CAS GÉNÉRAL

On a

ax^-{'bx'\' c

y — ~a'a^ -f Vx -|- d *

Je vais faire voir que ce cas se ramène imm^iatement au précédent. En effet, on peut écrire

a , ax^-A-bxA-c a

a' ' a'ar» 4-. 6'x + c' a' '

g . [ba' — aV) x -{- ca' —- ad

^ ■" a' "' a' [a' 3? A- Vx 4- d\ '

{a/ 3? + Vx + d)

ca' — ad

a ba' — aV ' aV — ba*

et si l'on pose

puis, que Ton remplace, dans le dénominateur en x de la dernière expression de y, x par sa valeur en x' tirée de Féquation précédente, on aura en désignant par c et fc des fonctions des coefficients a, 6, c ; a' ^ b\ d faciles à calculer

a 6a' — aV d

y~'¥'^ ^« ^ x'^ + ex' + k '

On voit bien qu*on est ramené au cas précédent. Je vais éclaircir ce qui précède par deux exemples numériques.

Exemple L — On donne

x^ — ix+l (1) V= ^»-x + i ■

C'esî l'exemple (1) déjà traité par une autre méthode (124). On a

aja 5x4-1

y= * H — i ri — 1»

, ix

Ici, comme il n'y a pas de terme indépendant de x au numérateur de la fraction, on n'aura pas besoin de faire intervenir une variable auxilaire x' : on écrira .

On voit que dans l'exemple la quantité, désignée par k en général, est positive, et que, de plus, le dénominateur de la fraction dans réquation(l) ne peut s'annuler pour aucune valeur de X et, par suite, ne peut changer de signe. Il en résulte que le dénominateur dans l'équation (2) ne peut changer de signe que lorsque x passe par 0. Cela posé, si dans Téquation (2) on fait d'abord croître x depuis — oo jusqu'à la valeur — 1 pour

laquelle le dénominateur X'\ 1 prend sa valeur maxima

148 QUESTIONS D'ALGÈBRK ÉLÉMENTAIRE.

— 3, ce dénominateur croîtra, et la fraction, qui a un numérateur

négatif, croîtra en même temps, ainsi que la fonction 2/qui,par-

tant de 1, atteindra une valeur maxima -^ pour x égal à — 1.

La variable x croissant ensuite, depuis — 1 jusqu'à + ^i et passant ainsi par zéro, le dénominateur décroît, depuis — 3 jusqu'à — 00 , passe brusquement de — oo à 4-*^ quand x atteint

et dépasse zéro, puis diminue de ^-"^ ^ — ^ • alors dans le

même intervalle la fonction y décroît, depuis -^ jusqu'à — 3,

qui est un minimum.

Enfin, lorsque x croît depuis 1 jusqu'à l'infini, y croît depuis — 3 jusqu'à 1 . Ce sont les résultats déjà trouvés au n* 124 et que la courbe (fig. 13) peint aux yeux.

Exemple II. — On a

Ici le dénominateur est annulé quand x prend les valeurs i et 4. On écrit l'équation sous la forme

La quantité x -{ passant par un maximum pour x égal

ut'

à — 2 et par un minimum pour x égal à 2, nous rangerons, suivant la méthode, les valeurs de ardans Tordre : — 2, 1 , 2, 4. Faisons d'abord croître x depuis — oo jusqu'à — 2 : le dénominateur dans l'équation (2) croît depuis — oo jusqu'au maximum — 9, et i/ décroît depuis 1 jusqu'à un minimum

— . La variable x croissant ensuite depuis — 2 jusqu'à 1, la

la quantité x-| 5 diminue depuis — 9 jusqu'à — oo.

passe brusquement de — oo à+«> quand a? atteint et dépasse 0, puis décroît depuis +oo jusqu'à zéro : alors dans le même

intervalle y croît depuis -^ jusqu'à -j- oo .

Quand x passe par la valeur 1 qui annule le dénominateur dans l'équation (1), y change de signe et passe de -f oo à — oo X croissant ensuite depuis 1 jusqu'à ?, le dénominateur dans

l'équation (2) décroît depuis jusqu'à — 1, et y croît depuis

— 00 jusqu'à un maximum — t .

On fait croître ensuite x depuis 2 jusqu'à 4. Alors x-\ 5

augmente, depuis — I jusqu'à zéro, et y diminue depuis — t jusqu'à — 00 .

Quand x atteint et dépasse 4, le dénominateur change de signe, et la fonction y passe brusquement de — oo à4-«> . Enfin, lorsque x croît depuis 4 jus.qu'à -|- <» > i© dénominateur dans l'équation (2) croît, depuis zéro jusqu'à + <» » et la fonction y diminue, depuis -|- oo jusqu'à t.

Ce sont les résultats déjà trouvés (problème II, 124) et dont on a fait usage pour construire la courbe (fig. 14).