Des "restes négpatifs. — Leur origplne et leur

utilité. — L'égahté

a = dq'{-r peut être écrite ainsi : -- - •

On voit alors que, si dans une division on prend le quotient par excès, c'est-à-dire le quotient ordinaire augmenté d'une unité, on trouvera un reste négatif dont la valeur absolue sera le complément au diviseur du reste ordinaire de la division. Au moyen des restes négatifs, on peut toujours faire en sorte que les restes des divisions soient inférieurs ou égaux, en valeur absolue, à la moitié du diviseur, puisque, si la condition n'est pas remplie pour un reste, elle le sera pour son coinplé-* ment au diviseur.

On pourra aussi supposer désormais que les nombres d, a, à' . ■'. . . sôûtiiégâtifs.

M'i* Extension des tiiéorômes précédents au cùîi-

des restes négratifs.-— Si ron Suppose icfue, dans l'addition, la soustraction, la multiplication et l'élévation dL\ix puissances, On applique les règles des signés contins en Algèbre^, il est évi-. dent que les énoncés des quatre théorèmes subsistent. Seule-ï

ment pour la soustraction il n*est plus nécessaire xie distinguer deux cas, le reste est toujours égal à la différence des restes.

M8. TfiÉORÊME V. •— iSi deua? nombres sl et h dorment lé^ même reste quand on les divise par un mêms diviseur d, leur, différence est divisible par ce nombre.

En effet, q et ç' étant les. deux quotients et r le reste commun, on a

a = d^ -|- r, a' = dç' + r ;

et si Ton retranche, membre à membre, les égalités prècé» dentés, il vient

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. — Le reste r peut être positif ou négatif, ainsi que les nombres d, a et a'.

«94. Théorème VI. — Quand la différence de deux nombres a et a' est divisible par un nombre d, ces deux nombres donnent le même reste dans la division par d.

q et g' étant toujours les quotients et r et r' les restes, on a

azizdq-^ r^ a' =dq^ + r', et si Ton retranche les égalités, membre à membre, il vient

Mais les nombres a — a' et d{q — g') étant divisibles par d, r — f est divisible par d ou nul. Or le premier cas né pouvant pas se présenter puisque r et r' sont plus petits que d, il faut bien que i^ soit égal à r.