Le 96 février 4838, TiDastre Biot, qui avait été nommé

membre d'une commission chargée (rexamincr des critiques

a idem pmctmi £ et punctum C. una ewn.quadrato ex segmenlo inter « punetum Inwnitniltiifi D êîjmncium A, tt reelfitiflpifloa iegmentoin- « Ur punnUtm E «f puneUm È, et data qwaâam rttîa* »

pBor'. XLVUI.— Qvtm ett ParUma mi intervit Prop, 149 et 15i. £tfr. 7. Pappi, — « DalU in reeta linea trUmspuncUt A, B, C, ^tionim

• Ceitad taidem parUê puneU D ad quas est A ; datwn erit in eadem m recta punctum quartvm D qvod faciel rectangulnm AE, FC aseg- « vm^fis inter punctum quodlibct E iii AB prndvrla ad partes Uj et « puncta A, vcï a segincnlis iiilcr ipsum B, ci cadcm puncla A, C « œquale quadrato ea: scgincutn VI) inlcr idem punctum F cl p^iyirfurn « inveniendumT>, vna cum rcciangulo a segmenlo IJi iuler punctum a Eet TclujHuni daium punclum H, cl data quddam rcrtd. »

P. M)8 : Propositiones très proxime prœcedentes [Se. LXllI, LXIV et LXV] imerviUHt dwhut êeqwnUbus, quœ $unt Porimata,

PROP. LXVI. — a Datd potitione reetà AB, «I eîrcv^ CD posiUane k dato! datimt erU punctum per quod li dueatur uteunque reetm

• (inea 91119 reetœ poâlione doto AB et eirculo wcurrit (lisex o^ciir- « ra/)« rtfclafttfiilttiii confonliim segmentiê duetœ inîer netam AB et « ptificto 9ut!)u< circumferentiœ occurrit, œquale erit guadrato es '« segmenlo ejusdem duetœ inter recUm AQ et punctum ilM qwd m datum ostendendum est. »

Vrop. I XVIî. — « D:ita posilione recta AH, et cirmln rî) posilione M dafo; datum erit punclum per quod si ducalur ulcunque recta a linea quff ipsi AB cl eirculo oa umi /lise/ oci:urrat)^ rcctnngulum M a segmcntis duclœ inter AB et circuwferentiam œquale cril quadrato « ex tegmenêo ^neâem dmcfeit inter reetam AB et punctum quod daium m ottendendum e$t^ una cum rectanguto a ëeifmentit ejuMfem dtieto « inter pnnetnmitlud et drenniferentiam» »

Oo voit qae tontes ces propositioas sont appelles par Simson des Porismes. Elles sont d'ailleurs comprises, par laors numéros d*ordrc, dans la déclaration qui fait suite à la deroière, p. 513 : « Atque hœc sunt hoca et Porismata, ea scilicct quœ habentur inter Propositiones prœcedentes a scplima usque ad hanc, quœ lAicîidis rssc dignoscere valebam, . » La question h résoudre est celle-ci : C omment Simson a-t-il pu considérer ces jii o]ia.sitions comme ayant dû figurer dans l'ouvrage d hudtdc, »'ti (àl vrai que pour lui Ici 29 énonces de Pappus résumaient les lli propositions qui formaient cet ouvrage?

^ iOI —

dirigées contre un membre de l'Académie, se récusa, ttn disant :

« J'admets dans la critique scientifique une entière liberté,

« quant aux personnes et aux ouvrages ; mais je crois que, « pour produire des résultats utiles, il faut qu'elle tire toute

• aa ioroe d'elle-même, par rassentiment que lui donne un

• «nmen libre et individuel.

m L'intervention collective des membres de l'Académie, « coinmc juges des critiques élevées contre leurs confrères, « me parait contraire à ce caractère d'individualité, ainsi qu'à « l'ensemble d'action qui est nécessaire à l'Académie comme « corps littéraire. >

Les opinions individuelles qui ont été exprimées au Sujet de la présente question conservent donc leur importance.

8. J'ai raconté ci-dessus, p. 24, par suite de quelles circonstances M. Lamé, après avoir fait partie de la commission jus-qu'au .2 septembre 4864, sa récusa. 11 le fit en disant ;« ....je « suis dpttbiement incapable d*émettre un j ogement en pareille « matière : car,d'une part, l'érudition nécessaire me manque, t et, d'autre part, sur tout ce qui concerne l'histoire des « sciences mathématiques chez les anciens, je me fais gloire « d'être le disciple de notre savant> confrère M. Chasles.Je « viens donc supplier l'Académie de vouloir bien accepter ma

• récusation. • {Comptes rendnSy t. LUI, p. 393.) Tïaduclion : » Je suis d avis, comme Pascal, qu'en ces ma-

« tièies la seule publication fait foi. Or, en présence de ce que < M. Ghasles avait publié avant que M. Breton n'eût fait con-

• naître les. idées dont il revendique la priorité, il me serait « Impossible dé ne pas condamner notre confrère. Quant à « apprécier l'interprétation nouvelle du texte de Simson qu'il « propose, et qui est le couLiaire de celle qu'il avait adoptée

• dans Y Aperçu^ cette question mo parait ne pouvoir être

• traitée qu'avec le concours d'une autre Académie, celle des

• inscriptions et belles-lettres. Je viéns donc, etc. >

9. M. Bcrirand, qui avait signé ic rapport de M. Scrrct, no dut pas être longtemps à s'apercevoir que la manière dont j*avaîs été traité ne rencontrait guère d'approbateurs. Aussi, dès l'année 1863, il donne à entendre quMl a pu signer de confiance. Du moins telle parait être l'intention qui lui a dicté le i3assage suivant de son éloge de Scnarmont, lu devant la Société de secours des amis des sciences {Qmpte rendu de (a sixième séance publique annuelle^ p. 53):

• La confiance qu'il inspirait et l'habitude de toujours comp- 1 1er sur lui le faisaient parfois désigner pour examiner des « travaux, dont il ne pouvait juger qu'imparfaitement. Senar* < mont, toujours sincère et trop réellement savant pour cherf cher à le paraître, sans vouloir se donner, du jour au lende- « main, une compétence superficielle, laissait alors à des coU lègues mieux préparés ou moins modesles tout l'honneur, « mais aussi toute la responsabilité du travail commun. »

Ge n'est pas tout. La Société royale do Londres, dans sa séance du 30 novembre 4865, avait décerné la médaille de Gopley à M. Ghasles pour récompenser en lui l'auteur du Traité de Géométrie supérieure, de l'ouvrage sur les Poiismcs, du Traité des sections coniques [V'' partie), ot du mémoire sur la Détermination du nombre de sections coniques qui doivent satisfaire à diverses conditions. Aussitôt M. Bertrand consacre à cet événement un article dans le Journal des savants (année 1866, p. 60-72). Mais, dans cet article, l'ouvrage sur les Porismes est passé complètement sous silence.

Cette omission est significative. J avais fait paraitre, le 22 mai 4865, la prpmière partie, (p. 3-20) de cet opuscule. M. Bertrand s'était empressé de saisir cette occasion de montrer qu'il entendait laisser à son collègue. M. Serret, • tout « l'honneur, mais au:?si toute la responsabilité du travail « commun. •

40. ËQ 4869, M. Chasies eut l'imprudence de provoquer luimême une nouvelle manifestation de l'opinion.J'avais été assez

heureux pour découvrir un des ouvrages dont les fameuses pièces astronomiques attribuées h Pascal devaient être, selon

moi, des copies. Un des mernbies les plus émincnts de TAcadémie, M. Le Verrier, que l'on a toujours vu donner l'exemple du respect de la vérité et de la science, s'était engagé à dé* montrer que Tinverse, c'est-à-dire la thèse d'après laquelle Fauteur de cet ouvrage aurait été au contraire le copiste, était

irnpossibie.

M. Chasles crut alors devoir rappeler [Comptes rendus^ t. LX1X| p. 65) mes réclamations relatives aux Porîsmes, comme prouvant que j'étais un adversaire très-sujet à se faire illusion.

M. Le Verrier répondit, le 19 juillet, qu'un grand nombre de membres de rAcadémio pensaient que, dans cette affaire des Porismes, c'était moi qui avais raison, et que nul ne se joindrait aux appréciations de Jl. Chasles. J'ai entendu cette déclaration. C'était à la fin de la séance, et pendant que le public commençait à sortir. Le bruit qui se faisait en ce moment fut aussit(H couvert par les clameurs de M. Chasles, auxquelles se môlaient les interpellations adressées par M. Scrret à M» Le Verrier.

Que l'illustre savant veuille bien me permettre de lui offrir ici l'expression de ma reconnaissance.

I III. — Gomment M. Chasles s'est confié de ces échecs.

4 1 . Il l'a fait dans son Rapport wr les progréê de la Géométrie,

en écrivant d'abord, p. 86, au sujet de Y Aperçu historique: « La célèbre question des Porismes d'Euclide, présentée « sous un point de vue nouveau, avec les éléments nettement € formulés d'une restitution complète des trois livres de l'au- « teur greCf est le sujet de la Note III (p. 274-284). Ces prin- « cîpes de restitution, développés depuis^ ont donné lieu à « l'ouvrage publié en 4860, etc. »

On le voit, ce que la Ck)infnissîon a refusé de reconnaitrei H . Ghasles s*est douné la salîsfactîon de la proclamer sous les auspices du Ministre de Tlnstruction publique.

42. II s'est donné ensuite une autre satisfaction, p. ^oô du même Rapport.

Après avoir rappelé mes premières publications sur les Porismes, y compris mon Mémoire de 1855» il ajoute .

• Depuis, M. Breton est revenu sur le même sujet dans de * nouvelles communications à l'Académie, qui ont donné lieu « alors à des observations contradictoires, puis enfin à un « Rapport de MM. Bertrand et Serret, contraire aux vues de « Tauteur. •

Or il n'y a rien de pareH dans ce Document. MMi Bertrand et Serret avaient expressément et uniquement pour mission de s'occuper de la question de priorité dont l'objet a été précisé ci-dessus, n» 5. Dans leur travail, que M. Ghasles affirme être contraire à mes vues sur les Porisnacs, on ne trouve abso* lument rien qui, de près ou de loin, puisse ressembler à un jugement sur ces vues.

Et il devait en ôlre ainsi, car l'Acadéniie avait chargé, le 29 o( tubre 4849, une Commission d'examiner les résultats auxquels j'étais paryenu sur ce sujet. Elle éuit composée de MM. Poncelet et LîouvîUe. C'est surtout à ce dernier i|ue je dois d'avoîc pu f&\re connaître ces recherehM. 11 m'a ouvert son Journal de Mathématiques avec cette libéralité à laquelle tous les géomètres rendent hommage.

13. Ces inewtitudes si graves ne sont pas les seules que l'on ait à regretter dans ce Bajppwiêwr iuprogri» de ia GéO' métrie. Pour ne parier que de ce qui me concerne, je citerai comme exemple un théorème relatif à ces polygones que Ion obtient en projetant sur un plan, par des droites parallèles, les polygones réguliers de la géométrie. On sait que plusieurs auteurs leur ont donné le nom de Polygones simi-régulien. Jeles avais étudiés moî-mémc, sousUe nom de Polygtmes réguliers^.

eUiptiqueSt à l'occasion de certains polyèdres, dans an Mémoire présenté à l'Acailémic des Sciences le 7 août 1848 {Comptes rendus, t. XXVIl, p. 154). Pour rintelligencc de ce . qui suit, nous dirons que deux polygones de cette espèce tournent d'une même quanti té« chacun dans son plan, lorsque les polygones réguliers correspondants tournent, chacun dans son propre plan, d'une même quantité angulaire autour de son • centre de fi sure.

Une des proposilions auxquelles j étais parvenu est énoncée de cette manière (je cite d'après le Compte rendu) :

• Concevons deux polygones réguliers-elliptiques de n co^

• tés, situés comme on voudra dans lespace, et soient

• «3 l«..«it. les sommets du premier, f^, l,, ceux du se-

« cond; joignons par des droites $^ 1,» '3 h les « sommets de même Indice; nous aurons ainsi fi arêtes jouîs- « sant des pioprictés suivantes, lorsque les deux, polygones

• tournent simultanéaient de quanlltéb égales :

• Sont eonntantes Ue sommée : \^dee puiteanm 2in<fi de e» « arêiti, ete, >

Il est évident que, si l'un des deux polygones se réduit à son centre de Qgure, on a ce théorème : La tomme des puitsanet$ ^<Cndeê distances d^un point de V espace aux n sommets d^m

pohjgune rêgulter-eltiptique i(e n côtés demeure constante lors^ qu'un fait tourner ce polygone dans ton plan.

Or M. Chasles juge à propos d'atliibuer, p. 371 de son Rapport, ce théorème à M. U. Pigeon, qui la publié en 4865 (Journal de t^ École Polytechnique, XU* cahier, p. 190), c'est^ è*dire dix-sept ans après moi.

14. On reconnaît encore les rancunes de M. Chasles dans, ce qu'il dit, p. 154 de ce même i{tfjj/Joi7, au sujet d'un travail que j'ai public en 1848 sur le contenu do Touvragode" Stcwart Intitulé : Quelques théorèmes généraux (Tun grand usage dans les hautes Mathimatiques.

Rappelons d'abord les circonstances dans lesquelles j*ai été oonduit « composer cet écrit.

M. Ghasies avait appelé rattentîon sur ces propositions dans son Aperçu historique , p. 174-179. De plus, il avî^it trouvé qu'on pouvait donner aux énoncés de deux d'entre elles « une < extension trèsrgrande et assez remarquable. > Les nouveaux énoncés, donnés sans démonstration dans I4 Note XXII, devinrent naturellement un sujet de rechercher pour les personnes qui s'occupaient de ^cuineti ie.

Or il arriva qu'on lui conduit à concevoir des doutes sur la vérité des propositions ainsi étendues par M. Chasles. Ëa 4844, uii savant anglais» T. S. Davies , eiçprîma ce sentiment dans un mémoire qui fait partie du tome XV des Transaciions de la Soeiéli royale d'Edimbourg. J'avais acquis, de mon icôté, la certitude que ces propositions étaient fausses. Une Note^ que j'adressai à l'Académie des sciences le 2 juin/1846, était destinée à mettre ce fait en évidence; mais elle ne fut pas insérée au Compi9 rendu, et M. Ghasies, quelques mois plus tard» cîta l'ouvrage de Stewart comme renfermant de beaux ihéo*

rcmcs dont une parcie n avait pas encore été demonlrce [Traité de Gcomélrie supérieure^ p. lxx). C'était déclarer, notamment, qu'il tenait pour non avenu ce que Ton avait pu dire sur les propositions dont il s'agissait. * En présence de cette fin de non-recevoir, je pris le parti de rendre publiques les preuves de l'assertionque j'avais émise. Ce fut là 1 objet du mémoire que M. Chasles mentionne p. 45^ de sqn Rapport. H ne çonteste plus les coi^lusions de ce travail , mjiis il dqnne à entendre, en passant sous si* lence le rôle qull a joué lui-même relativement à ces énoncés» que je n*ai fait que reproduire des conclusions déjà établies dans le mémoire de 1844 cité plus haut (l).

(1) chacune des propostiions dont il est qiicstloa a pour objet uu fiyftCèmc de droites et de poiuts situés daub un muiuc plau, et Uoiiue lieu jk une relation eotrç deux variables x tiy i

15. Du reste, je ne suis pas le seul quî ait eu à se plaindre de M. Chasles. Il me suflira de rappeler ce qu'écrivait, il y n dix ans, un illustre géomètre, le général Poncelet, au sujet de V Aperçu : « ... l'ouvrage , en général , est l'un des livres de « géométrie qui m*a le plus coûté à lire, à cause des apprécia- « lions qu'il renferme et des fausses interprétaLions auxquelles « il a pu donner lieu sur mes propres et irès-antérieurs tra- « vaux, cités, il est vrai, autant de fois que ceux de Pascal et « de Desargues, dans des passages que j*auraÎ8 désiré moins « nombreux et plus exacts. Malheureusement, quelques-unes « de ces erreurs ... se trouvent en partie reproduites dans le « Traité de Geomélrie supérieure ... » {Applications d'analyse et de géométrie, t. I, p. 492, en note. Voyez aussi Traité des propriétés projeclives des figures, édition de 4865-4866» 1. 11, Section supplémenUire).

Ce Rapport sur les progrès de la Géométrie, dans lequel la vérité est si complètement travestie en ce qui me concerne, a été demandé à M. Chasles, à l'occasion de l'Exposition universelle de 1867, par M. Duruy, alors ministre de l'Insiruction publique. 11 me sera permis de douter que son successeur veuille conserver à un tel travail rattache administrative qui en fait presque un document officiel.

Quoi qu'il en soit, Thistoire des progrès de la Géométrie va

A+hX'\-Cy-^Dx*'\-Eœy-^l:y^-{-GX'^Ux'y'{- =0,

qui doit être satisfaite, quelles qae soieot les valeon attribuées à ces Tan'ables. Les cocflicieols A, B* C* etc.» reDrermpnt« avec les données ini* médiates de la question, des inconnues qu'il s*agitde déterminer. D'après cela, 00 est coaduit à poser les équations

As=o, B=o, Cssto, D^o, E=o, F^Of Gss'o, etc.

Or le nombre de ces équations surpasse, en général, celui des inconnues à déterminer. Cette remarque a dû inspire? les premiers doutes. Je crois afoir hit le reste en démontrant que toutes cet égttaltont sont néess* soIStss, Comme on trouve facilement des cas où elles sont contradictoires, on est aniorisé à conclure dé li qne les deus propositions sont fansscs.

pouvoir être refaite. La Société royale de Londres a entrepris

la publication d*un calalogue général des mcrnoin s publiés dans tous les recueils scicnliûqucs , jusqu'à l'année 4804. Ce catalogue permettra de rendre à chaque auteur ce qui lui appartient, et les omissions, jusqu'à présent si faciles, de déz couvertes dignes d*intérèi, deviendront inexcusables.

FIN DBS NOTES.

NOTICE

su»

LES mm M PRIORITÉ

AUXUliËLS A mm^ LIEU l'oUVUAGL i)h M. CUASLES SUR LES PORISMES D*BUCLIDE