CONTINUITÉ DES FONCTIONS
connaisse ou non la forme de la fonction. (L'équation (1) s'énonce :- y égale fonction î de x.)
105. DéfinUion des maxima et minima. — La variable indépendante prenant des valeurs croissantes entre — oo et + ^ ou entre des limites quelconques, il peut arriver que la fonction né varie pas toujours dans le même sens : lorsqu'elle cesse de croître pour décroître, on dit qu elle passe par un maximum et dans le cas contraire qu'elle passe par un minimum. Une valeur maxima n'est donc pas nécessairement la plus grande de toutes Jes valeurs que la fonction peut prendrç, mais seulement une valeur plus grande que celles qui la précèdent et la suivent dans un intervalle déterminé : on fait une observation analogue pour le minimimi.
ids. Continuité de» ronctton», — Une fonction est dite continue dans un intervalle déterminé, lorsqu'elle ne peut passer de la première valeur à la dernière sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'il un accroissement suffisamment petit et déterminé de lajvariable indépendante corresponde un accroissement, positif ou négatif de la fonction, aussi petit que Ton voudra.
On peut vérifier que les fonctions les plus simples sont continues.
Si d'abord on prend la fonction du premier degré ax-\-b et que l'ou donne à x les deux valeurs a?' et x'^ l'accroissement delà fonction est a(a/' — û/), et cet accroissement sera évidemment plus petit qu'un nombre déterminé « si Ton a a/' — x'
plus petit que la valeur absolue du quotient — ,
i09. Théorème. — La fonction du second degré ax*-}-bx-|-c est continue.
Soit y la valeur du trinôme pour une certaine valeur £P, et y^k une seconde valeur du trinôme qui correspond à une valeur a? -f- A de la variable indépendante, on aura
y = ax* -|- èar -)- c, y +k = a{x + hy + b{x + h)'\- c,
d'où
k = (iax + b)h + a¥.
Il s'agit de démontrer que pour un certain accroissement h de x, positif ou négatif, la fonction 7/ prendra nn accroissement A plus
114 QUESTIONS D'ALGÈBRE ËLÉMEiNTAIRE.
petit qu'un nombre déteiminé « aussi petit que Ton veut. Soient m ei n les valeurs absolues des quantités ?ax+ft et a, il suffira évidemment de satisfaire aux inégalités
ou
et pour cela on prendra pour h une valeur plus petite que la
plus petite des deux quantités -^ — et tX -^ — .
Je vais maintenant démontrer un théorème général dont il sera fait usage dans la suite.
••9. THÈORàifB. — Si deux fonctions y «t z (Tune même
variable x sont continues et finies ^ leur quotient -=- est continu
dans tout intervalle qui ne comprend pas une valeur de la variable qui annule z.
Soient y^^ z^ les valeurs absolues de j/ et 2 pour une valeur x^ de X, et A et / les accroissements de y^ et z^ qui correspondent à Tac^îroissement h de x^, on trouve pour accroissement de la
y kz — . ly
fraction —^ , — ^ — r- jf- . Si l es! positif, et qu'on veuille
que l'accroissement de la fraction soit plus petit que a, il suffira de rendre plus petite que a la valeur absolue du rapport
teiT ^__ /«y
j:^ __-iL , et il est bien évident qu on pourra toujours déter-
miner des valeurs de 7û et / satisfaisant à cette condition, puisque les fonctions y et 2 sont continues.
Si / est négatif, on pourra toujours donner à x^ un accroissement suffisamment petit pour que / soit inférieur en valeur absolue à un nombre déterminé e aussi petit que Ton voudra. Alors s^ 4" i sera supérieur à af| — c et il suffira de rendre plus
petite que a la valeur absolue de l'^J^* ce qui est toujours
z^ {Zi e) —
possible, k et /pouvant être aussi petits que Ton veut.
K Pour peindre aux yeux la variation d'une fonction,
