COURBE D'UNE PONCTION. H

on construit ce qu'on appelle sa courbe : c'est ce que Ton va expliquer après quelques préliminaires indispensables.

liO. Déterminatioii d'un point par se» coordonnées. — Soient tracées dans un plan deux droites quelconques xn/ et yi/ qui se coupent en (fîg. 7). M étant un point quelconque du plan, menons MP et MQ parallèles à œx et yy' : il est clair que si les longueurs OP et OQ étaient connues et portées de O en F et de O en Q, le point M serait déterminé par la rencontre des droites PM et QM. Mais afin que le point M soit déterminé quelle que soit sa position dans le plan, on donne des signes aux longueurs telles que OP et OQ : on les prend positives quand elles sont comptées sur Ox et Oy, et négatives sur Ooc' et Oy\ La distance OP, prise en grandeur en signe, s'appelle l'abscisse du point M et on la représente ordinairement par œ ; la distance OQ, prise avec son signe, s'appelle l'ordonnée du point M et on la représente par y. L'abscisse et l'ordonnée d'un point, considérées ensemble, prennent le nom de coordonnées du point, le point est Vorigine des coordonnées, et les deux droites œx\ yy' sont les axes des coordonnées.

fit. Courbe d'une fonction. — Soit f{x) la fonction

donnée : en la représentant aussi par y, on a l'équation

Supposons que la variable indép3ndante x prenne successivement les valeurs croissantes a?', j^'', a?'" ... et que l'on ait calculé au moyen de l'équation (I) les valeurs correspondantes de y\ y'i y'^ y ... (on admet pour plus de simplicité qu'à une valeur de x ne correspond qu'une valeur de y). On construit les points M', M'', M'" . . . dont les coordonnées sont, respectivement, {x\ y'), {x^\ y")^Sp^'\ 2/"0 • • • Pour cela, si les axes sont rectangulaires, on porte sur Taxe des ^r, à partir de l'origine 0, des longueurs OP', OP'', OP''' . . . représentant jr', x", a?"' . . . et on élève aux points P', P", P'" . , . des perpendiculaires MT', M"P", M'"P"' . . . égales respectivement à y'^ y'\ y^" . . . La construction se justifie en remarquant que, la figure OPMQ étant un rectangle, les côtés opposés MP et OQ sont égaux.

Si maintenant on joint par des droites les points consécutifs obtenus, on aura un polygone MM'M" . . . dont les côtés se-

ront d'autant plus petits que les valeurs de x se succéderont à de moindres intervalles. Il est clair alors que, si Ton fait tendre les accroissements successifs de x vers zéro, le polygone tendra vers une courbe déterminée : c'est cette courbe qu'on appelle la courbe de la fonction. Lorsqu'elle est connue, on S'nt, à simple vue, la variation de la fonction. Soit, par exemple, la courbe d'une fonction (fig. 8) : on voit que, x croissant depuis OP jusqu'à OP', la fonction croît depuis MP jusqu'à un maximum MT', puis, que x continuant de croître depuis OF jusqu'à OP^', la fonction décroît depuis M'P' jusqu'au minimum W^P^\ etc.

L'équation (1) est dite aussi l'équation de la courbe qu'elle H servi à construire.

DÉTERMINATION DANS LES CAS LES PLUS SIMPLES DE L'ÉQUATION D'UNE LIGNE D'APRÈS UNE DE SES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES.

t%9. Au lieu de construire une ligne quand on connaît son équation, on peut se proposer de trouver l'équation d'une ligne d'après une de ses propriétés géométriques. C'est là le principal objet de la Géométrie analytique. Je vais seulement chercher ici les équations de la ligne droite, du cercle et des coniques, parce que la connaissance de ces équations sera souvent utile dans la discussion des problèmes.