Dans la division des polynômes on a démontré l'identité

= x"^^' + ax''-'+ a3x"*'+....+a"-r

Changeons a en — a dans cette identité, et supposons d'à* bord m pair, on aura

mm *

^ ^ wj-l „ »«--8 I o m— 3 m— 1

= x — rtâ? -f-^^ — ^ >

12 QUESTIONS D'AUJÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

donc, lorsque m est pair, x" — oT est divisible par t -f~ ^^^ ou voit en même temps quelle est la forme du quotient Si m est impair ^ on trouve une nouvelle identité qui montre que,

lorsque m est impair, x^-j-a^ est divisible par x-|-a, et qui donne en même temps la forme du quotient.

3. Théorème I. — Lorsqu'on divise par le diviseur x — a ii/i polynôme entier et rationnel par rapport à x, le reste de la division indépendant de x est égal au résultat de la substitution de a, à la place de x, dans le polynôme. .

On remarque d'abord que, le diviseur x — a ne contenant x qu*au premier degré, on arrivera toujours à un reste R indépendant de X. Soient Q le quotient correspondant et X le polynôme donné, on a Tidentité

Cette identité ayant lieu, quelque soit rr, subsistera, en particulier, lorsque x sera égal à a. Alors, si l'on désigne par Xa et Qa les résultats de la substitution de a, à la place de a:, dans les deux polynômes X et Q, on aura identiquement

Xa=OxQa + R.

Mais Qa étant une quantité finie, le produit X Q» est nul

et le reste indépendant de a? a pour valeur Xa : c'est ce qu'il fallait démontrer.

Remahque. — L'identité (1) subsiste, quelles que soient les valeurs positives ou négatives attribuées à a. Mais si Ton fait a égal à — a', le diviseur devient a? -|-a' et l'on en conclut que le reste de la division d'un polynôme par x -{-a^ est Xi-o»,.

4. Théorème II. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme entier et rationnel par rapport à x soit divisible par X — a, a étant positif oii négatif, c'est que le résultat de la substitution de dià x dans le pohjnome, soit égal à zéro.

Ce théorème est une conséquence évidente du précédent.

Remarque. — Les théorèmes I et TI permettent de résoudre

immédiatement la question de la divisibilité de a?"* ± a*" par X ± a.

5. Théorème III. — Si mvpolynome X entier et rationnel par rapport à x est divisible séparément par les binômes x — a et X — b, il est divisible par leur produit (x — a) (x — b).

En eflFet, Q étant un polynôme entier et rationnel par rapport à X, on exprime que X est divisible par a? — a au moyen de l'identité

Mais comme X est divisible par œ — 6 le résultat de la substitution de & à la place de x dans le polynôme est égal à zéro ;

donc(é — a) Q^ est nul aussi en vertu de l'identité (1) qui a lieu, en particulier, pour x égal à b. Or, b -—a n*étant pas nul, Qé est égal à zéro et, par suite, Q est divisible par x — b : alors Q^ désignant le quotient, on a

et si l'on remplace Q par (x — b) Q' dans l'identité (I), il vient

c'est ce qull fallait démontrer.

On étendrait facilement la démonstration au cas d'un nombre quelconque de facteurs.