CHAPITRE XIV

PREMIÈRE MÉTHODE POUR LA DÉTERMINATION DES MAXIMA ET DES MINIMA. - APPLICATION DE CETTE MÉTHODE A DI- VERS PROBLÈMES

119. On a vu dans le chapitre XII comment la discussion des problèmes conduisait à la connaissance de certains maxima et minima : c*est ce qui a suggéré l'idée de la méthode suivante.

Pour trouver le maximum ou le minimum d'une certaine quantité variable, donnez à cette quantité une valeur arbitraire et déterminée m. Résolvez alors et discutez complètement le nouveau problème, ainsi substitué au problème de maximum ou de minimum, en ayant soin de résoudre les différentes inégalités de condition par rapport à la lettre m. Restituez enfin à la quantité, que m représente, son caractère de variable, et vous trouverez ainsi les valeurs limites entre lesquelles cette variable doit être comprise, c'est-à-dire les maxima et minima. Il est clair que, pour que la méthode soit applicable, il £aut que la résolution des équations se ramène à celle des équations du premier ou du second degré, et que les inégalités soient du premier ou du second degi'é par rapport à tn ou puissent s'y ramener.

IM. Je vais donner quelques exemples.

Problème I. — Quel est le rectangle dCaire maxima, parmi tous les rectangles insarits dans un même triangle ?

D'après la méthode, on doit résoudre et discuter le problème d^insorire un rectangle d'aire connus dans un triangle donné. C'est ce qui a été fait (Problème IV, 98), et comme détail de la discussion, on a trouvé que le rectangle d'aire

maxima était celui dont la base supérieure passait par le milieu de la hauteur perpendiculaire à cette base.

Problème TI. — Quel est, parmi Ums les triangles rectangles de même périmètre, celui qui a la plus petite hypoténuse?

Considérant l'hypoténuse comme donnée, on se propose de calculer les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont on connaît l'hypoténuse et le périmètre. En résolvant et discutant le problème (Problème I, 100) on trouve que l'hypoténuse est mini ma lorsque le triangle est isocèle.

Problème III. - Quel est, parmi tous les triangles rectangles de même périmètre, celui qui a la plus grande surface?

On suppose la surface donnée et Ton se -propose de, calculer les trois côtés d'un triangle rectangle dont on connaît le périmètre et la surface. La discussion (Problème II, 100) fait voir que le triangle d'aire maxima est le triangle isocèle.

ito. Dans Tapplication de la méthode précédente aux questions de maximum et de minimum, il est bon, en général, de faire porter toute la discussion sur une seule variable qu'on appellera la variable principale, toutes les autres étant des variables auxiliaires. Après avoir éliminé les dernières variables, on aura une équation entre la variable principale et la quantité dont on demande le maximum ou le minimum, et cette dernière quantité pourra être considérée comme la fonction de la variable principale. Les inconnues auxiliaires qui ont déjà servi à trouver l'équation entre la fonction et sa variable seront aussi très-utiles, en général, pour déterminer dans la discussion du problème, entre quelles limites peut croître ou décroître la variable principale. Mais quand on appliquera l'Algèbre à la Géométrie, il sera souvent plus simple de trouver" directement par la Géométrie les conditions auxquelles la variable principale est assujettie.