Nouvelles démonstrations des théorèmes précédents

On peut encore démontrer les théorèmes sur les inégalités en partant immédiatement des définitions (40) sans faire intervenir le théorème I. Ainsi, par exemple, proposons-nous de démontrer le théorème III. On exprimera que a est plus grand que b par Tégalité (1) (40), et en multipliant ses deux membres par m, on aura

ma = mb -j- mp.

Or on voit bien par cette dernière égalité que, suivant que m sera positif on négatif, ma sera plus grand ou plus petit que mb.

48. Théorème VI. — Onpeut multiplier^ membre à me)ï%bre, des inégalités de même sens, lorsque tous les membres sont positifs.

Soient les inégalités

En divisant les deux membres de chaque inégalité, respectivement par les nombres positifs, b^ Ij\ b" on a (théorème III)

Mais lorsque des quantités sont plus grandes que l'unité, il eu est de même de leur produit, on a donc

a a' a^^ -yX-^x-5^> Il

ou en multipliant les deux nombres par le nombre positif bb'y\ on à (théorème III}

aa'a'^ > bb'b".

49. Théorème VIII. — Onpevt diviser^ membre à membre^ des inégalités de sens contraire en conservant le signe dUnégalitéde la première^ lorsque tous les membi es sont positifs.