Théorème I. — Les inégalités

(1) a>b et (2) a — fr>0,

sont toujours la conséquence Tune de Tautre, quels que soient les signes de a et b.

En effet, si l'inégalité (1) a lieu, c'est que l'inégalité (1) (40) est satisfaite. Mais on déduit de cette dernière inégalité que la différence a — b est égale à un nombre positif p et que, par suite, elle est plus grande que zéro : l'inégalité (2) est donc satisfaite. Réciproquement, si Tinégalité (2) a lieu, on en conclut que la différence a — b est égale à un certain nombre positif/?: donc l'inégalité (I) (40) est satisfaite et a est plus grand que b.

On démontre de même que les inégalités

a<& et a — &<0

sont la conséquence Tune de l'autre.

43. Théorêmb II. — On peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres d'une inégalité sans en changer le sens.

Ainsi, c étant un nombre quelconque positif ou négatif, si l'inégalité

est satisfaite, on a aussi

En effet, l'inégalité (1) peut êti-e remplacée (théorème I) par

l'inégalité

a — 6>0 ou

Mais cette dernière, à son tour, peut être remplacée (théorème I) par l'inégalité

ût + c > 6 + ^»

le théorème est donc démontré.

DES INÉGALITÉS DU PREMIER DEGRÉ. zr

4â. ThéorèxME III. — On peut multiplier ou diviser les deux membres cTune inégalité par un même nombre donné, sans en changer le sens quand ce nombre est positif, et au contraire en changeant le sens de l'inégalité quand le nombre est négatif.

Soit l'inégalité

a>b, on en déduit (théorème I).

«t suivant que le multiplicateur m est positif ou négatif, on a

m{a — 6) > ou m{a — &) < 0.

Mais ces inégalités conduisent aux deux suivantes

ma > mè, ma < mb \

c'est ce qu'il fallait démontrer. — m pouvant être de la forme

— , le cas de la division est traité en même temps.

46. Théorème IV. — On peut ajouter, membre à membre, des inégalités de même sens.

i:oient les inégalités

a > 6, a'> V, a" > U\ on en déduit

mais la somme de plusieurs nombres positifs étant positive, ona

(à — 6) + (a'- 60 + K — b") > 0, ou

mais cette dernière inégalité conduit à l'inégalité

qu'il fallait démontrer.

4«. Théorème V. — On peut retrancher, membre à membi^e^ des inégalités de sens contraire en conservant le signe d'inégalité de la premièi^e.

Ainsi, des inégalités

on déduit

Pour le démontrer il suffit de mettre la seconde inégalité sous la forme

et d'appliquer les théorèmes IV et II.