X -| [- e croîtra depuis — oo jusqu'à — h, et la valeur de y

décroîtra, depuis une certaine quantité — Z, très-petite en valeur absolue, jusqu'à — oo . Si maintenant x atteint et dépasse x', le dénominateur, qui est égal au premier membre de Téqua-

tion (2) multiplié par — , change de signe, et y passe brusque-

ment de — x à + oo . Lorsque x croît ensuite depuis a;' jusqu'à

k zéro, œ -\ \- e croit depuis zéro jusqu'à -j- oo , et, par suite,

1/ diminue depuis -f- oo jusqu'à 0. Lorsque x atteint et dépasse

k zéro, la quantité x -\ f- e passe brusquement de + oo à — oo

et alors y devient négatif en passant par zéro.

X continuant de croître entre et a/\ le dénominateur croît depuis — « jusqu'à zéro, et y diminue, depuis une quantité — l \ très-petite en valem» absolue, jusqu a — oo . Lorsque x atteint et dépasse x^\ le dénominateur devient positif et très-petit et y passe de — oo à + *^ • La variable x croissant enfin entre a/' et -|- 00 , le dénominateur croît depuis zéro jusqu'à -j- ^ ? et par suite y décroît depuis -f- oo jusqu'à zéro.

On voit qu'on n'a trouvé ni maxima ni minima.

La discussion serait analogue et la conclusion toute semblable si d était négatif.

. Les élèves pourront reprendre les raisonnements qui précèdent sur l'exemple

Le résultat de la discussion âe trouve représenté (flg. 16). On voit que la courbe de la fonction se compose de trois branches dont l'une passe par l'origine, et qu'elle a trois asymptotes dont l'une est l'axe œx' et les deux autres sont deux parallèles à yi/.

146 QUESTIONS D' ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRB.

2» k est positif. On sait que a? -| a un maximum pour x

égal à — V & et un minimum pour x égal à -|- V * i la fonction y aura donc aussi un maximum et un minimum. On suivra d'ailleurs la variation de y comme, tout-à rheure, seulement il y aura deux cas à distinguer suivant que les racines de l'équation

x*'\- ex-\-k = 0,

seront imaginaires ou réelles.

Dans le premier cas, on fera croître x depuis — oo jusqu'à

— ^ k, ensuite depuis — yj k jusqu'à -\-\j k^ei enfin depuis

+ v/ A jusqu'à -f- «).

Dans le second cas, on devra tenir compte des passages de -|-oo à — 00 ou de — 00 h-^- co qui ont lieu quand x atteint et dépasse les racines x' et x" de l'équation qu'on obtient en égalant à zéro le dénominateur de la fraction donnée. On devra aussi dans la discussion ranger par ordre de grandeur croissante les quantités — y/k^x^^œ^^et^k.

Remarque. — Si Ton faisait sur les coefficients du dénominateur les hypothèses analogues à celles qui ont été faites sur les coefficients du numérateur, on ramènerait les nouveaux cas aux autres en étudiant la variation de la fonction inverse.