Je vais éclaircir ce qui précède par des exemples

Problème T. — Trouver y parmi tous les triangles rectangles dans lesquels la somme des deux côtés de Vangle droit est constante, celui qui est tel^ que la perpendiculaire abaissée du sommet de Vangle droit sur l'hypoténuse est maxima.

Supposons que la hauteur qui correspond à Thypoténuse soit donnée, et désignons-la par h. Soient aussi a la somme donnée des deux côtés de 1 angle droit, et x, y, z^ les deux cotés

de l'angle dnût et rhypoténuse. On a les trois équations (1) x^y = a, (2) xy=:zh, (3) a?«+j/« = z».

Multiplions les deux membres de l'équation (2) par 2 et ajoutons et retranchons-la, membre à membre, avec l'équation (3) : il vient

{x + yy = 2* + 2zh, {œ — y)* =z^^ 2zh.

En remplaçant dans le premier x -{- y par a et ordonnant, on aura, pour déterminer z que nous prenons pour variable principale^ Téquation

(4) 2» + ihz — a» = 0.

Cette équation a toujours ses deux racines réelles, mais la plus petite z' est négative et doit être rejetée. On obtiendra z" par l'équation

et on aura ensuite les valeurs de x et y, qui correspondent à z" et que nous appellerons x" et y", par les équations

(6) x^'^yf'z^a, (7) x'^ — y^^ = \l z"^ - 22/'A.

Pour que les valeurs de xf' et y" données par les formules (6) et (7) soient réelles, on doit avoir

Comme la racine négative z' est nécessairement plus petite que Vij on devra obtenir un résultat négatif en substituant 2A à z dans le trinôme : on arrive ainsi à la condition

Ensuite, pour que les valeurs de j^' et y" soient positives, il faut que x!' — y" soit plus petit que x" -|- y" : on trouve ainsi

Mais la quantité z"* + 2/12'' étant égale à a* en vertu de l'équalion (4), l'inégalité précédente est évidemment satisfaite.

Il est maintenant démontré que, dès que la condition (8) est remplie, les valeurs de x, y, z sont réelles et positives, et d'après la remarque faite (problème II, 100), on sait qu'alors la construction du triangle est possible. Lorsque h att*jint sa plus

124 QUESTIONS D ALOÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

grande valeur î— — , ^ est égal à 2/i, et l'équation (7) donne

y^' égal à a/'.

Donc, parmi tous les triangles dans lesquels la somme des deux côtés de F angle droit est constante, celui qui est tel^ que la hauteur correspondant à Fhypoténuse est maœima, est le triangle rectangle isocèle.

Remarque. — La condition (8) était immédiatement donnée par la Gréométrie comme condition nécessaire et suffisante.

Problème II. — Parmi tous les triangles de même périmètre, quel est celui dans lequel la somme de ^hypoténuse et de la hauteur est maxima.

Considérons comme donnée la somme dont on demande le maximum et désignons-la par a. Adoptant les notations oràinaires et représentant par u la hauteur relative à l'hypoténuse, on obtient les équations suivantes :

(3) œy=:uz, (4) u-j-z = a.

Des équations (1) et (2) on déduit d'abord, comme à l'ordinaire,

(5) uz = 2p(p — s),

et en éliminant u entre les équations (4) et (5) on obtient

C'est l'équation demandée entre la fonction a et la variable principale z. On calculera ensuite les inconnues auxiliaires t/, xety par les équations

(9) as ~y = V 3z» — 2az.

Pour obtenir la dernière équation on multiplie par ? les deux membres de Téquation (3), ou la retranche, membre à membre, avec l'équation (3), puis on remplace u par a — z.

On trouve d'abord pour condition de réalité des racines de l'équation (6)

et quand cette condition est remplie, les deux racines, d'après l'équation même, sont toutes deux positives.

Voyons maintenant à quelles conditions la variable z est assujettie en veitu des équations (7), (8) et (9).

L'équation (7) motitre d'abord que z doit être plus petit que p, mais comme le produit des racines de l'équation (6) est égal à2p2, la condition ne peut être remplie que par la plus petite racine z'j on a donc

Il en résulte déjà que le problème ne peut avoir qu'une solution. L'équation (8) ne conduit à aucune condition nouvelle ; mais l'équation (9) montre que x et y ne peuvent être réels que si Ton a

Maintenant, pour que œety soient positifs, il faut encore quela différence x — y soit plus petite que la somme a? -(- y, ce qui conduit, d'après les inégalités (8) et (9), à la condition

2p — z' < V 3z'^ — 2azf

ou en développant

2z'* + 2(2p — a)!zf — 4p« < 0.

Mais en remplaçant dans cette dernière inégalité z'^ par la valeur {2p -|- a)z' — 2p^ que donne Téquation (6), on retombe sur l'inégalité (11).

Il nous reste à exprimer que z' est plus petit que p et plus

grand que A..

Pour exprimer que z' est plus petit que p, substituons, suivant la méthode, p k z dans le trinome.On trouve pour résultat P{p — ^)i ^^s comme z'^ est plus grand que p, ce résultat doit être négatif : on a donc

Enfin z' devant être plus grand que -r- <* et la même chose

devant avoir lieu, a fortiori^ pour s", le résultat de la substi-

tulion de — a à z dans le premier membre de l'équation (6) o

doit être un nombre positif : on arrive ainsi à la condition

a* + &pa — 9p* < 0,

ce qui conduit immédiatement à l'inégalité

Mais on doit encore écrire que les deux racines z' et / ne

sont pas toutes deux plus petites que -^ a, La considération

du dernier terme 2p' de l'équation (6) conduit alors à la condition

Si Ton remarque maintenant que les inégalités (13) et (14) entraînent respectivement les inégalités (10) et (15), on voit que finalement les conditions de possibilité du problème sont exprimées par les inégalités (13 et (14).

Quand a atteint la valeur limite 3p(\/ 2 — l) qui est racine de l'équation

a«-f 6pa — 9p« = 0,

2^ est égal à -^ a, et par suite, à cause de l'équation (9), x est

égal à y.

Donc, parmi tous les triangles rectangles de même périmètre, celui qui est tel, que la somme de Vhypoténuse et de la hauteur correspondante est maœima, et le triangle isocèle.

ikutre manière de fairâ la discussion. — Considérons

les équations (6) et (7) comme étant les seules équations du problème, les inconnues x eiy n'ayant servi qu'à conduire à ces équations. On trouve d'abord comme dans la première discussion que la plus petite racine 2' de l'équation (6) est seule admissible, et on obtient de même les inégalités (13) et (10) dont la première entraîne la seconde.

Maintenant pour achever la discussion du problème, nous remarquons que, d'après la Géométrie, la seule condition pour qu'on puisse construire le triangle, c'est que l'hypoténuse soit plus grande que le double de la hauteur correspondante. Donc, après avoir exprimé que u' et 2' ont des valeurs réelles et positives, on écrira

ce qui conduit, après avoir remplacé u' par la valeur que donne l'équation (7), à Tinégalité

Mais en y remplaçant z'^ par la valeur (2p-|-^)^' — 2p que donne Téquation (6), on a

La racine z" ^ étant plus grande que p, est, à plus forte raison,

plus grande que -r — : donc en substituant cette dernière

quantité dans le premier membre de l'équation (6), on devra obtenir un résultat positif, et la condition sera suffisante : en faisant le calcul, on arrive à l'inégalité

a' + 6pa — 9/)« < 0,

et, par suite, à l'inégalité (14), comme dans la première discussion.

193. On se piopose, dans les exemples qui suivent, de trouver les maxima et minima de certaines fonctions algébriques. Mais le but principal qu'on a en vue, c'est surtout de montrer comment on peut connaître d'une manière indirecte la variation de certaines fonctions.

Problème I. — Déterminer les valeurs maxima ou minima du trinôme ax* + bx + c, ou, plus généralement, étudier la variation de la fonction quand on fait croître x depuis — oo jusqu'à + ^ •

On pose

et en résolvant l'équation, on a

1® a est positif, — Pour que x soit réel, on doit avoir

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