Étant données les équations

a; = (y 4- ^Z 4: ^^1 y = a« + C« + rf<*«

js ss ox 4-^y + ^t*i u = oo? + ^y + ^*'»

En déduire la relation

a + 1 ^ 6 + 1 ^ c+1 ^ rf+1

— En ajoutant les trois dernières équations, membre à membre, et désignant par s la somme des inconnues, on trouve facilement

^ + ^ = 35d'où Ton déduit

On trouve des expressions analogues pour les autres fractions et le calcul s'achève facilement.

19. Un nombre est composé de trois chiffres; la somme de ses trois chiffres est 13 et le chiffre des unités est triple de celui des centaines; de plus, quand on ajoute 396 au nombre on obtient le nombre renversé : on demande quel est le nombre.

20. Un renard poursuivi par un lévrier a 60 sauts d'avance; il en fait 9, pendant que le lévrier en fait 6 et 3 sauts de lévrier valent 7 sauts de renard : on demande combien le lévrier fait de sauts avant d'atteindre le renard,

— On prendra pour unité le saut de lévrier ou celui de renard. -Ou pourra aussi résoudre le problème par l'arithmétique en calculant l'avance que prend le lévrier toutes les fois qu'il fait 6 sauts.

21. n pierres sont rangées en ligne droite à 10 mètres de distance les unes des autres. On propose de déterminer, sur cette droite, la position d'un point X, tel qu'il y ait deux fois plus de chemin à faire pour transporter successivement chaque pierre au point X que pour les transporter à la place occupée par la première d'entr'elles On suppose dans les deux cas que l'on parte de la première pierre.

22. Un père partage son bien entre ses enfants de la manière suivante : il donne au premier une somme •/ plus la «*"»« partie du reste, au second la somme 2a plus la ti*"»« partie de ce qui reste lorsque le premier a prélevé sa part et que lui-même a déjà reçu la somme 2fl, au troisième 3 1 plus la n*™« partie du reste, et ainsi de suite. Il arrive de cette manière que le bien du père est également partagé entre tous les enfants : on demande de trouver le bien du père, le nombre des enfants et la part de chacun d'eux.

— Après avoir obtenu l'équation qui fait connaîlrerle bien du père en égr lant entre elles les deux premières parts, il restera à démontrer que toutes les parts sont égales. Pour cela, on fera voir que, aies/» premières parts sont égales, la (p + l)*""' part leur est aussi égale.

23. En alliant dans un rapport donné deux fiugots composés d'ar-

BXjSRacËS. m

geoc et de cuivre, oq a obteau deux nouyeaux liogotB doot les titres sont ooDuus : quels sont les titres des premiers lingots.

24. Une marchande d'œufs ?end à une première personne la moitié de ses œufs et, en plus, la moitié d*un œuf; à une seconde personne la moitié de ce qui lui re.*te et, en plus, la moitié d'un œuf; à une troisième personne la moitié de ce qui lui reste et, en plus, la moitié d'un œuf, et ainsi Je suite : si après la n*"* vente elle a vendu tous ses œiifs, on demande combien elle en avait en arrivant au marché.

— On trouve

On peut résoudre la question par Taritlimétique en remarquant qu'après Favant derdière vente la marchande avait un œuf. En remontant, de proche en proche, jusqu'à la première vente, on résoudra facilement le problème.

25. Deux cordes sont enroulées sur deux cylindres dont les circonférences sont entre elles comme 5 est à 3. La différence des longueurs de ces deux cordes surpasse de 28 mètres celle des circonférences; de plus, la plus grande corde fait sur le plus gros cylindre 12 tours de plus que n'en fait la plus petite corde sur l'autre cylindre. Enfin, si le premier cylindre tourne autour de son axe trois fois plus vite que le second, les deux cordes se déroulent dans le même temps : on demande quelles sont les longueurs des cordes et des circonférences de chaque cylindre.

— Soient x, y, z, u les longueurs des cordes et des circonférences prises dans Tordre de l'énoncé, on trouve les équations

26. Généraliser le problème IV du n» 32 en supposant n joueurs.

— On cherchera l'équation qui donne la somme possédée par le p*<"« joueur à son entrée au jeu. Getie somme pourra être aussi obtenue sans résoudre d'équation en partant de ce fait : que le joueur possède la somme a à sa sortie du jeu. Alors en remontant, de proche en proche* jusqu'au comn^encement de la preoiière partie oo «u?riyera facilement à la solution.

27. .Repr^dre la discussion du problème des courriers (59) en supposant qu'on prenne pour origine des espaces un point à gauche des points A et A' où les courriers se trouvent à l'origine des temps.

28. Deux courriers parcourent une droite XY dans l'un des deux sens avec des vitesses constantes v et v' On sait que l'arrivée du premier courrier en un point A de la droite précède de h heures l'ar-

t48 QUESTIONS D'ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

rivée du second courrier en un point B dont la distance au premier est d : on demande à quelle distance x du point B se £alt la rencontre et à quelle époque t. (on prend pour origine du temps le moment oix le second courrier est en B).

— On trouve les équations générales

oî = t?'f = - d + 1)(« 4- h).

On peut encore obtenir directement l'équation qui donne x en formant une expression de h en fonction de x, v, t/, d : on a ainsi

Mais il faut alors démontrer qu'en donnant à x, v, i' des signes convenables Téquation est générale.

29. Pour foire un certain ouvrage, A met m fois plus de temps queB et G réunis, B, n fois plus de temps que A et G réunis; G mettra alors un certain nombre de fois plus de t^mps que A et B réunis : on demande quel est ce nombre.

En le désignant par x, on trouve Féquation

3(1. Galculer le côté du carré inscrit dans un triangle donné.

31. Couper une sphère par un plan de manière que la différence des deux zones obtenues soit égale à un cercle donné. ,

32. Étant donné un demi -cercle AB. on demande de trouver sur la circonférence un point M, tel que, si Ton mène la tangente MP jusqu'à la rencontre du diamètre AB prolongé, qu'on joigne le point M au centre et qu'on fasse ensuite tourner la figure autour de AP, les volumes engendrés par le secteur AOM et par le triangle OMP aient un rapport donné m (Concours).

— On abaisse flC perpendiculaire sur OA et l'on prend pour inconnue la distance OG qu'on appelle x. r étant le rayon de la sphère,

on trouve

mr

33. Inscrire dans une sphère un cylindre tel que le rapport de son volume à la calotte sphérique qui a même base et qui lui est extérieure soit égale à un nombre donné. — On fera la discussion

— Si Ton désigne par x la hauteur de la calotte, oii trouve

Xz=i —

34. Un trapèze étant circonscriptible à un cercle, on propose de cal-

caler le rayon de cercJe en fonction des deux bases du trapèze et de FuD des deux autres côtés.

— Soient a et 6 les deux bases, c l'un des côtés non parallèles, u et V les segments compris sur les deux bases entre les points de contact et Tua des côtés non parallèles, on trouve

• 6ti + ûu = a6, w + V = c, Mt? = r«, d'où

^ab{a — ^) (c — 6) (a - b)

35. Calculer Te rayon R du cercle circonscrit à un trapèze isocèle dont les côtés sont connus.

— a et 5 étant toujours les deux bases et c la longueur des deux côtés non parallèles, . on trouve

p, c\c' + ab)

36. Deux cercles dont les rayons sont r et r' sont tangents extérieurement ; on leur mène une tangente commune extérieure, puis on détermine un cercle qui touche cette droite et les deux cercles donnés : on propose de démontrer que le rayon â? de ce cercle est donné par la formule

37. Trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les quatre côtés d'un trapèze pour qu'une parallèle aux bases puisse le partager en deux trapèzes circonscriptibles à des cercles. On considérera le cas particulier du parallélogramme.

— Adoptant les notations du problème |34)> on obtient

(c + d)» + (a — 6)* = 2fc4-rf) 'a + *).