A — B) (G — D) = — AD + BD + AG— BG

et l'identité (3) est démontrée. On ferait de même pour les autres cas.

Division. —Si l'on désigne, respectivement, par A, B,Q, H le dividende, le diviseur, le quotient et le reste d'une division algébrique, on a

(4) A - K= BQ ;

alors les règles de la multiplication et de la division se trouvant exprimées par la même identité, la généralisation est faite, en même temps, pour les deux opérations.

On comprend bien comment on peut avoir à utiliser la généralisation précédente. Si, par exemple, on veut connaître la somme S des termes d'une progression géométrique dont le premier terme est a, le dernier /, et la raison ç, on a vu en arithmétique que la somme des termes pouvait être calculée par l'une ou l'autre des formules

^ Iq— a ^ a-^ Iq ^ — . — ^ — — . .

suivant que la progression était croissante ou décroissante. Mais, à l'aide de ce qui vient d'être démontré, les deux formules n'en font plus qu'une seule, puisque les -deux quantités a — Iq ei \ — q étant respectivement égales et de signe contraire h Iq — aetq — 1, le quotient des deux premières est ■ égal au quotient des deux autres.

i«. Autre séné rai Uation. — Dans ce qui précède, on a supposé que Ton donnait aux lettres des valeurs positives, mais on peut faire voir que les identités (I), (2), (3) et (4) sont vraies, quelles que soient les valeurs positives ou négatives attribuées aux lettres.

La vérification est immédiate pour l'addition et la soustraction, et d'après la remarque faite, tout-à-l'heure, sur la division, tout revient à considérer la multiplication. Prenons, par exenlple, la multiplication suivante :

— 10a*a:^ -j- Qa^x' — 4a V

. + \ ha^x'^ — 9a«.r« + 6a'x-^

20a V -- 22a*a7» + 29a^a?'' — 13aV -f 6aTx^

Il s'agit de faire voir que si Ton change a? en — a? dans les deux facteurs et le produit, on aura un nouvelle identité qui sera la conséquence de celle que le calcul a donnée. Remarquons, d'abord, qu'il résulte de la règle de la multiplication

des monômes que ( — .r)"* est égala -j- •^'" o^^ — ^"*> selon que m est pair ou impair : l'identité à vérifier est donc

(hax^ + Za?x^ + ^2a?x^) (— 4a*-.T* — 2f('x* — 3a*j^) = — 20a »J!:'' — 22a*a.« — 29a»a^' — i:]a«a« + 6a'r^^

Tout revient à voir que deux termes semblables dans les deux produits sont égaux et de même signe ,ou égaux et de signe contraire, suivant qu'ils contiennent x avec un exposant pair ou impair.

Soit, par exemple, Iç terme de l'ancien produit — 22a*j;^, ou

a trouvé

(— 3a«a?8) x-4a«a;3+ 5aa^X (— 'Za^x^) = — 22a^x». Dans le second produit, eu remarquant que dans la première

THÉORIE DES QUANTITÉS NÉGATIVES. Il

multiplication les deux facteurs changent de signe, tandis qu'ils le conservent dans la seconde, on obtient

Za*a^ X (— iu^x^) + baa* X (— 2a*a*) = — 22aV ;

ainsi le terme — 2'2a^x^ qui contient x avec un exposant pair est resté le même.

Prenons maintenant le terme -|- 29a* a?^ qui contient a? Avec un exposant impair dans le premier produit. Il provient de la réduction des trois termes qui contiennent x avec l'exposant 7 et qui ont été obtenus, chacun, parla multiplication de deux termes dont l'un contient x avec un exposant pair et Tautre avec un exposant impair. Alors, l'un des facteurs conserve son signe tandis que l'autre le change, et les trois termes changent de signe. Le terme -f- 29fl''^'^ est, par conséquent, remplacé par — îQa^x'^ dans le nouveau produit : la vérification est donc complète.