comme </ (z)\ croît moins vite que c'", linéique petit que soit f. on voit donc que l'intégrale (55), prise le long du rayon OB, représente une fonction analytique I{x, ip) qui est holomorphe pour tout point du domaine T(tp) défini par les inégalités
(57) log r cos V — 6 sin ip < 0 , r>0.
Dans le cas présent, où l'angle ip est supposé aigu, le domaine T(ip) comprendra les points intérieurs à la spirale logarithmique
(58) r = e excepté l'origine.
La fonction T(x, ih\ donne le prolongement analytique de I(x) en dehors du cercle de rayon un. Pour le faire nettement voir, traçons un arc de cercle Cl> de centre 0 et de rayon B. L'expression x" tf (z) étant une fonction holomorphe de s
dans le secteur OCJ). l'intégrale I x' q (z) dz , prise le long du contour de ce secteur.
;i zéro. Mais d'après (56) on aura sur l'arc CD, en supposant x réel et compris dans l'intervalle 0 < x < 1,
— R COS i/; log( — )
Comme d'autre part </w:) <ee*, l'intégrale relative à l'arc Ci) tendra donc vers zéro lorsque R augmente, et par suite, pour les valeurs considérées de x, l'intégrale (55) aura la même valeur, qu'on prenne l'axe réel ou le rayon OB comme chemin d'intégration. En d'autres termes, on aura I(x) I(x,ip) pour <)<./■< l, ce qui prouve l'exactitude de notre assertion.
T. XXXI
Lorsque ip tend vers — , le domaine T(ip) tendra à embrasser tout point ./; dont l'argument « est positif. Pour $ = -», d'où z = it, l'intégrale (55) devient
/ <~ ° \V\ (0, t) sin \t log r) + '/i (0, t) cos (< log r)) il t
+ « j <~ ° l {lh (0, t) cos (^ log n - 'h (0, *) sin (* log r)} d t,
et cette expression représente la fonction I(x) dans tout le domaine 0 > 0.
De même, pour </' = — --, le domaine T(i/>) embrassera tout point x tel que 0<0, et en ces points la fonction I{x) sera représentée par l'expression
- / cot 'jh I", Osintflog /•) + '/! (0,£) cos (* log r)) dtf
--/ j eot{p1 (0, Ocos(ilogr) g, (0', Osin 0 log r)) "7.
Nous avons donc obtenu ce résultat:
En dehors de l'origine, la fonction 1 (x) est partout régulière, sauf peut-être sur le segment 1 oo du rayon d'argument 0 = 0.
Les expressions ci-dessus montrent d'ailleurs que la fonction T(x) tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini avec un argument positif ou négatif quelconque, ou encore lorsque 0 tend vers -f co ou vers », quel que soit r.
En rapprochant ces résultats de ceux du numéro précédent, nous arrivons au théorème important que voici:
Sous les conditions énoncées plus haut, la fonction F(x), définie par la sérû (47), est holomorphe dans tout le plan, sauf peut-être sur le segment l x de Vaxe réel; cette fonction tend vers zéro lorsque x tend vers Vinfini suivant un rayon quelconque dont l'argument 0 est compris entre 0 et 2sr.
La première partie de ce théorème restera encore vraie, si les conditions citées sont vérifiées, non pas pour cp (2), mais pour <p (n0 + z), n0 étant un entier po quelconque. C'est ce qu'on voit immédiatement en détachanl de la série (47) les termes d'indice n<n0, et en appliquant au reste de la série les mêmes raisi ineiits que ci-dessus.
30 Bbnsï Lindelôf.
14. Nous avons vu plus haut que dans le domaine (52), la fonction F(x) admet précisément les mêmes singularités que la fonction I(x); mais ce n'est pas tout. En effet, nous allons voir que si Von suit étudier la fonction I(x) pour toutes n sera de même <!<• la fonction F {a < .
La fonction F(x) étant holomorphe dans le cercle de rayon un décrit de l'origine comme centre, l'égalité (49) nous montre d'abord qu'à l'intérieur de ce cercle la fonction H" (a;), comme I(x), n'aura d'autres points singuliers que l'origine.
Menons dans le plan de la variable x les coupures 1 \- <x> et 0 — — ce
suivant l'axe réel, et désignons par T le domaine ainsi formé. Nous appellerons, branches principales et désignerons par Ft,x), H(x), ï(x) les branches des fonctions /•'<<'. //-m. T{x) qui sont définies dans le domaine T par les expressions i49i, (50), (51) ou leurs prolongements analytiques.
Ces branches, liées entre elles par la relation
onl toutes holomorphes à l'intérieur du domaine T. D'ailleurs H (x) est holomorphe
pour tout point de la coupure 1 1-°°, et F(x) pour tout point de la coupure 0 — — oc.
En partanl d'un point xt situé sur l'axe réel entre l'origine et le point 1, traçons un contour C revenant au point x0 après avoir franchi la coupure 0 —co, mais n'ayant aucun point commun avec l'autre coupure. Lorsque x décrit ce contour, H{x) ei t(x) seront transformés en de nouvelles branches Hy [x) et Ix (x) des fonctions H et I. tandis que F(x) ne changera pas. On en conclut la relation
(59) Hi (x) + ï1 [x) = H (%> + ï (x) .
Cela posé, faisons décrire à la variable x un contour C issu du point xQ et
revenant à ce même point après avoir franchi la coupure 1 r-°°, et admettons
que ï(x) peut se prolonger tout le long de ce contour C. Les nouvelles branches F% {x) et I2(x) avec lesquelles on reviendra au point x0, seront liées par la relation
/•', {x) - </ <fii )- H (x) f ï2{x).
Supposons que !.,••< soil holomorphe en tout point du contour C envisagé plus haut, et désignons par ?, (x) la branche avec laquelle on reviendra au point x0, en chi minant le long île ce contour. En tenant compte de l'égalité (59), on voit alors que, la variable x dëcrivanl le contour C, la branche Ft (x) sera transformée en la
suivante:
l\ (x) t <i iO) + S(x) 4- T(x) /, (x) -f î3(x).
T. XXXI
En continuant de la sorte, on arrive à ce résultat que toute branche de la fonction F(x) peut se mettre sous la forme F(x) + un nombre fini de fermes dont chacun est un multiple entier, positif ou négatif, d'une brancht de la fonction I(x). Donc, si l'on sait étudier toutes les branches de cette dernière fonction, on sait par là même étudier toutes les branches de la fonction donnée F (x), ce que nous voulions démontrer.
15. On peut pousser plus loin l'étude de la fonction (47) dans les cas où sont vérifiées les hypothèses suivantes:
1° la fonction q>(z) est holomorphe dans le demi-plan à droite de V axe imaginaire et sur cet axe (sauf peut-être à l'origine, où il suffit que tp (z) prenne une valeur finie et déterminée);
2° quelque grand que soit l'angle i/'0, on peut trouver un nombre positif R tel que q(z) soit holomorphe pour — ip0< »/'<«/'o, p>R {.sauf peut-être à l'infini);
3° quelque grand que soit </'0 et quelque petit que soit *, on n
| (f (z) | < ep pour - tf„ <ip< t/'n , dès que p dépassera une certaine limite.
Ces conditions portent sur la branche principale de (f(z), qui a fourni les coefficients de la série (47).
Nous allons faire voir que, sous les conditions énoncées ci-dessus, lu fonction I i./'i n'a a distance finie d' autres points singtdiers que l'origine et le point {r= 1 , 6 = 0).
A cet effet, étudions d'abord les variations que subit le domaine T(ip), défini par les inégalités (57), lorsque l'angle ip varie. Nous avons déjà dit que ce domaine,
lorsque 0<(^<-^, comprend les points intérieurs à la spirale logarithmique (58)
(excepté l'origine), laquelle, pour V = °> se confond avec le cercle de rayon un et, pour
*p='w, avec le rayon d'argument « = 0. Pour les valeurs y comprises entremet
-£-, cos ip étant négatif, T{\p) sera le domaine extérieur à la spirale (58), et en particulier; pour (// = sr, le domaine extérieur au cercle de rayon un; pour ^<lP<-^> ce serH (lr nouveau le domaine intérieur à la spirale (58), laquelle, pour tfj = 2sr, se confond avec le cercle de rayon un; et ainsi de suite. Pour les valeurs négatives de »/'> on est conduit à des résultats analogues.
Cette discussion, qui devient pins claire à l'inspection d'une figure, conduit à la conclusion suivante:
32 Erhst Lindelôf.
Partant p. ex. d'un point situé sur le segment 0 - 1 de l'axe réel, taisons décrire à la variable x, d'un mouvement uniforme, une courbe quelconque S, ne passant
ni par l'origine ni par le point (r=l,0= 0), ei i utissant à un point quelconque
.i\ distinct de ces deux points; on -pourra prescrire à l'angle ifj uni variation continue telle qui le point x, en décrivant la courbe S, soit à chaque instant intérieur au domaine '/'<<''. lequel variera d'une manière continue lorsque le point x se déplace. Nous désignerons par u<0 la plus grande valeur uumérique atteinte par l'angle ip dans la variation considérée.
Ceci établi, déterminons le nombre R conformément à l'hypothèse 2°, et traçons un
i )B ayant l'origine comme centre et de rayon R. Nous allons considérer l'intégrale
,ï;fh
I x1 q (z) dz
le contour d'intégration /' se composant des parties suivantes:
1" le segment 0 R de l'axe réel:
2° l'arc du cercle CB compris entre les points z = R et z = Rc"!':
3° la partie du rayon vecteur passant par le point z^Rc'"' qui s'étend de ce point à l'infini.
Pour 1^ = 0, le contour F se réduit à l'axe réel positif, de sorte que l'intégrale
eprésentera la fonction I(x), si l'on suppose x intérieur au cercle de rayon un. Pour une autre valeur quelconque (/>', comprise entre — ip0 et + t/'0, l'intégrale (60), • •n vertu des hypothèses admises, définira une fonction analytique bolomorphe dans le domaine T(ip'), et en faisant varier %p d'une manière continue de 0 à U>', on conclut, par un raisonnement analogue à celui de la page 28, que cette fonction donne bien le prolongement analytique de I(x).
En taisant décrire au point x la courbe S d'un mouvement uniforme, et en faisant en même temps varier l'angle ip comme il a été dit ci-dessus, on voit dès lors que la fonction I{x) peut se prolonger tout le long de cette courbe et qu'elle sera holomorphe au point a^. Comme -<\ était un point quelconque distinct de l'origine et du point (r = l, 0 = 0), notre proposition est donc bien démontrée.
En rapprochant ces résultats de ceux des numéros précédents, nous arrivons au théorème que
Sous les conditions énoncées p. 31, la fonction ¥(x), définie par la série (47), ru peut admettre d'autres points singuliers que 0,1 et x. {le point 0 étant en général point singulier pour toute branche de F(x) autre que la branche principale).
Pour que ce théorème subsiste, il suffit d'ailleurs que les conditions dont il s'agit pour la fonction y(n0 | :i. «a désignant un entier positif quelconque.
T. xxxi.
Quelques applications d'une fui-mule sommatoire générale. 33
16. Soit comme plus haut F(x) la branche principale de la fonction F{x), c'est à dire la branche qui, à l'intérieur du cercle de rayon un, est représentée par l'expression
l'intégrale étant prise le long de l'axe réel positif. Traçons un contour fermé enveloppant le point x = l, mais non l'origine; lorsque le point x décrit ce contour dans le sens rétrograde, F(x) se changera en une nouvelle branche que nous désignerons par F1(x). Or il suit du raisonnement du numéro précédent que cette dernière branche, sous les conditions énoncées p. 31, est représentée à l'intérieur du cercle de rayon un par l'expression
(62) Fl [x) = )2 tf (0) + H (x) + f.r: tf i ?) dz ,
où le contour d'intégration F' se compose des parties suivantes:
1° le segment 0 R de l'axe réel;
2° la circonférence CR, parcourue dans le sens direct;
3° le segment R \- x de l'axe réel.
Le rayon R du cercle CB doit être pris assez grand pour que la branche principale de (p(z) soit holomorphe pour 0<(/'<2sr, p> R (sauf peut-être à l'infini).
Considérons quelques cas particuliers où l'on peut facilement calculer la différence F1 te) — F te) :
(«) La branche principale de la fonction <f(z) est uniforme à l'infini. — Le nombre R étant déterminé comme il a été dit, la fonction <p (z) sera alors uniforme en dehors du cercle CR, et par suite les égalités (61) e1 (62) nous donnenl
b\ (x) — F(x)= I x1 <f (z)dz,
l'intégrale étant prise le long du cercle CR dans le sens direct.
A l'extérieur de ce cercle et sur sa circonférence la fonction tp{z) punira être représentée par un développement de la forme
<p{z) = 2 Anzn,
et, en substituant cette expression dans l'égalité ci-dessus el en effectuanl l'intégration terme à terme, on obtient N:o 3.
34 Ernst Lindelôf.
(63) F^x) F(x) = 2xiY—^-Alogxf-1.
Le second membre étant une fonction entière de log x, on peut à l'aide de cette égalité calculer la valeur d'une branche quelconque de la fonction F(x) en un point donné du plan, si l'on connaît la valeur que prend en ce point la branche principale F (x).
(|8) La fonction y> (z) est uniforme dans tout le plan et ne présente qu'un nombre fini de points singuliers. — Les résultats précédents subsistent, mais on pourra remplacer l'égalité (63) par la suivante:
(64) F1(x) — F(x) = 2sriS,
S désignant la somme des résidus de la fonction x" cp (z) relatifs aux points singuliers de ip (z) situés à distance finie.
Ce résultat s'applique par exemple lorsque cp (z) est une fonction rationnelle quelconque de z. Il serait intéressant d'étudier ce cas plus en détail et de faire voir comment varie la nature des singularités de F(x) avec la position et Tordre des pôles de <f (.:). Mais nous devons y renoncer pour le moment.
(y) La fonction <p {z) est holomôrphe dans tout le plan. — Ce sera alors une fonction entière dont le module maximum sur le cercle \z\=p croît moins vite que ep , quelque petit que soit le nombre e, propriété qui appartient, comme on sait, à toute fonction entière de genre 0 et à certaines fonctions de genre 1. Dans ce cas l'égalité (64) devient F1(x)~F(x), et on en conclut que la fonction F(x) est uniforme dans tout le plan et admet x=l comme seul point singulier. Le théorème de La nage 29 montre d'ailleurs que F(x) s'annule à l'infini.
On pourrait traiter par la même méthode le cas où tp(z) est une fonction algébrique, ou plus généralement les cas où un nombre fini de branches de <p(z) se permutent autour du point à l'infini; mais nous n'insisterons pas sur ces généralisations qui ne présentent aucune difficulté.
17. Appliquons la formule (49) aux cas les plus simples. En faisant d'abord
w(z) = l, d'où F{x) = - , cette formule s'écrit
1 ! l -> (' ■ «i » iU
î^=2-ic^-2JSin(n0ga:)?
d'où l'on tire, en substituant x = ev,
T. XXX
1 ] 1 , n f ■ , dt
c'est la formule donnée par Legendre. En tenant complu des égalités (15), on en déduit le développement bien connu
l =L± , %„^Ê + ht
Soit niaim enanl
Pour que les conditions énoncées p. 31 soient toutes vérifiées, nous devons supposer la partie réelle de s négative; la formule (49) nous donne alors
En usant d'un artifice bien connu, on peut donner à cette égalité la forme
le contour d'intégration C se composant p. ex. des parties suivantes : 1° le segment
+ oo k de l'axe réel (0 < k < 1); 2° le cercle de centre 0 et de rayon k, parcouru
dans le sens direct; 3° le segment k h co de l'axe réel. L'intégrale relati
ce contour étant une fonction entière de s, la formule (65)' subsistera pour toutes les valeurs de s, sauf les valeurs entières.
On vérifie facilement sur la formule (65) les résultats généraux obtenus plus haut. Les seuls points singuliers sont 0, 1 et oo . Lorsque x tend vers l'infini avec un argument déterminé, toutes les branches de la fonction tendent vers zéro, pourvu que la partie réelle de s soit négative.
En développant l'intégrale figurant au second membre de (65) suivant les puisances de ce — 1, on trouve l'égalité
(66) V^' r(l-»)[log(^)] A0 + Al{x-1) + A2{x-1)* + ---,
les coefficients du second membre s'exprimanl ne d'intégrales définies. En
particulier, il vient
. ists\ f I 'Il .1" 2sm| ., |J ... r
36 Eenst Lindelôf.
Or, comme nous le verrons plus loin (p. 40), cette expression est égale à Ç(s), tant que la partie réelle de s est négative. On trouve ainsi:
.1,, :o). A^Çis-l), A2 = A
Le développement (66) converge pour x—l |< 1. Il est d'ailleurs applicable pour toute valeur s qui n'est pas un entier positif, car, en développant dans la formule (65)' le dernier terme suivant les puissances de x — 1 , on doit nécessairement retomber sur l'égalité (66).
Supposons la partie réelle de s inférieure à l'unité. L'égalité (66) nous donne d'abord
lim(l-.x),sy- =jT(1-s),
x tendant vers le point 1 suivant un chemin quelconque (toutefois tel que l'argument de x tende vers 0 et non vers un multiple de 2sr), ce qui constitue déjà un résultat un peu plus précis que celui obtenu par M. Le Roy x). Mais l'égalité (6(i) nous permet évidemment d'écrire encore
nm|x:^/(>- 4<')j l}=cw,
formule assez intéressante que nous n'avons pas rencontrée ailleurs.
Pour les valeurs s dont la partie réelle est comprise entre 0 et 1, on peut écrire cette formule plus simplement
ou encore
Ç(s) = ]\m\Yi---r(l-s){\-x? 4,
«■>~™-«>+S:(*-£ïSïâ)-
1 1 Loc. cit. pp. 338 — 340.
T. XXXI
LA FONCTION CW I>E RIEMAXN.
18. On sait que la fonction £(s), qui est représentée par la série
tant que la partie réelle de s est supérieure à l'unité, est une fonction uniforme dans tout le plan, ayant pour seul point singulier à distance finie le point s=l,
où elle devient infinie comme le terme =-. C'est ce qu'a établi Riemann en par-
tant de la formule
qui est valable sous la même condition que la série donnée
Ce caractère de la fonction £(s) est d'ailleurs une conséquence immédiat* i e la formule sommatoire d'EuLER. En effet, en faisant dans l'égalité (46) f(v) t '. m = l, on obtient, en supposant la partie réelle de s supérieure à L'unité,
Or cette dernière expression est évidemment une fonction holomorphe des tanl la partie réelle de cette variable est supérieure à — (2£+l). Comme L'entier S peut être pris arbitrairement grand, et comme les autres termes du développement ci-dessus, à L'exception de , sont des polynômes en s, on voii donc que La fonc-
tion f(s) a bien Le caractère indiqué.
38 Ernst Lindelôf.
19. Conformément à la notation adoptée dans la première partie de ce travail, posons maintenant
f{z) = 2 . fir f it) (t i it) ' ■- j> ir . t) -) iq(r,t), d'où il suit :
p (*,£)= (t2-)-*2) 2 cosfsarctg— 1,
,/ tr. t) = ~(T2-\- t2i ?sin(*arctg ).
La partie réelle de s étant toujours supposée supérieure à l'unité, on peut constater immédiatement (pie les formules du n° 4 sont applicables. La formule il)' s'écrit h
£ (s) = 0 + — y + 2 / (1 + £2) - sin (s arc tg 1 > -^ ,
ou si Ton veut, en posant axctgt = x,
(68) -. IM = H y + 2 sm (S») (COS X) ~^zrT--
De même, la formule (II)' nous donne, pour « = -,•
(69) : (s) - - ; - •-'((!+ tA "sin (s arc tg 2 0 .,.',7-— ,
"H bien, en posant arc tg 2 / = x,
.-il1 . /'-' • - • dx I
(69) ç{s) •' , -2 sm (sx) (cos ») " , •
\s-1 J rfr**+lj
L'une quelconque de ces expressions définit la fonction fis) dans tout le plan il en met en évidence certaines propriétés intéressantes. Ainsi la formule (68) nous
donne ?(0) = — 9 -, et
(70) ,"«" 2 / arc bgt .!U -1,
[tw ^L=Wi
') Cette formule a été indiquée par M. Petersen, mais sous une forme moins simple.
T. XXXT
Les valeurs des intégrales qui figurent dans ces expressions se déduisent immédiatement de nos formules générales. En effet, la formule (I) nous donne,, pour f(z) = \ogz,
log (1 • 2 • • • n) = 1 - 2 j arc tg t 2ir,* i + (n + j) log n - n + 2j arc tg - jér— '
La comparaison de ce résultat avec l'égalité
log (1 • 2 • • ■ n) = log V 2*r + (n -f — j log w - n + e (n) ( lim « (n) = 0)
montre que l'expression (70) es£ egroZe à — logj/2sr.
D'autre part, la formule (I a)' s'écrit, pour f(z)
lim
t dt
l + fe*
Donc l'expression (71) es£ e'g'rtfe à la constante d'EuLER. Cette expression de la constante d'EuLEE a été donnée par Poisson 1).
De la formule (69) nous pouvons conclure que f (*) n'a pas de zéro réel compris entre l'origine et le point s = l, puisque dans cet intervalle les termes du second membre sont tous les deux négatifs.
20. Reprenons pour un moment la formule (2), qui a été le point de départ de nos recherches, et choisissons comme contour d'intégration un rectangle /.'. (n<P<n + l), dont on aura remplacé un segment, comprenant l'origine, par un demi-cercle c de rayon «, ayant l'origine pour centre et tournant sa convexité vers la droite. Lorsqu'on fait tendre vers l'infini le nombre p et la hauteur du rectangle, t gardant au contraire une valeur fixe, on se trouve amené, par Le même raisonnement qu'aux n08 1—3, et en supposant vérifiées les conditions requises, à la formule suivante:
£f(v) = -2jq(0J)j^^+jJ[f(T + is) + f(«-is)]dT + -±TJmcotë*gdz,
la dernière intégrale étant prise le long du demi-cercle c, du point is au poinl ie.
Dans le cas actuel, où f(z) = z~\ cette formule est applicable dès que La partie réelle de s est supérieure à L'unité, et nous donne
M Mémoires de Vlnsiitul de France, Année 1811 II. p. 223 N:0 3.
I<| Ernst Lindelôp.
;-m 2 sin (-2-) J * ,, * * + sin (^) ] , I jj : *ootgjr*rf*.
Or on voit de suite que. pour une valeur donnée de *, cette égalité subsiste dans tout le plan, malgré la restriction qu'on a dû imposer à la variable s pour y arriver. On peut donc, en particulier, donner à s une valeur dont la partie réelle est négative, et en faisant tendre * vers zéro, on obtient alors
(72) £(s) = 2sin(Ç)J
r'dt
formule qui est valable dans tout le demi-plan situé à gauche de l'axe imaginaire. L'expression (72) met en évidence que la fonction £ [s) s'annule aux points s = — 2 , — 4, — 6 , • • • Pour s = — (2 n — 1) , elle nous donne
a-(2W-i))=(-i)-/;";1^=(-irf:.
En faisant, dans le second membre de (72), 2srt = x. nous trouvons £ (s) = 2 (2 sr)s " ' sin ( 'Y ) I j — d x ,
e( par suite, par comparaison avec l'égalité (67),
(73) £(8) = 2 (2*)"-1 sin (-^ ) /'(l - .s) Ç(l - s) , d'où suit la formule asymptotique
(74) : [s) - 2 (2a:)*-1 sin (Ç)^(l -*) (l +« W) gmijs (s) = 0) ,
qui a lieu sur tout rayon issu de l'origine et dont l'argument est compris entre st 3ar 2 "l X'
Or la théorie de la fonction F fournit la relation
et, en posant
(75) , x(«) = jr-T^ (!)«»).
nous pouvons donc écrire l'égalité (7.".) sous la forme
T. XXXI
C'est 1p théorème fondamental établi par Riemann.
La théorie générale îles fonctions entières, créée par M. Hakamarp. permet île conclure de la formule asymptotique (74) que la fonction Ç (s) admet une infinité de zéros «! , a2 , ■ • ■ , distincts des zéros — 2 , — 4 , • • • , dont l'existence est révélée par l'expression (72). Or on sait, d'après l'expression qu'en a donnée. Eulek sous forme d'un produit infini, que la fonction £ (s) ne s'annule pour aucune valeur s dont la partie réelle est supérieure à l'unité. Il en est donc de même de la fonction X (s), et par suite on peut conclure de l'égalité (76) que les zéros a sont tous situés à l'intérieur ou sur la frontière de la bande comprise entre l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point s = l.
L'égalité (76) nous montre, d'autre part, que la fonction •/, (s) prend des valeurs
réelles sur la droite D parallèle à l'axe imaginaire et passant par le point s = -k'
Si les zéros a n'étaient pas situés sur D. ils seraient donc deux à deux symétriques par rapport à cette droite. Or la fonction £(s), d'après les propriétés qu'on en connaît, ne présente aucune espèce de symétrie par rapport à la droite en question. 11 est donc plus que probable que les zéros a sont tous situés sur la droite D, bien qu'en n'ait pas encore réussi à le démontrer rigoureusement.
21. Appliquons encore à la fonction £ (s) la formule (I)" du n" 1: elle nous donne
égalité valable pour toute valeur de s. En développant la dernière intégrale suivant les puissances négatives de n, à l'aide de l'équation (32), oi I conduit à la formule
suivante:
l lll n1-' , B, 1
B2s(s+l)(s + 2) 1 i lh- s (s +!)••• (« + •'/■ 2) 1 .
le reste /?,. étant assujetti à l'inégalité (34).
Ebnst Linuelôf.
Cette même formule s'obtient encore de l'égalité (46), en remplaçant m par n,
et en ajoutant aux deux membres la somme 1 f(v) , et par cette voie on trouve
pour le reste Rk l'expression exacte que voici:
La formule (77) est intéressante sous plusieurs rapports. Elle nous donne d'abord, comme première approximation,
égalité qui s'applique dès que la partie réelle de s est supérieure à — 1. Puis, en égalant, s à un entier négatif, on en tire les expressions des polynômes de Bernoulli. En différentiant et faisant â = 0. on obtient la formule de Stirling pour
log(l •2-'-n). Enfin, en retranchant des deux membres le terme , puis en
faisant tendre s vers l'unité, on en conclut le développement connu de la constante eulérienne.
Mais l'importance de la formule (77) consiste surtout en ceci, qu'elle fournit le seul moyen vraiment pratique pour le calcul numérique dos valeurs de la fonction £(s). Pour mieux nous en rendre compte, nous allons chercher une limite supérieure du module du reste Rk.
Pour les valeurs réelles de s, on conclut immédiatement de l'inégalité (34)
** < rt+1|,
en posant pour abréger
T. ,v iBv s(g+l)---(s4-2i>-2) l
Comme /'.,, ,(*) a le signe de (— l)*'"1, on voit d'ailleurs que Rk aura le même signe que Tk ,, si s > — (2 Te -f- 1) .
Donnons maintenant à la variable s une valeur complexe1):
L'intégrale qui ligure dans l'expression (78) s'écrira
') Il va -;.iiis dire qu'on calculera dans ce cas les termes '/'., en formant le produit 'les modules et la somme îles arguments des divers Facteurs qu'ils contiennent.
T. XXXI
Quelques applications aVune formule sommatoire générale. 43
I P-ik - 2 (*) tcos te los T) - » sin ^ ]°g T)l "T+i+2 »
i le module de cette quantité est inférieur à
/fe:"-
limite qui sera d'ailleurs d'autant plus grossière que la valeur numérique de y est plus grande.
D'après n° 6 on a
quel que soit l'entier r, et en appliquant à l'intégrale précédente le premier théorème de la moyenne, on obtient donc
J rx + 2* ; 2 T •) | T, 2i+2 + ^ + 2* (-2-1- J '
les nombres Tj, <r2, • • • étant respectivement compris dans les intervalles (/<, n -\- -J,
Il est facile de voir (pie la somme de la série entre crochets est sensiblement égale à 2f I+2t.+2- En toute rigueur, on peut conclure qu'elle est inférieure à
l'expression
., ( dr 1 2 / 1 l v
J **•+'-*' ' 2 wJ+2A' + 2 »ixi 2*'+1 \«+2 fc+ 1 T2nj
En somme, nous trouvons donc, lorsque s = x + iy, pour le module du reste Rk la limite supérieure suivante:
(79) I^Kt^^^ + ^+l + s'J 7-' '
On obtiendra souvent une limite plus approchée en se servant de l'inégalité évidente (79)' \R,\<\Tk + l\ + \Tk+2\ + --- + \Tk + v\ + \Ek + v\,
où l'on choisira convenablement l'entier v, et où l'on remplacera le dernier terme par la limite supérieure qu'en fournit l'inégalité (79).
1 1 Ernst Lindelôk.
22. On conçoit dès lors que la formule (77; fournit un moyen très commode pour le calcul des zéros de la fonction Ç(s) situés sur la droite D. Comme ces sont deux à deux symétriques par rapport à l'axe réel, il suffira de chercher ceux dont les ordonnées sont positives.
Voici Tidée très simple qui nous a guidé. D'après ce que nous avons dit plus haut, la fonction x(s), définie par l'expression (75), prend des valeurs réelles sur la droite I). Jl s'ensuit que. pour un point quelconque s de cette droite, le reste suivant le module i2 sr de la quantité
(80) -<-' = arg n~ 2 + arg /'( :2 ) + arg £ (s)
est égal à 0 eu à .t, suivant que x (•-') est positif ou négatif. Comme % (s) ne change évidemment de signe qu'en s'annulant, et comme cette fonction, d'autre part, présente sur la droite en question précisément les mêmes zéros que f(s), on voit des lors que, pour séparer les zéros de la fonction £ (s) compris sur un segment donné de
la droite I>. ou n'auraqu'à calculer, avec une erreur moindre que — , la râleur de
lu quantité -'-' pour une suite de points suffisamment rapprochés de ce segment.
Notre raisonnement suppose que les zéros qu'on cherche sont tous simples, ce qu'on peut présumer, et ce que le calcul permettra de vérifier a posteriori.
L'évaluation de la quantité .'.' ne présente aucune difficulté. En posant
- f i y (// réel), on aura d'abord
arg .t 2 = — I log .t .
Pour le calcul du second terme de (80), on fera usage du développement connu de log r{z), en se bornant aux termes
log T (*) = log j/2^ -*+(.:- ')log^+ .,''■ qui donnent une approximation plus que suffisante. 11 s'ensuit
argr(|) = y{Alog(i + 4^)-l-log2}-|il^-^arctg22/.
L'erreur commise est, d'après Stieltjes '), numériquement inférieure à
') Sur té développement de logV (a) Journal à\ Mathématiques pures et appliquées, Y série T. V, 1889).
T. XXXI
On peut même démontrer qu'elle est inférieure à
/•' 12 /tj\2 ij-2 0.043
1,1 lî) .r^jf
On calculera enfin, à l'aide de la formule (77), la valeur de la fonction.
l'argument de cette quantité donnera le dernier terme de la somme (80), ei les inégalités du numéro précédent permettront d'évaluer une [imite supérieure de l'erreur commise.
Pour illustrer la méthode que nous venons d'esquisser, nous publierons ici les résultats numériques fournis par un calcul que nous avions entrepris au commencement de l'année, mais auquel, occupé d'autres recherches, nous n'avons pu consacrer en somme que quelques jours.
Dans le tableau qui suit, y, |(r/), 7(2/) ont la même signification que ci-dessus, et « désigne le reste suivant le module 2sr (converti en degrés) de la valeur approchée qu'a fournie notre calcul pour la quantité Si.
il1 7'
Mil.",
■Xi Ernst Lindelôf.
Poui le calcul de £(;/) et de t\ (y), nous nous sommes servi de la formule (77), en Taisant ti = 10, i=l, et en négligeant le reste. Il s'ensuit, d'après (79), poulies valeurs numériques des erreurs commises, une limite supérieure d'environ 0.8, lorsque y<bO. Mais l'inégalité (79)', en y faisant h — l,v = b, permet de réduire ce chiffre à 0.18. Lorsque i/<15, on conclut de (79) pour les erreurs en question une limite supérieure plus petite que 0.01.
Quelque peu approchées que soient ces limites, elles suffisent cependant pour prouver, comme on s'en aperçoit au premier coup d'oeil, que la valeur exacte de la quantité désignée par m, pour l'un quelconque des arguments y indiqués dans le tableau, est bien égale à celle des quantités 0° et 180° qui s'écarte le moins de la valeur calculée de <o. Il y a toutefois exception pour y = 48, les valeurs correspondantes de ? et de «y étant numériquement inférieures à l'erreur à craindre.
Des chiffres qui précèdent, nous pouvons donc tirer ce résultat J) que le segment
de la droite l> qui correspond à l'intervalle 12 50 de l'ordonnée y2), renferme
certainement dix zéros de la fonction J(s), les ordonnées de ces zéros étant respectivement comprises entre les limites
11 semble probable que ce soient là tous les zéros situés sur le segment en question, bien que le résultat de notre calcul ne nous permette pas de l'affirmer.
Les zéros une fois séparés, on pourra les calculer avec telle approximation qu'on désire, en prenant dans la formule (77) l'entier n suffisamment grand, et en choisissant convenablement l'entier le ;!).
') Nous avions aussitôt communiqué ce résultat à quelques mathématiciens, entre autres à M. Mittag-Leffler, dans une lettre datée du 22 janvier 1902.
-) On sait que M. v. Mangoldt a démontré qu'il n'existe pas de zéros d'ordonnée inférieure à 12.
') Au moment où non* allions reprendre notre calcul pour en préciser les résultats, nous avons eu connaissance d'un travail de M. .I.-F. Gtbam, intitulé: Note sur les zéros </c lu fonction £(a de Rjemann (travail présenté à l'Académie des Sciences de Copenhague le 7 février 1902). L'auteur y communique les valeurs ;'i li décimales exactes qu'il a trouvées, en se servant également de la Formule (77), pour les ordonnées des dix zéros de £(*) dont nous avons démontré cidessus L'existence, et donne en outre les ordonnées des cinq zéros suivants avec 1 décimale.
T. XXXI
LlNEELOF
FORMULE ... QF JQR0NTQ
OEPT. 0F MATHEMATICS L1
