Résoudre le système

ax+b{y-\-z-{'t)=c, a'y+b{z+t'{-x)=c\

Les premiers membres des équations s'obtiennent encore par des permutations circulaires des lettres x, i/, 3, t.

Ici prenons immédiatement pour inconnue auxiliaire la somme des inconnues que nous appellerons .y. Alors les équations deviennent, après qu'on y a introduit 6*,

(a - b)x -^bs = c, (a' ~ b^)y -f- b's = c',

^ ^ \a'' — b'')z+b''s = &\ {a''' — Vy+b'''s = &''.

Tirant maintenant des équations précédentes les valeurs de ^, y, z, ]^ en fonction de s, et les substituant dans l'équatiou

on aura une équation qui donnera la valeur de la somme s. Cette valeur étant ensuite substituée dans les équations (2), on tirera de ces équations les valeurs des inconnues x, y, z, t. 908. Résoudre le système

a* + a*x -f- ay -f- 2 = 0, (1) 6» + **^ + % + 2 = 0,

c* + c*ir -f ^2/ + s = 0.

La métliode d'élimination par réduction conduirait assez rapidement au but ; mais on peut employer une méthode indirecte qui donne immédiatement les valeurs des trois inconnues. Pour cela, remarquons que le polynôme

fi + xt* + yt + z,

devient nul, en vertu des équations (1), quand on y remplace t successivement par a, ô, c, on a donc (Théorème III, 17)

(Il est immédiatement visible que le quotient du polynôme par le produit des trois facteurs est égal à l'unité.)

Mais, d'après la formule du n** 24 où Ton change a, 6, c, . , . en — a, — 6, - c . . ., on a

d'où

fi+xfl+yt-{^z = t^—{a + b + c)t^+{ab-{'ac + bc)t — abc. Mais Tégalité précédente ayant lieu, quel que soit ^, il vient

x = — (a -j" ^ + ^)î y ='o,b + û^c + 6c, 2 = — abc.

Remarque. — La méthode serait évidemment la même, si Ton avait m équations, à m inconnues, formées par la mênie règle que les équations (1). Alors, si Ton désigne en général par Sn la somme des produits n à n des m lettres, on aurait

j:=— -S|, î/ = S2, 2=83, ^=84, et ainsi de suite.