CHAPITRE X

Nota. — Dans tout ce qui va suivre les nombres seront toujours entiers.

996. néflnitions. — On appelle reste d'un, nombre correspondant à un diviseur donné le reste de la division du premier nombre par le second. ^- Dans les énoncés des théorèmes, quand on dira que deux nombres sont égaux, il faudra toujours sous-entendre^ à un multiple près du divùteur^ et quand il sera question de plusieurs restes, il sera sous-entendu qu'ils correspondent à un même diviseur.

999. Théorème I. — Le reste d*une somme est égale à la somme des restes.

D'après les définitions qui viennent d'être données, l'énoncé complet serait celui-ci : Si on divise plusieurs nombres et leur somme par un même diviseur et qu'on détermine les restes des divisions, le reste de la somme sera égal à la somme des restes des nombres ajoutés, à un multiple près du diviseur,

(Dorénavant on ne rétablira plus les sous-entendus).

Soient a, a', a" les nombres que l'on ajoute, d le diviseur, Qy ?'» Q" ^6s quotients des nombres donnés par d, et r, t*', r" les restes correspondants, on a

{\\ azzzdq-^r, a'^dq' + r^, a'' = dq'' + r\

et, en ajoutant, membre à membre, on obtient

Si la somme r + r' + r" est moindre que d, elle est, d'après l'égalité précédente, le reste de la division par d de a -|-a' +^"- Dans le cas contraire, si on désigne par q'" et r"^ le quotient

et le reste de la division par rf de r -f- r' + ^"* ^^ qu'on remplace dans Tégalité (2) r -|- ^ + t^' par dç'" + r"', on aura

r"' qui difière de r -|- r' + r'' d'un multiple de d sera, d'après cette égalité, le reste de la division par d de la somme a-\' a' -\- a^^ : le théorème est donc démontré dans tous les cas.

»7d. Théorème II. — Le reste d'une différence est égal à la différence des restes, ou au complément de cette différence par rapport au diviseur.

Adoptant les mém^s notations que dans le théorème précédent, on a

a = (ij + r, a^ = dq' -\-r'j

d'où l'on tire

a — a* =id{q'-' çO + ^ — *^-

Si r est plus grand que r' on voit que le reste de la division de a — a' par d est égal à la différence des restes. Mais quand r est plus petit que r', on écrit TégaÙté précédente, comme il suit :

Or d — (r — r') qui, d'après l'égalité qu'on vient d'écrire, est le reste de la division par d de a — a' est le complément de r' — T par rapport à d ; le théorème est donc démontré.

999. Théorème III. — Le reste d'un produit est égal au produit des restes.

. Considérant d'abord le cas de deux facteurs et adoptant toujours les mêmes notations, on a

a = dq-^r, a' = dq' -^r',

et si l'on multiplie les égalités, membre à membre, il vient

aa' = {dqq' + ?^ + ^?')^ .+ ^^•

Si le produit rr' est moindre que d, légalité précédente montre qu'il est le reste de la division de aa' par d, et, dans le cas contraire, on achève comme pour l'addition.

Exteniftiasn <iu théôrémo au cas «l'un nombre quelconque de Tactcurs. — Tout revient à faire voir que, si le théorème. est vrai pour n facteurs, il est vrai aussi pour n -{- i

394 QUESTIONS D'ACGÈBRfî ÉLÉMENTAIRE.

facteurs. Soient a^b^c\ . .k les n facteurs pour lesquels le théorème est vrai': en appelant P leur produit, on a

reste de P 1;= reste de a >< ^e$te.dô è -. . . . x rertè de k.

Prenons maintenant un facteur, de plus, /, et appelons Q iè: produit de P par l : en appliquant le théorème à un produit de deux facteurs, on a ' . - :

reste de Q = reste de P x reste de /. - Mais si l'on remplace, dans cette dernière égalité, le reste de P par l'expression que donne l'égalité précédente, il vient reste de Q=reste de axreste de bx, . . reste de ftxreste de i; c'est ce qu'il fallait démontrer.

tHO. Théorème IV. — Le reste d'une puissance est égal à la puissance du reste. ......

Ce théorème est une conséquence immédiate du précédent. Il -suffit de supposer que les n facteurs du produit deviennent égaux : alors les n restes deviennent égaux aussi, et leur produit est la puissance n de l'un d'eux.