FIG

Négligeons l’action du liquide situé très haut dans le vase. Le demi-plan est divisé en trois domaines :

(\) liquide en mouvement:

(E) liquide en repos; (C) fluide en repos, sous la pression constante p,.

Nous supposons le liquide incompressible, de densité 1, sa vitesse à l'infini dans

le jet égale à l'unité.

Nous rapportons le demi-plan de la figure 17 à un système d’axes rectangulaires,

ox suivant \'X, oy faisant un angle + - avec ox, et nous posons

ASE ERA dec u dy ù) ds Ta ds V”

Y étant la vitesse du point d'’affixe z.

Soient + et ? le potentiel des vitesses et la fonction de courant.

Î—= o +rb Nous supposons qu'au point D HE 0 et nous posons df à = U—i0 — UwW dz d'où les conditions : s 1 À l'infini dans le jet Ho a —=X, HEm°0—0; lim: |f| =; 3

2° Sur la ligne de courant OO, 1©,u

3° Sur la ligne de courant X'X % — +, (constante à déterminer); 4° Dans tout le domaine (V) Lee À

On devra donc avoir en tout point V 1: en particulier sur & On aura V—7 2 ES ?

et, sur, WV=—=e7- (45 0): ,

5° Le flux à travers une section normale du jet, assez éloigné du vase, est mesuré

par la largeur RS, et comme on a

a UN

Ib / udy — / dy —=%,, CN AN

nous choisissons Ÿ,—-— en fixant l'unité de longueur en conséquence.

Le domaine (V) du plan z est représenté conformément sur le domaine (B) du

plan f (fig. 18) par la relation

+- Pe

est une fonction analytique de f dans le domaine (B) et que

On sait que

le problème revient à la détermination de cette fonction.

Fic. 18 On pose Were, Q= 0 FiT;:

d’où V — er ; :

u + iÙ e.

Pour déterminer Q, représentons le domaine (B) sur un domaine rectangulaire

par les relations (55), (56), (57) ci-dessous :

(55) —— L log $.

Plan S XX, À %, b PRET TTT ETAT OC HE Er0 (656) ae ES CE.

A 3 Plan U 111113 LL & y 8 ( “2 À w, X’X Fic. 20

et, en posant

[ Er P + nr = 1 A ?

(56 bis) SR ent 2 n ) —1+m CAE :

3 7 du

(57) ET, —, > = Va(u eue) (ne)

c'est-à-dire u—p{.

Plan

Wa 2 &, + WA Ft (R) À . XX’ A Fa

HIG RON

QUELQUES APPLICATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE. 69 Il en résulte finälement que la relation . (58) 2f = Log [1 --/4(pZ — e.)] fait correspondre point par point le domaine (B) du plan / an domaine (R) du plan Z. R Reste à construire la fonction Q(Z).

-100 : Sur les côtés successifs du rectangle R, parcouru en laissant à gauche le do- BE Le maine (R), nous avons Cl à LTREURE G=%; HERO O= 7; NES EE: d'où (H. Villat, Acta Mathematica, t. XL, p. 156) 4 ” à SA So : ai en è : he :

36 PT, avec la condition d'uniformité | + Pa. Ÿ « i | d = <CERS on - LOUE LÉ à rs fa f dl , A ES 0 o #2 ce qui donne = Pa ‘à to 6 2159) J e Er LAON k , #0, - Z PA OZ) = — 7 0), - - On a donc à Ë è ; A V{Go) LISE re en " ; E = ae i MP y avec :

68) af = Logli—4(pl—e,)].

PRE SR. fe) à Le problème revient à la détermination de w, et de w,. Car ces valeurs permettent de calculer e,, e,. e, et, par leur intermédiaire, p et q (équations 56 bis). Si

nous nous reportons à l'équation (55), nous voyons que les points P et Q sont = alors connus si on a déterminé la fonction J(2). Or celle-ci sera elle-même connue siona w, et w,, Car nous avons ainsi la représentation de (V) sur (R) et par con-

séquent sur (B). ; -

CENT AR ee

Mais w, et w, sont indéterminés, ou plutôt leur rapport + est indéterminé, car il est évident que le rapport seul des dimensions du rectangle (R) intervient dans la représentation conforme, et aucune condition ne nous permet de le déterminer.

Le problème tout entier reste indéterminé, et nous avons une solution bien définie, physiquement acceptable, pour chaque valeur que nous donnerons arbitrairement au module + des fonctions elliptiques introduites.

A chaque solution correspondra une position des points P et Q et une configuration de la ligne À qui les joint. Lorsque la ligne À viendra toucher entre B et C la paroi inférieure du vase, le problème ne pourra plus être mis en équations par le même procédé, car il ne sera pas possible de masser l'ensemble des parois solides

sur deux segments seulement de la frontière.

Pt in