CHAPITRE XV
ÉTUDE DIRECTE DE LA VARIATION DE QUELQUES UNES DES PONCTIONS LES PLUS SIMPLES D'UNE SEULE VARIABLE. - DÉTERMINATION DE LEURS MAXIMAET MINIMÀ.
195. On peut déterminer, d'une manière directe et par des procédés élémentaires, la variation des principales fonctions qui se présentent dans la discussion des problèmes du second degré. Les maxima et minima se^présenlent alors comme des valeurs particulières de la fonction. Cette étude préalable des fonctions et la connaissance de leurs maxima et minima permettra souvent, comme on le verra par la suite, de prévoir d'avance les résultats de la discussion d'un problème, quelquefois trèscompliquée quand elle est faite par les méthodes précédentes.
IM. Problème I. — Étudier la variati07i de la fonction,
Valeurs limites de la ronci,lon. — Pour les trouver OU
divise les deux termes de la fraction par x, puis on fait x égal à ±00. On trouve ainsi — y pour les deux valeurs limites.
Mettons maintenant l'égalité (1) sous la forme
on voit que, lorsque x en croissant passe par les valeurs
— è jy
et — ; — , la fonction passe par zéro, et l'infini en
changeant de signe. D'ailleurs, y prend toutes les valeurs possibles et une fois seulement puisque, si Ton donne à y une valeur déterminée c, on a une équation du premier degré en x pour déterminer cette variable.
Pour suivre maintenant la variation de la fonction, écrivons
a . ax -^-b a
En effectuant la soustraction indiquée dans le second membre et mettant a'* en facteur dans le dénominateur de la fraction, on obtient
a . hd — aV
Posons
a ha' — aV , V
il vient (2) 2/ = c +
ou encoi-e, en représentant y — c et ar-f-^, l'espectivement, par y' et a?'.
Supposons pour fixer les idées que d soit positif.
Alors si l'on fait croître x! depuis — oo jusqu'à zéro,?/ décroîtra depuis zéro jusqu'à — oo, puis a?' continuant de croître de zéro à + <» , J/ passe brusquement de — oo à -|- œ et décroît ensuite de -f- oo à zéro.
La discussion se fait d'une manière semblable quand d est négatif. D'ailleurs, dans les deux cas, la variation de y se déduit immédiatement de celle de y'.
Gonstrucâioii de la oourbe« — En partant de Téquation (2) on trouve facilement une courbe à deux branches infinies qui a pour asymptotes les deux droites définies par les équations
Remarque. — La fonction peut avoir une valeur constante,
VARIATION DE QUELQUES FONCmONS. 13§
et il est facile de voir que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est
Écrivons qu'en effet la fonction a une valeur constante m, on a
ax4- b a'x + b' d'où l'on déduit
et copime cette égalité doit avoir lieu, quel que soit x, on a
La condition énoncée est donc nécessaire, et elle est évidemment sufB.sante.
Il est clair qu'on démontrerait de la même manière le théorème général suivant :
199. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante^ 'pour qu'une fraction^ dont les deux termes sont des polynômes entiers,' rationnels et du même degré d'une variable x, ait une valeur constante, est que les coefficients des mêmes puissances de X soient proportionnels dans les deux termes de la fraction.
i9§. Problème II. — Etude de la variation du trinôme du second degré.
(Cette étude a déjà été faite d'une manière indirecte (Problème I, 123).
Valeurs limites. — Cherchons d'abord les valeurs limites du trinôme. Pour cela, mettons ar* en facteur dans le second membre de l'équation
(1) y = ax^ + bx -f- c.
On a alors
et on voit que, si Ton fait tendre x vers -f- ao ou — oo , les
b c termes — et — r ayaut pour limite zéro, y aura la m$me X x^
limite dans les deux cas, + ^ si a est positif, et — oo si a est négatif.
Variation du trinôme. — Écrivons d*abord le trinôme sous la forme qui lui a déjà été donnée au n* 87, nous aurons
On fait croître x d'abord depuis — œ jusqu'à -^ — ;
alors la quantité, x -{--r — croîtra et, comme elle est négative,
sa valeur absolue et, par suite, son carré diminuera depuis -j- 00 jusqu'à zéro. La variable x croissant ensuite depuis
-— — jusqu'à + ^ > ^ + ir~ ^''oî* ®^ restant positif et il en est 20- • -eût
/ b « de même de [x-j- — j . Par conséquent, quand x croît de — « à
^— — , la quantité entre parenthèses dans l'équation (2) décroît depuis + 00 jusqu'à ~i — > ^^ quand ir croît depuis
jusqu à —z — , elle croit depuis r-r jus-
qu'à+oo . Il est clair que,siaest positif, le trinôme varie dansle même sens que la quantité entre parenthèses, et qu'en particu-
v .1 . . Aao — b^ , . , — b
lier il passe par un minimum . pour j; égal a --r— •
Lorsque a est négatif, la variation du trinôme est de sens contraire, et il passe par un maximum pour x égal à — — .
Remarque. La fonction prend la môme valeur pour deux h et — f-A équidistantes de —^
les deux cas (^ + « - ) devient égal à A*. On vérifie aussi par là
que la valeur est plus petite ou plus grande que les
valeurs voisines, suivant que a est positif ou négatif.
VARIATION DE QUELQUES FONCTIONS 14i
ito. Problème III. — Étudier la vanation de la fonction définie par l'équation
k étant un nombre positif.
On sait, d'après le théorème général démontré au numéro (108), que, si Ton excepte Tintervalle infiniment petit
k qui comprend la valeur zéro de x, la fonction — et par suite,
la fonction y est continue.
Cela posé, faisons d'abord varier œ depuis — oo jusqu'à : y croîtra d'une manière continue depuis — co jusqu'à -j-Q^» ^^r
on s'assure facilement que la fraction — , dont le numérateur
estpositif, diminue quand œ croît, que x soit d'ailleurs positif ou négatif (le contraire aurait lieu si k était négatif), x croissant ensuite, en passant par zéro, jusqu'à + œ , la fonction y passe d'al)ord brusquement de -f"Oo ^ — ^^ puis croît depuis —00 jusqu'à + 00. On voit que la fonction n'a ni maximum ni minimum proprement dits, -f-oo et — oo n'étant point comptés comme tels.
Courbe de la fonction. —> On trouve uue courbe à deux branches infinies ayant pour asymptotes l'axe de y et la bissectrice des angles yox, y'ox', La courbe coupe d'ailleurs l'axe
des X à des distances de l'origine égales h.-{-\l k et — V* • 130. Problème IV. — Étudier la variation de la fonction
k étant un nombre positif. Ecrivons l'équation (1) sous la forme
et faisons d'abord croître x depuis — oo jusqu'à — sj k . Comme
k on l'a vu dans le problème précédent, la fonction x croîtra
d'une manière continue, depuis — oo jusqu'à zéro, en restant négative ; Ix 1 décroîtra donc jusqu'à zéro et la quantité
U? QUESTIONS D'AfXÎÊbRE ÉLÉMENTAIRE.
4*4"(^ 1 décroîU'a depuis -|-'œ jusqu'à 4A. Mais la
fonction y étant négative dans Tinteivalle considéré croîtra
depuis — 00 jusqu'à — 2 Vfc . La variable x croissant ensuite
depuis — V /c jusqu'à zéro, la quantité x qui devient
positive, croîtra depuis jusqu'à 4"°®> ®* ^^ fonction sous le radical depuis kk jusqu'à -{-^ : y qui est resté négatif a donc
décru depuis — 2 v^T jusqu'à — oo. On voit que, lorsque ira CPU depuis — oo jusqu'à zéro, la fonction y a passé par un maximum — 2 V A correspondant à x égal à — V ''^ -
Si maintenant on donne à x des valeurs croissantes depuis zéro jusqu'à +^» i^ ^st clair que la fonction y, qui a des valeurs égales et de signe contraire pour deux valeurs de x égales et de signe contraire, repassera par les valeurs qu'elle a déjà eues dans le premier intervalle, mais prises en signe contraire. Il en résulte que, a? croissant depuis zéro jusqu'à + 00, la fonction y décroîtra depuis +oo jusqu'à la valeur minima
2 V /c qu'elle prendra pour x égal à v^ * , puis qu'elle croîtra
depuis le minimum 2 V ^ jusqu'à +oo.
Courbe de 1h fonction. — On trouve une courbe ayant pour asymptotes l'axe des y et la bissectrice des angles t/oj, y'oa:' comme au n® 12^. Seulement la courbe ne coupe plus l'axe des X,
tst. Problême V. — Étudier la variation de la fonction
... ax^-\-bX'{'C
^' ^^~ a'x« -f 6'ar + c' *
(Cette variation a déjà été trouvée d'une manière indirecte (123)). Je remarque avant de commencer la discussion que, d'après le théorème (108), la fonction est continue, si on excepte les intervalles infiniment petits qui comprendraient des valeurs de x annulant le dénominateur.
Traitons d'abord quelques cas particuliers :
PREMIER CAS. — a ET 6 SONT NULS.
On est immédiatement ramené à la variation du dénominateur.
DEUXIÈME CAS. — b ET C SONT NDLS.
Alors en divisant les deux termes de la fraction par c'x* et posant
u^ + eu + f '
et l'on sait que, lorsque u croît de — os k -\- oo ^\q tiinoine u* -^ eu-^ f passe par un minimum correspondant à u égal à
Nous distingiierons deux cas, suivant que e est négatif ou positif, et on appellera A et Z des quantités positives ayant des valeurs aussi petites que l'on voudra : on supposera d'ailleurs pour fixer les idées que d est positif.
1® e est négatif, — Faisons d*abord croître x depuis — oo jusqu'à — h\u décroîtra depuis jusqu'à — oo , et comme la valeur
— 5- ,quiest positive, est supérieure à — ft, la quantité u^-^-eu-^f
ira constamment en croissant depuis f jusqu'à Tinfini, et, par
df
suite, comme d est positif, y décroîtra depuis — jusqu'à une
quantité infiniment petite /. Si maintenant x passe de la valeur — /i à /i, u passera brusquement de — 00 à + °o , mais le trinome en u sera dans les deux cas égal k -\- <xiy et pour x égal à — /i ou à + //, la fonction y aura une valeur positive trèspetite.
II résulte évidemment de la discussion qu'on vient de faire que, lorsque x passe par 0, la fonction y prend elle-même la
valeur qui est un minimum.
Faisons maintenant croître x depuis -{-h jusqu'à ,
144 QUESTIONS DAUÎÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
la variable u décroîtra depuis + oo jusqu'à — ô~ » ^® trinôme
en u ira donc en décroissant jusqu'à un minimum, et la fonction y en croissant jusqu'à un maximum. On voit enfin que x
croissant depuis jusqu'à -{- œ Isl fonction y décroît cons-
tamment.
2» e est positif, — La discussion est toute semblable, la seule différence c'est qu'on trouve le maximum dans le premier intervalle quand on fait croître x depuis — oo jusqu'à — h.
Si d était nég^atif, Tétude de la variation se fei ait de même.
Pour bien comprendre ce qui prr^îcède, on peut reprendre le raisonnemen t sur une fonction numérique, celle-ci, par exemple^
en posant — égal à u on a immédiatement
Je me contenterai ici de renvoyer à la figure (15) dans laquelle on a
