CHAPITRE IV

VÉRIFICATION DBS INÉGALITÉS.

818. On ne peut pas donner de règles générales pour la vériflcaliou des inégalités : aussi le sujet est-il très-propre à exercer la sagacité des élèves. C*est par des exemples variés que je montrerai comment on opère dans les différents cas.

Exemple I. — Démontrer que, quelles que soient les valeurs positives de a, b, c, on a toujours r inégalité

abc > {b -^c^ a){a-\'C — fe) (a -f- & — o).

On remarque d'abord que Tinégalité est satisfaite d'elle-même si le plus grand des trois membres a, b, c est plus petit que la somme des deux autres, puisque le premier membre est alors positif et le second nombre négatif. Supposons donc que le plus grand des trois membres soit plus petit que la somme des deux autres, et- écrivons les inégalités évidentes

11 résulte de Thypothèse faite que les premiers membres des inégalités sont positives, on peut par conséquent les multiplier membre à nombre. Faisant cette multiplication et remplaçant chaque différence de carrés par le produit d'une somme par une différence, on obtient

(6 + c — ay (a -f c — ft)« (li + 6 - c)« < a*b*c\

et en extrayant les racines carrées des deux membres, on a

(6 -f- c — a){a-^c — b){a-\'b — c) < abc.

Exemple II. — La moyenne arithmétique de deux nombres a eth est plus grande qn} l'ur noyenne géon étriqué.

VÉRIFICATION DB& INÉGALITÉS. JSl

L'inégalité à démontrer est

Élevant au carré les deux membres et faisant passer tous les termes danç le premier membre^ on a

a« + ft« - 2ab > ou (a — ft)« > 0.

La dernière inégalité étant évidente, on peut la prendre pour point de départ, et en repassant par les mêmes calculs, mais faits en ordre inverse, on retombe sur l'inégalité (1).

Exemple III. — Démontrer V inégalité

(1) (a + b) (6 + c) (c + a) > iabc.

Première méthode — On part des inégalités suivantes qui ont lieu en vertu de l'inégalité (t) (ex. 2) :

—f—>Sab, —L—'^sIbc, —L—::>^ac,

et en les multipliant, membre à membre, on a l'inégalité (1).

Deuxième méthode. — c étant supposé le plus petit des trois nombres a, fc, c, et m, n désignant des membres positifp quelconques, on pose

et en remplaçant dans Tinégalité (1) b et a par les expressions précédentes, on tombe sur l'inégalité

(tn* -f- n* — mn)2c + (tn + n)mn > 0,

qui est évidente, puisque le carré de m — n étant positif la quantité m* + n* est plus grand que 2mn et, à plus forte raison, plus grand que mn.

Exemple IV. — Démontrer les iurgalitès

6a6c < aè (a + b) -fac (a+ c) + bc {b + c)-< 2 (a» + 6« + c».

On pose les inégalités évidentes

a{b — ci« + b{a - c)« + c{a — c)« > 0, [a^b) (a — 6)* + (a + c) (a-c)^4- (6+ c) (^ — c)« > 0,

et en les développant oa retombe sur les inégalités à démontrer.

25t QUESTIONS D'ALGËBRE ÉLÉMENTAIRE.

Exemple V. — la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux nombres a e* b est plus petite que le quotient du carré de la différence des deux nombres par huit fois le plus petit des deux nombres.

et si Ton multiplie les deux termes de la fraction qui est dans lejsecond membre par a + 6 -f- ^ ^'ab^il vient

2 2(a + 6 + 2 Vafc) •

Mais a étant supposé le plus grand des deux nombres a et 6, si on le remplace par b au dénominateur du second membre, la fraction augmentera et Ton aura

2 ' ^ Sb

Exemple VIL — Démontrer Vincgalité

a* -|- ft* + c* > afr + ac -f *<^« Faisant passer tous les termes dans le premier membre et appliquant la méthode du n* 175 on arrive à l'inégalité évidente

On peut encore procéder d'une autre manièi'e. Soit a la plus grande des trois quantités a^by c \ la somme 6^ + c* étant plus grande que 2&o, tout revient à démontrer Tinégalité

a* + 26c > a6 + ac + te, ou

Mais cette dernière inégalité est toujours satisfaite puisque, par hypothèse, a est plus grand que b et c.

Exemple VIII. ,— Démontrer l inégalité

m ilt£>(l±i)',

m étant un nombre entier quelconque.

VÉRIFICATION DK8 INÉGALITÉS. î53

On a vu (190) que Von a toujours

(2) (a + x)"^ H- (a — xf > 2a'^.

Mais si l'on pose

a-(-a? = fr, a — x=:c^

on obtient

Alors, si Ton remplace dans l'inégalité (2), a+x^ a—xei a, res-

b I c pectivement, par 6, c et — ^^i- — , ou a bien l'inégalité (I):

ExEMPi.B IX. — On veut démontrer que^ sit^ — 4ac est négatifs on a toujours *

(1) {bV — 2{ca' — ac')\* — (*« — iac) {b^ — 4aV) > 0.

On sait (ex. 4, 173) que le polynôme précédent est identiquement égal à

{Aac - 6») {ac — ca'\* -f (2acb^— bjac' + caQ)»

ac '

4ac — i' est positif, par hypothèse, et, par suite,- ac Test aussi : on voit donc que le premier membre de l'inégalité (1) n'est jamais négatif.

Exemple X. — Démontrer que la moyenne arithmétique d'un nombre quelconque n de quantiP's est plus grande que leur moyenne géométrique,

(On entend ici par moyenne géométrique la racine n*"** du produit des quantités).

Rremier cas. — n est Une puissance de 2. Soient d'abord 4 nombres a^, «a, ag, a4 : on a (ex. 2)

et en multipliant, membre à membre.

Si Ton remplace ensuite, dans le second membre de la dernière inégalité, le produit indiqué, par le carré de la demisomme des fecteurs, ce second membre augmente (ex. 2|, et l'on a, à plus forte raison,

Sr Ton considère maintenant 8 facteurs dont les quatre derniers sont ^5, ^5, a^y (Zg, on aura comme précédemment.

a^a^a^ag <

/ C^S + ^6 + 0^7 + fl^8 \*

et en multipliant les deux dernières inégalités membre à membre et remplaçant encore un produit par le carré d'une demisomme, on obtient l'inégalité à démontrer pour 8 nombres. On passera de la même manière au cas de 16 facteurs et ainsi de suite.

Deuxième cas. — n esi un nombre entier quelconque. Soit p le nombre entier qu'il faut ajouter à n pour obtenir une puissance de 2. En adjoignant aux n nombre donnés p nombres égaux à leur moyenne arithmétique qu'oti désigne par 6, on pourra appliquer le ^théorème aux n-\-p nombres et Ton aura

a^a^a^ , . . ajr < I ! I

ou

a^a2 ' . » djbp < 6 ,

et en divisant les deux membres de l'inégalité précédente par bp on obtient l'inégalité à démontrer :

a^a^ . . • CLn<^ b ,