Déflnitton des quatre opérations élémentaires

appliquées aux quantités négatives* — Les quantités négatives n'étant pas des nombres mais de simples symboles opératoires, on ne peut les soumettre au calcul qu'après avoir défini le sens qu'on attribue aux opérations. Nous donnerons la définition générale suivante :

Ajouter^ soustraire^ midtiplier ou diviser des quantités négatives ou positives isolées, c'est soumettre ces quantités aux mêmes règles que si elles étaient des termes depolynome dans chacune des quatre opérations. Le tableau suivant résume les règles relatives au calcul des quantités négatives, telles qu'elles résultent de la définition générale :

(± a) — (± &) = ± a. qr &, (± a)x{±b) = + ab, (± a) x{Zfb) = — ab,

a a rrra a

Dans les égalités précédentes les signes supérieurs sont toujours pris ensemble, et, de même, les signes inférieurs.

14. Principaux avantages de Pemploi des quantités négatives dans le calcul.— On peut remarquer d'abord que, d'après la règle de l'addition des quantités isolées, un polynôme a — 6+^— rf, pouvant s'écrire (-|-c^)-|-(— 6)+(+c)+(— c?), doit maintenant être considéré comme la somme de ses termes. On voit- aussi que les énoncés des règles relatives aux opérations élémentaires peuvent être simplifiés comme il suit :

Pour additionner des polynômes faites la somme de leurs ternes.

Pour soustraire un polynôme d'un autrâ, retranchez des termes de celui-ci les termes du premier.

Pour multiplier deux polynômes, Vun par Vautre^ multipliez tous les termes de Vun par tous les termes de l'autre.

Dans la division de deux polynômes, pour obtenir chaque terme du quotient, divisez le premier terme de chaque divi- 4ende partiel par le premier terme du diviseur.

On voit que la partie des anciens énoncés relative à la règle des signes se trouve maintenant supprimée, la règle des signes étant implicitement contenue dans les règles relatives au calcul des quantités isolées.

ift. Mais le principal avantage de l'emploi des quantités négatives, c'est d*écarter toute restriction en désaccord avec le caractère de généralité de l'algèbre. Ainsi, nous allons montrer que maintenant il n'est plus nécessaire de supposer que, dans les polynômes sur lesquels on opère, la somme des termes positifs est la plus grande. Il suffit, comme on va le voir, de consei-ver l'ancienne définition générale des quatre opérations élémentaires, telle qu elle a été donnée au u"" 9, mais en prenant l'expression, valeur d'un polynôme, dans le nouveau sens, plus général, qui lui a été donné au n» 12. Il est facile alors de vérifier que les anciennes règles subsistent.

AddiUon. — Soient A — B et G — D les deux polynômes à ajouter, A et G représentant les sommes des termes positifs etB et D les sommes des termes négatifs. Quand A et G sont supposés être respectivement plus grands que B et D, la règle de l'addition se trouve exprimée par l'identité

Il faut démontrer maintenant que la règle est générale : je dis, par exemple, qu'elle est enôore vraie quand on a A > B etG<D.

En effet, remplaçant d'abord G — D par — (D — G), on a

Deux cas peuvent se présenter suivant que A — B est égal ou supérieur à G — D ou qu'il est. plus petit que G — D.

Dans le premier cas, on est ramené à la soustraction de deux polynômes telle qu'elle s'était présentée jusqu'ici, et en l'opérant on trouve bien pour résultat le second membre de l'identité (1).

Dans le second cas, on doit faire la soustraction en sens inverse et mettre le signe — devant le résultat, ou, ce qui revient au même, changer les signes de tous les termes : on retrouve encore ainsi le second membre de l'identité (1). La généralisation s'opérerait toujours de la même manière si l'on faisait

d'autres hypothèses sur l'ordre relatif de grandeur de A et B ou de C et D.

eou0tractiôn. — La règle de la soustraction est donnée par ridentité

loi^sque Ton a A >BetC>D. Si ces conditions ne sont pas remplies, on fera la généralisation comme pour l'addition.

AiuitipiicaUon. — On a démontré l'identité