AU PREMIER

»48. Si Ton désigne par P et Q deux polynômes entiers et rationnels par rapport à une variable x, et qu'on ait à résoudre une inégalité

on peut toujours remplacer cette inégalité par la suivante :

puisque, d'après la règle des signes pour la multiplication et la division, le produit et le quotient de deux quantités P et Q ont toujours le môme signe. Ainsi, si l'on propose de résoudre les inégalités

on leur substituera les inégalités

(a? — 2)(ar — 3)>0, (a?«— 5x + 6) (ar« + 5iP+6)> 0.

944. On a vu que la résolution de l'inégalité du second degré revient à celle d'une équation du môme degré : il est facile de voir qu'il en est encore ainsi pour une inégalité d'un degré quelconque, à une seule inconnue. Ici, nous supposerons qu'il s'agit seulement des inégalités qui conduisent à des équations du quatrième degré que nojis savons résoudre.

On a pu remaïquer que dans ces équations le nombre des

APPLICATION DBS MÉTHODES. 297

racines imaginaires est toujours pair ou nul, c'est-à-dire qu'il estO, 2 ou 4. Soit

l'inégalité à résoudre, et soient XJ^y x^j x^^ x^ les l'acines de Téquation du quatrième degré qu'on obtient en égalant P à zéro. 11 y aura trois cas à considérer.

Premier ea«. — Les quatre racines X|, Xj, X3, X4 sont toutes réelles. — (On suppose qu'on les a nommées dans Tordre de grandeur croissante). En appelant A le coefficient de x^ dans P, On pourra écrire:

P := A{x — x^) {x — X2) {x — x^) {x — Xj^).

Je supposerai, pour fixer les idées, que A soit positif. Si Ton donne d'abord à a? la valeur — 00 , les quatre derniers facteurs étant égaux à — 00 et leur nombre étant pair, le polynôme P sera égal à. -f- °° • Faisons maintenant croître x depuis — oo jusqu'à x^, la variable x étant plus petite que toutes les racines, tous les facteurs sont positifs et, par suite, P lui-même. Lorsque X est égal à x^ le polynôme s'annule; mais dès que la variable X a dépassé x^ et tant qu'elle reste inférieure à Xj, le polynôme P est devenu négatif, parce que x — x^ a, changé de signe tandis que les autres facteurs, au contraire, n'en ont pas changé. Lorsque x atteint x^ le polynôme s'annule, puis devient négatif dès que x a dépassé x^, et eu continuant toujours de même, on voit que P change de signe toutes les fois que la variable atteint et dépasse Tune des racines.

Remarque. — L'explication qui précède suppose que toutes les racines sont inégales, elle resterait cependant encore la même, si ces racines étaient égales et d'ordre de multiplicité impair. Mais quand les racines égales sont d'ordre de multiplicité pair, le polynôme . P ne change pas de signe lorsqu'il atteint et dépasse la racine. Ainsi, par exemple, le polynôme {x — 2)* (a: — 1) change de signe quand x passe par la valeur 2, tandis que le polynôme {x — 3)' (x — \){x — 2) ne change pas de signe quand x passe par la valeur 3.

On voit bien maintenjint comment on résoudra une inéga* lilé dans le cas qui nous occupe ; soit, par exemple,

l'inégalité à résoudre. (On suppose que la décomposition du polynôme P en facteurs a déjà été faite).

11 est clair, d'après la discussion qui a été donnée plus haut, que l'inégalité sera satisfaite pour toutes les valeurs de x plus petites que 1 , pour les valeurs de x comprises entre 2 et 3, et aussi pour les valeurs de x plus grandes que 4. En un mol l'inégalité (I) sera remplacée par les inégalités

»ecoii«i cfMi. — Deux des quatre racines X|, x^, x^, x^soni réelles et les deux autres imaginaires. — Les deux racines imaginaires étant toujours, comme on a pu le remarquer, de la forme a'\'bi ^ia — bi le produit des facteurs qui leur correspond dans P est ,{x — a)* + 6* et reste toujours positif : tout revient donc à discuter le signe du trinôme du second degré correspondant aux deux racines réelles.

Xroisiéme c««« — Les quatre racines x^, Xj, Xg, x^sont imaginaires, — On peut alors décomposer le polynôme P en deux facteurs {x — a)' 4" 6', [x — a')' -}- 6'* correspondant aux deux couples de racines imaginaires, et il est évident que le polynôme ne change pas de signe. L'inégalité proposée est donc toujours satisfaite ou impossible.