DEGRÉ

t49. Pour préparer les élèves à la théorie générale des équations qui doit leur être expliquée plus tard, on leur propose souvent certaines questions sur les équations du second degré.

Je vais ici en traiter quelques-unes.

PuoBLÈMB I. — Quelle relation doit-il exister entre les coef--

fldents de l' équation gânérale du second degré pour que Vunt des racines de cette équation soit double de l'autre.

Prbmiâre méthode. — Soit Téquation générale du second degré

ax* -\-bX'\- c=zOy

et x\ et a/' ses deux racines ; on exprime les conditions du problème par les trois équations.

(J) aa?'«+fc<+c=0, (2) ax''+6ar''«+c=0, (3) x''=23^,

et la question est évidemment d'éliminer entre elles les deux racines œ' et x^^. Pour cela, remplaçant d'abord dans l'équation (2) x'^ par 2ar', on a

(4) Aax'* + 26d/ + c = 0,

et il resté à éliminer x* entre les équations (1) et (2). A cet effet, on déduit des équations (1) et (4) une équation qui ne contienne plus x'*, en multipliant par 4 les deux membres de la première et en retranchant, membre h membre avec l'équation (4) : on a ainsi

(5)* 2iar' + 3c = 0.

Si Ton tire maintenant de cette dernière équation la valeur de x' pour la substituer dans l'équation (1), il vient enfin

c{9ac — 2b*) = 0, ou

(6) c=0, (7) 9ac— 26« = 0.

Quand c est égal à zéro. Tune des racines est nulle ; mais il doit en être de même de l'autre qui est double, et, par-suite, b est aussi égal à zéro. Or, quand 6 et c sont nuls, Téquation (7) est satisfaite : elle exprime donc, à elle seule, la condition nécessaire et suffisante.

Deuxième méthode. — On se sert des relations entre les coefficients et les racines. On a

et si l'on remplace dans les deux premières équations, j/' par 2x\ il vient

ia ' a\

et en éliminant x* entre ces deux dernières équations, on retombe sur l'équation (7).

Problème IL — Jrt^y^ver la relçtlpm qui doit exister entre les coefficients de deux équations du second degré pour qu'elles aient une racine commune-

Soient les deux équations

(1) ax* + bx + c = 0, (2) a'x^ + l/x+& = 0.

La racine commune satisfera aussi à l'équation, qu*on obtient en multipliant. les équations (1) et (2) respectivement par o' et a et les retranchant membre à membre, c'est-à-dire à Téquation

(3) [aV — ba')x + ad — ca' = 0.

Il ne reste donc plus qu'à tirer la valeur de x deTéquation (3) et à la substituer dans Téquatiôn (1) : on obtient ainsi la relation demandée

a[a& — ca'Y — b{ac' — ca') [ab' — ba') + c[ac — ça']*.— Q«

On aurait pu aussi, pour résoudre la question, se servir des relations entre les coefficients et les racines, mais les calculs sont moins simples.

Problème III. — Trouver UY\e équation du second degré dont les racines surpassent d'un nombre connu h les racines d'une équation du seco7id degré donnée.

Prkmiére méthode. — Soit l'équation donnée

(i) ax^-{'bx + c = 0.

Si Ton désigne par y Tune ou l'autre des deux racines de Téquation cherchée, on aura

et en remplaçant dans cefte formule x successiveiJQ^t par les deux racines a:' ela/^ de l'équation (1), on calcplçr^ Içs j^apjies 1/' et y^' de l'équation demandée. Mais de Téquatipa (2) on!tire

et en remplaçant dans l'équation (1) x par y — /i, on ^ura Té-, quation demandée

(3) ay^ + (fe - 2«A)î/ + aA« — 6A + c =i 0.

Deuxième méthode. — On se sert de la relation entre les cofficients et les racines : on a

et, par suite, à cause de la relation (2)

y/ ^ yff^2h=^, vY- h{y' + I/O + A» =-^ .

Ou tire de là

, , ,, b — 2ah . „ ah^ — bh + c

et on arrive encore à l'équation (3).