SAO)S\O)N FD) SD

J 5 == 20), MT = Flex = — CV AOFOREAOEFAU) f : \ en écrivant ; ; 5,(0) 5, (0 (13) M SLA 3',(0) 3,(0) ve 3,(v) 3,(v) SU D}S

Construisons les fonctions elliptiques de période ee 6,3 les formules XLVII, 3

de Tannery et Molk donnent

ce qui est, en vertu des formules LXXI (T. et M.),

Vk Sn (Ko | ur o.) , \ >

k et K étant le module et la demi-période réelle de ces nouvelles fonctions. D'où

F2 2K [0 d—cVK sf z tes 0)

On)

et, de même, on aurait | a cat 2K 2: u) q o RC V FEES il, | LE ; o) 3 Ÿ œ, 2.

(‘) Transformation de Landen; il suffirait d'écrire Z(2v, 27), sn(4Kv, 27), etc.; sans spécifier la valeur des périodes; mais ainsi la suite des calculs est plus claire.

Nous pouvons poser

2 K 7 7 Co) $ 2100 pe PER A et, dès lors, 20 24. >. T=—20 La dz y EAN EE ROMEO Sa NE Te N OS USER SERRE fl; SnZ'(Sn°Z'— Sn°7",) ou encore LA dz a r71/Q 271 RUE 7 à À ee (14) FAR BSaZ'{(Sn°Z' — Sn°7",) en posant PES 2% 24 T=—2 04% SALE RE ee = [On / Fr é ë TA Tu y 2 (19) B——"=—N (o,u, 6, il,) C k

et en remarquant que SnZ', est imaginaire pure, Z', étant compris entre o et 1K”.

(K 2K+iK’

F2K+#iy° Plan Z°

Fic. 8.

Nous avons noté en passant que K et se rapportaient aux fonctions elliptiques

de périodes —- et w,. Si donc on appelle e,, e,, e, les racines de l'équation roue

p'U|v,,w,) = 0 et E,, E,, E, les racines de l'équation (Q) P'(u | TS w,) = 0,

on à

(16) K= VE —E, = =t(Ve, Ze, + Ve, —e)

en vertu des formules XXXVI, 4 et XLVIL, 4 (T. et M.)et

5 (0) (0) Le Va ve

4 Oo) 2,0 —, 0, IN PAS À DST =——— Vk ne ( ) | > o.) Le V0 . SO) GA Ve, AS ex Es Ve, AE e,

en vertu des formules XXXVII, 1, XLVIT, 4 et XXX VI, 4 de l'ouvrage de: Tannery et Molk.

Nous avons trouvé

— —= BSnZ' (Sn 2 — Sn) © A (Sn SA ee

Or,ona

SIN CEUX avec P(Y') > 0 et

ir

Sn(X La) 7 FrP(Y);

il en résulte que :

a) Si le point Z' est sur l’un des segments EC, CD, EF, l'expression

Sn°Z'— Sn°Z/, est réelle et positive, et l’on à sur CD dz réel sur FC dz = —P (Y'yaY' sur DF EE AE à

P(Y”) étant une fonction réelle et positive de Y”. b) Si le point Z' est l’un des segments AE ou FB, l'expression Sn°Z'— Sn 2", est réelle et négative, et l'on a

sur ÀE (LE AREER OR ESA? À sur BF dev Pie" d\!

P, étant une fonction réelle et positive de Y’.

Nous avons donc :

H Lil ’ oz Fe NUL) — Er — = — 1—— Le SRE S g° 2K 6 dz BSn Z'(Sn2Z' RTE \ BST AUS EST dZ; \ S et l'équation »

PA € d(H + 1H) d£' ETES dl — dz donne A SRE ANASR L'EASR LS LEE

aiK BSaZ'

qui fournit la solution du problème.

Dans le plan Z'(Jig. 8), ce sont les points Z'=0o et Z'—2K qui correspondent

aux bords de l’orifice. Or, en chacun de ces points on a